3.1不等关系与不等式PPT课件

1、主要内容3.比较代数式大小的方法2.不等式的性质及其证明4.不等式的应用实例1. 不等关系第1页/共45页1. 不等关系第2页/共45页最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽车限速范围60kmv120km/h第3页/共45页问题1 设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意一点，则d|AB|AMBd第4页/共45页问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为

2、万元. 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式xx)2 . 01 . 05 . 28(20)2 .01 .05 .28(xx第5页/共45页问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根. 由题意，应有以下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.第6页/共45页 要同时满

3、足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：NyNxyxyxyx, 0, 034000600500第7页/共45页2.不等式的性质及其证明第8页/共45页事实上，实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 譬如图中，设点A 表示实数a，点B 表示实数b,点A 在点B 右边，那么ab BAab回忆两个实数的大小是如何确定的？第9页/共45页. 0; 0; 0babababababa 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点. 基本事实作差比较法第10页/共45页1.不等式的性质性质

4、1 如果ab,那么ba; 如果bb证明：由于ab, 可得a-b0所以 -（a-b）0即b-a0所以 ba.同理可证得：如果bb说明：此性质可称为不等式的自反性第11页/共45页性质2如果ab, bc, 那么ac.证明：由于ab, 得a-b0；又bc，得b-c0;所以a-c=(a-b)+(b-c)0即a-c0所以 ac.说明：此性质可称为不等式的传递性。第12页/共45页性质3如果ab, 那么a+cb+c证明：由于ab, 得a-b0；所以（a+c）-（b+c）=a-b0即(a+c)-(b+c)0所以 a+cb+c.说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不

5、等号的方向不变.第13页/共45页性质4如果ab, c0,那么acbc; 证明：由于ab, 得a-b0；ac-bc=c(a-b)0 所以 acbc.说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果ab, c0,那么ac0时ac-bc=c(a-b)0 所以 acbc.当cb, cd,那么a+cb+d; 证明：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0；说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0所以 a+cb

6、0, cd0,那么acbd; 证明：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-d0ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d)+d(a-b)说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.所以 ac-bd0即 acbd.由题意知a0,d0, 且c-d0,a-b0第16页/共45页性质7如果ab0, 那么anbn(nN,n2); 证明：由于ab0, 根据性质6，自乘得；aabb即 a2b2.说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.继续用性质6，可得 a3b3.显然 a2b20,继续下

7、去可得anbn(nN,n2); 第17页/共45页性质8如果ab0, 那么 (nN,n2); 证明：用反证法证明，假设结论不成立则；说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.则得a=b，与已知ab矛盾若若 nnba nnba nnba nnba nnba 或nnba 则由性质7,两边n次幂得ab矛盾.第18页/共45页证明命题的方法简介 在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证明.直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明. 其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由

8、.直接证明是最常见的证明方法.间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的. 间接证明分为反证法和选言证法. 第19页/共45页 直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明. 综合法: 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定

9、理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法. 第20页/共45页 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法简介第21页/共45页 反证法的证题模式可以简要的概括我为“

10、否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立. 反证法的证题模式第22页/共45页反证法证明命题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.第23页/共45页 用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”； 如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能

11、推断原结论成立，这种反证法又叫“穷举法”归谬法和穷举法反证法的类型第24页/共45页 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有： 2. 具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆. 1. 命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显. 反证法的适用范围第25页/共45页不等式的常见证明方法1. 直接证法 1）比较法（作差、或作商） 2） 综合法 3） 分析法 4） 其它换元法、放缩法等2. 间接证法 反证

12、法第26页/共45页例1.如果ab0, cb0, 得a-b0,ab0, 又cb 与ba11同时成立的充要条件解答： ab00ab 所以b,a 又一方面，若ab0a0，b0b0，求证：，求证：a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .证明一：比较法（作差）（a a3 3+b+b3 3）- -（a a2 2b+abb+ab2 2）= =（a a3 3- a- a2 2b b）+ +（b b3 3-ab-ab2 2）=a=a2 2(a-b)+b(a-b)+b2 2(b-a)(b-a)a0a0，b0b0，( a-b)(

13、 a-b)2 2(a+b)0.(a+b)0.故（a a3 3+b+b3 3）- -（a a2 2b+abb+ab2 2）0,0,a+b0a+b0，而( a-b)( a-b)2 20.0.=( a-b)=( a-b)2 2(a+b).(a+b).=(a-b)(a=(a-b)(a2 2-b-b2 2) )第29页/共45页故故a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .2233abbaba 证明二：比较法（作商）aa2 2+b+b2 22ab2ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba)(ba(22 1 又a0a0，b0b0，所以ab0ab0，第30页/共4

14、5页所以有所以有a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .证明三：分析法欲证a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2，只需证明(a+b)(a(a+b)(a2 2+b+b2 2-ab)ab(a+b).-ab)ab(a+b).由于a0a0，b0b0， 所以a+b0a+b0，故只要证明a a2 2+b+b2 2-abab-abab即可。即证明a a2 2+b+b2 22ab.2ab.而a a2 2+b+b2 22ab 2ab 显然是成立的第31页/共45页即即a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .证明四：综合法aa2 2+b+b2 2

15、2ab2ab，aa2 2+b+b2 2-abab.-abab.又a0a0，b0b0，a+b0a+b0，故(a+b)(a(a+b)(a2 2+b+b2 2-ab)ab(a+b).-ab)ab(a+b).第32页/共45页3.比较代数式大小的方法第33页/共45页例3.比较 与 的大小 22) 1(x124 xx 分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差，判断差值正负，从而得出两个代数式的大小.) 1() 1(:2422xxx解1122424xxxx,2x当 时，所以0 x02x. 1) 1(2422xxx当 时，所以0 x02x. 1) 1(2422xxx2.比较代数式大小的方法第34页/共4

16、5页例4.已知 ，比较与 的大小0a) 12)(12(22aaaa) 1)(1(22aaaa解：作差比较) 1)(1() 12)(12(2222aaaaaaaa) 1(2) 1(222222aaaa2a因为a0， 所以-a20) 1)(1() 12)(12(2222aaaaaaaa第35页/共45页)4)(2()5)(3(aaaa解：)82()152(22aaaa).4)(2()5)(3(aaaa所以, 07 比较 与 的大小)5)(3(aa)4)(2(aa练习2第36页/共45页1).如果ab0，则下列不等式中不成立的是（ ）（A） （B） （C）ab （D）a2b22).a、b是任意实数，

17、且ab，则 （ ） （A） a2b2 （B） （C）lg（a-b）0 （D） 1a1b1ab1a12a12b1baBD练习3第37页/共45页 3.a、b、c、d是任意实数，且ab，cd，则下列结论正确的是 （ ） （A）a+cb+d （B）a-cb-d （C）acbd （D）Acbda第38页/共45页4.不等式的应用实例第39页/共45页 例5.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶.若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一定帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.第40页/共45页 解：设A型号帐篷有x个，则B型号帐篷有（x+5)个，则有如下不等关系：48)4(448)5( 354850484050 xxxxxx第41页/共45页 练习：旅行社为了吸引更多的游客加入， 各自推出了独特的营销策略，实行团体优惠是司空见惯的.甲、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是： 甲旅行社称凡全家旅