概率论教学课件ch4习题课张颖

1、假设检验习题课x t(n)t(n)分位点：分位点：设设0 单个总体还是多个总体单个总体还是多个总体? ? 2 检验均值还是检验方差检验均值还是检验方差? ?3 单边检验还是双边检验单边检验还是双边检验? ?应用举例应用举例例例1 一台车床生产某一型号的滚珠一台车床生产某一型号的滚珠. .已知滚珠的直径服从正态已知滚珠的直径服从正态分布分布, ,规定直径的标准值为规定直径的标准值为1( (cm),),均方差不能超过均方差不能超过0.02( (cm).).现从这台车床生产的滚珠中抽出现从这台车床生产的滚珠中抽出9个个, ,测得其直径为测得其直径为: : 0.994，1.014，1.02，0.95，

2、1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，问这台车床工作是否正常？问这台车床工作是否正常？( (取检验水平取检验水平 =0.05) )分析：分析：（2）对对期望期望 的假设检验，单边还是双边的假设检验，单边还是双边? ? （3）对对方差方差的检验假设，单边还是双边的检验假设，单边还是双边? ? （1）要判断工作是否正常，需检验什么？要判断工作是否正常，需检验什么？备择假设备择假设h1应取作什么？应取作什么？ 检验统计量用哪一个？检验统计量用哪一个？备择假设备择假设h1应取作什么？应取作什么？检验统计量用哪一个？检验统计量用哪一个？设滚珠的直径为设滚珠的直径为x，计算其样本均值为

3、计算其样本均值为 x = 0.998，样本均方差为样本均方差为s=0.026。（1）先在水平先在水平 =0.05下检验假设下检验假设 h0: = 0=1 h1: 0=1。 设滚珠的直径为设滚珠的直径为x，计算其样本均值为，计算其样本均值为 x = 0.998，样本均方差为样本均方差为 s=0.026。取统计量取统计量310sxnsxt 则则 tt(9- -1)由由 p|t|t0.025(8)=0.05， 查查t 分布表得分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒绝域为即拒绝域为 ( ,2.3062.306，+ )，3026. 01998. 0 t= 0.23 02 =0.022 取统计量取

4、统计量2220202. 08)1(ssny 则则y 2（8）由由 py 20.05(8)=0.05, 查查 2分布表分布表得得: 20.05(8)=15.507,从而拒绝域为从而拒绝域为15.507,+ )而而y的数值的数值 y=(8 0.022) 0.0262 = 9.69 15.507, 故故接受接受h0。综合综合（1）和和（2）可以认为车床工作正常。可以认为车床工作正常。例例1 一台车床生产某一型号的滚珠一台车床生产某一型号的滚珠. .已知滚珠的直径服从正态已知滚珠的直径服从正态分布分布, ,规定直径的标准值为规定直径的标准值为1( (cm),),均方差不能超过均方差不能超过0.02(

5、(cm).).现从这台车床生产的滚珠中抽出现从这台车床生产的滚珠中抽出9个个, ,测得其直径为测得其直径为: : 0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，问这台车床工作是否正常？问这台车床工作是否正常？( (取检验水平取检验水平 =0.05) )例例2 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的革新是否会在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的革新是否会增加钢的得率。现在同一平炉上分别用标准方法和革新的方法交增加钢的得率。现在同一平炉上分别用标准方法和革新的方法交替各炼了替各炼了10 炉，其得率分别为炉，其得率分别为: :标准方法标准

6、方法 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3新方法新方法 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1设这两个样本相互独立，都来自正态总体，且二总体的方差相同。设这两个样本相互独立，都来自正态总体，且二总体的方差相同。问革新的方法能否提高得率？取问革新的方法能否提高得率？取 =0.005. 设用标准方法炼一炉钢的得率为设用标准方法炼一炉钢的得率为x，用新方法炼一炉钢，用新方法炼一炉钢的得率为的得率为y，则，则xn( ,),y n( 2,).(1)

7、首先考虑需检验的假设是什么首先考虑需检验的假设是什么? ?(2)检验统计量应用哪一个检验统计量应用哪一个? ?分析分析: : 先求出各方法的样本均值和样本方差先求出各方法的样本均值和样本方差: : 标准方法标准方法: : n1=10 x1=76.23 s12 =3.325 新新 方方 法法: : n2=10 x2=79.43 s22 =2.225在水平在水平 =0.005下检验假设下检验假设 h0: = 2, h1: 2当假设当假设h0为真时为真时, ,取统计量取统计量222121)(1011ssyxnnsyxt 则则tt(18)由由pt- -t0.005(18)=0.005, ,查表得查表得

8、 t0.005(18)=2.8784。从而拒绝域为从而拒绝域为（- - ，- -2.8784.代入样本值得代入样本值得t的值为的值为t=- -4.295- -2.8784, ,所以拒绝所以拒绝h0. .故我们认为建议的操作方法较原来的标准方法为优故我们认为建议的操作方法较原来的标准方法为优. .解解: :例例2 现在同一平炉上分别用标准方法和革新的方法交替各炼了现在同一平炉上分别用标准方法和革新的方法交替各炼了10 炉，其得率分别为炉，其得率分别为: :标准方法标准方法 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3新方法新

9、方法 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1设这两个样本相互独立，都来自正态总体，且二总体的方差相同。设这两个样本相互独立，都来自正态总体，且二总体的方差相同。问革新的方法能否提高得率？取问革新的方法能否提高得率？取 =0.005.例例3 某建筑构件厂使用两种不同的沙石生产混凝土某建筑构件厂使用两种不同的沙石生产混凝土预制块预制块, , 各在所产产品中取样分析各在所产产品中取样分析. .取使用甲种沙石的取使用甲种沙石的预制块预制块20块块, ,测得平均强度为测得平均强度为310kg / cm2, ,标准差为标准差为4

10、.2kg / cm2, ,取使用乙种沙石的预制块取使用乙种沙石的预制块16块块, ,测得平均强测得平均强度为度为308kg / cm2, ,标准差为标准差为3.6kg / cm2, ,设两个总体都服设两个总体都服从正态分布从正态分布, ,在在 =0.01下下, ,问问 (1)(1)能否认为两个总体方差相等能否认为两个总体方差相等? ? (2) (2)能否认为使用甲种沙石的预制块的平均强度显能否认为使用甲种沙石的预制块的平均强度显著的高于用乙种沙石的预制块的平均强度著的高于用乙种沙石的预制块的平均强度? ? 取统计量取统计量1221ssf 则则f(19,15)，查分布表得查分布表得 f0.01/

11、2(19,15)=f0.005(19,15)=3.59 f1- -0.005(19,15)=1/ f0.005(15,19)=0.26从而拒绝域为从而拒绝域为(0,0.263.59,+)将样本值将样本值s1=4.2,s2=3.6代入代入, ,得得f的数值为的数值为4.22/3.62=1.360.261.36 2取统计量取统计量2111nnsyxt 则则tt(n1+n2- -2)=t(34)由由ptt0.01(34)=0.01, , 查分布表得查分布表得t0.01(34)=2.4411从而拒绝域为从而拒绝域为2.4411,+) )从而接受假设从而接受假设h0. . 即不能认为使用甲种沙石的预制块

12、的平均强度即不能认为使用甲种沙石的预制块的平均强度显著的高于使用乙种沙石的预制块的平均强度显著的高于使用乙种沙石的预制块的平均强度. .代入样本值代入样本值n1=20,n2=16, s1=4.2,s2=3.6得得t的数值为的数值为 t=1.512.4411例例4 机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干样品测量零件尺寸，测得数据如下：取若干样品测量零件尺寸，测得数据如下：机器甲：机器甲：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0机器乙：机器乙：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0

13、 5.5 5.7 5.5问两台机器的加工精度是否有显著差异？问两台机器的加工精度是否有显著差异？05. 0 05. 0 211210:,: hh222121 ，2221 与与2221122210:,: hh解：在检验水平解：在检验水平下，检验假设下，检验假设 因为因为均未知，且不知均未知，且不知(1)故故先检验假设先检验假设是否相等，是否相等，0h )8 ,10(2221fssf 05. 0)8 ,10()810(205. 02221205. 012221 fssfssp，2597. 085. 31)10, 8(1)8 ,10(, 3 . 4)8 ,10(025. 0205. 01205. 0

14、 fff), 3 . 42597. 0, 0( 当假设当假设为真时，取检验统计量为真时，取检验统计量 由由 查表得：查表得：故拒绝域为故拒绝域为222221173. 0,253. 0 ss1386. 2173. 0253. 022 f211210: hh)2911(91111 tsyxt 05. 0)18(91111205. 0 tsyxp 1009. 2)18(025. 0 t173. 0, 7 . 5,253. 0, 62211 sxsx代入样本值代入样本值得得0h 所以接受所以接受2221 ，故可以认为故可以认为(2)再检验假设再检验假设0h 当假设当假设为真时，取检验统计量为真时，取检

15、验统计量 由由 查表得：查表得：代入样本值代入样本值1009. 20226. 3911112911173. 08253. 0107 . 5622 t0h所以拒绝所以拒绝 , ,故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。 从而拒绝域为从而拒绝域为2.1009,+) )(- -,2.1009例例5 在在70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦 牙牙 干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（ndma）。到）。到了了 80年代初期开发了一种新的麦牙干燥过程。下面给出年代初期开发了一种新的麦牙干燥过

16、程。下面给出分别在新老两种过程中形成的分别在新老两种过程中形成的ndma含量（以含量（以10亿份中亿份中的分数计）。的分数计）。老过程老过程6 45 56 5564674新过程新过程2 12 21 0321013记对应于老、新过程的总体的记对应于老、新过程的总体的设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等。设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等。检验假设（取检验假设（取)05. 0 独立。分别以独立。分别以21, 均值，均值，, 2:210 h, 2:211 h 分析分析:这是两个正态总体均值关系的一个假设检验问题，这是两个正态总体均值关系的一个假设检验问题， 是一个单边检验，且两总体

17、的方差未知但相等，该如何是一个单边检验，且两总体的方差未知但相等，该如何选取统计量呢？选取统计量呢？ 仍选择仍选择t 统计量。统计量。解：解：, 2:210 h, 2:211 h若若0h为真，则统计量为真，则统计量212111nnsyxt )()(21122121nntnnsyx 所以所以 )2(1122121nntnnsyxp12,05. 021 nn 查表得查表得7207. 1)22(05. 0 t所以拒绝域为：所以拒绝域为：7207. 1 t所以在所以在05. 0 下下，t落入拒绝域中，拒绝落入拒绝域中，拒绝0h即认为即认为221 代入计算得代入计算得7207. 13616. 4 t例例

18、6 在在10块土地上试种甲乙两种作物，所得产量块土地上试种甲乙两种作物，所得产量,(21xx,(),2110yyx).10y假设作物产量假设作物产量并计算得并计算得.79.21,97.30 yx分别为分别为服从正态分布，服从正态分布，若取显著若取显著可以认为这两个品种的产量没有显著性差异？可以认为这两个品种的产量没有显著性差异？112726.,. yxss问是否问是否乙种作物产量乙种作物产量),(222 ny解解 甲种作物产量甲种作物产量),(211 nx要检验要检验.:210 h由于由于2221, 未知，检验假设未知，检验假设h0，先要检验，先要检验.:22210 h用用 f检验，若检验，若

19、0h 成立，则统计量成立，则统计量)1, 1(2122 nnfssfyx01. 0 查表得临界值查表得临界值:1529. 0)9 , 9(,54. 6)9 , 9(995. 0005. 0 ff性水平为性水平为1%，所以所以0h 的接受域为：的接受域为：)54.6 ,1529.0(代入已知值，求得代入已知值，求得869. 4)1 .12()7 .26(2222 yxssf显然显然f落入接受域，所以接受原假设落入接受域，所以接受原假设22210: h若若0h成立，则统计量成立，则统计量)2(211121 nntsyxtnn 01. 0 查表得临界值查表得临界值,8784. 2)18(005. 0

20、 t所以所以0h的接受域为：的接受域为：8784. 2)18(|005. 0 tt代入已知值，求得代入已知值，求得99. 0 t显然显然t落入接受域中，所以接受落入接受域中，所以接受,0h即两个品种的即两个品种的产量没有产量没有 显著性差别。显著性差别。2. 分布函数的拟合检验分布函数的拟合检验.)(0不含未知参数不含未知参数其中设其中设xf假设假设, )( :00 xfxh的分布函数为的分布函数为总体总体 , )( :01xfxh的分布函数不是的分布函数不是总体总体 kiiinnpf12为真时为真时当当0h kiiiipnfpn122 1)-(k2 , )1k(22 拒绝域：拒绝域：说明：说

21、明：首首先先求求出出个个未未知知参参数数分分布布函函数数含含有有所所假假设设的的若若,0rh),(iiiappp 的的估估计计值值进进而而求求出出 ,参数的最大似然估计参数的最大似然估计npnfkiii 122 .0的统计量的统计量作为检验假设作为检验假设 h可以证明可以证明,为真时近似地有为真时近似地有在在0hnpnfkiii 122 )1(2 rk 可得假设检验问题的拒绝域为可得假设检验问题的拒绝域为),1(22 rk 以以p93,15检查了一本书的检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误的页，记录各页中的印刷错误的个数，其结果如下：个数，其结果如下：问在显著性水平问在显著性水平0.0

22、5下，能否认为一页中的印刷错误个数下，能否认为一页中的印刷错误个数服从泊松分布？服从泊松分布？解：设解：设!:0ieixphi ., 1 , 0 i 将将x的所有取值分为：的所有取值分为：x=0,x=1,x=6,x7等子集，等子集，根据假设求出根据假设求出x落在每个子集内的概率，根据样本数据求落在每个子集内的概率，根据样本数据求出出x落在每个子集内的频率，得下表：落在每个子集内的频率，得下表：1 x 的最大似然估计值：的最大似然估计值：0001. 00005. 00031. 00153. 00613. 01839. 03679. 03679. 003. 8 630.19490.43227.35iaifip ipn iipnf2 0: xao 1:1 xa 2:2 xa 3:3 xa 4:4 xa 5:5 xa 6:6 xa364019