2数列极限PPT课件

1、按自然数1,2,3,编号 ,1x依次排列的一列数 称为数列数列nx记为 . , ,nx,2x 如: 1, , 1, 1, 1, ,)1(1 n )1(1 n注: 数列是整标函数 xn= f (n)第1页/共32页,1,43,32,21nn1nnxn,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1(,2,8,4,2nnnx2,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx第2页/共32页.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn第3页/共32页.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn第4页/共32页.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数

2、列观察数列 nnn第5页/共32页.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn第6页/共32页.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn第7页/共32页. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 第8页/共32页直观定义 若当n无限增大时,数列对应的项无接近与常数a,则称常数a为数列 xn的极限, 记为axnn lim1)1(1lim1 nnn第9页/共32页例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,

3、1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散第10页/共32页axnn lim, 无限增大时无限增大时当当n.axn无限接近于无限接近于0| axn, 0 对对 |axn1) 1(1 lim1 nnn 1nxnnn11)1(1 ,100时时只要只要 n,10011 nx有有,1001给定给定,105时时只要只要 n,10115 nx有有,1015给定给定,N自然数自然数 ,时时当当Nn 第11页/共32页, 0 总存在自然数N, 当n N时, 不等式都成立, axn那么就称常数 a 是数列 的极限, nx或称数列 收敛于a nx记为:,limaxnn ).( naxn或或如果数列没有极限如果

4、数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.第12页/共32页x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N axnnlim,时时使使自然数自然数NnN , 0 . axn恒有恒有第13页/共32页例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即第14页/共32页

5、小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是关键是例2 证明02sinlim nnn证0 由nnnn2|sin|02sin| n21 得 21n21 N所所以以取取时时当当Nn |02sin|nn恒恒有有02sinlim nnn故故任意给定任意给定 0 寻找寻找 N ,但不必要求最小的但不必要求最小的N.第15页/共32页例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn

6、第16页/共32页例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn , 1 axNnNn时恒有时恒有使当使当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 a1记记第17页/共32页思考题,lim . 1axnn 设设?lim pnnx那么对任意自然数p ,lim axnn , 0 ,N自然数自然数 当 n N 时 , |axn成立成立 |axpnaxpnn lim第18页/共32页,lim . 2axnn 设设?lim2 nnx则则,lim axnn , 0 ,N自然数自然数 当 n N 时 , |axn成立成立

7、 |2axnaxnn 2limaxnn 12lim 同理同理axnn limaxxnnnn 122limlim 第19页/共32页axxnnnn 122limlim, 0 , 21NN自然数自然数 |2axn成立成立,1时时当当Nn ,2时时当当Nn |12axn成立成立当 n N 时 , |axn成立成立axnn lim2 ,2max21NNN 取取第20页/共32页,lim . 3axnn 设设?lim1是否存在是否存在则则nnnxx ,61 ,31 ,41 ,21 :如如,81 ,41 ,n,n21 1 , 0 (1) a若若.lim1存在存在则则nnnxx , 0 (2) a若若 ,

8、, 0 nx第21页/共32页证证,limaxnn 设设使得使得 , 01N ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一.2N,limbxnn 又又第22页/共32页证证,limaxnn 设设由定义, 1 取取, 1 , axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则,1| |,| ,|,| max1 axxMN记记, Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推

9、论 无界数列必定发散. .aaxxnn |,|1a aaxn 得第23页/共32页,limaxnn0a,NN则Nn 当0nx( 0),( 0).证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)第24页/共32页 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx ,21nixxxx,21knn

10、nxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，,1231 kxxx,242kxxx12 kx2kx第25页/共32页证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk Kknn . axkn.limaxknk .NK 第26页/共32页由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2k

11、kx发散 !则原数列一定发散 .说明说明: 第27页/共32页azynnnnlimlim)2(1. 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim2sin(2)limnnnn求极限第28页/共32页Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxab2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 )第29页/共32页内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则第30页/共3