浙江师范大学高等数学d122常数项级数的审敛法

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法 第十二章 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和数列部分和数列ns),2, 1(n有界有界 .若1nnu收敛 , ,收敛则ns,0nu部分和数列nsns有界, 故ns1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数正

2、项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设设,1nnu1nnv且且(1) 若级数1nnv则级数1nnu(2) 若级数1nnu则级数1nnv证证:的部分和收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .), 2 , 1(nvunn是两个是两个正项级数正项级数, （1）设级数 收敛于，则级数,1nnu1nnv即部分和数列sn有界，由定理1知级数nnuuus21nvvv21收敛.,1nnu高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院因为若级数由上面

3、已经证明的结论，将有级数必发散.（2）设级数 发散，则级数,1nnu1nnv收敛.1nnv也收敛，与假设矛盾.,1nnu), 2 , 1(nvunn高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院推论：推论：设设和1nnu成立，那么级数成立，那么级数)0( kkvunn都是都是正项级数正项级数, 收敛，且存在正整数收敛，且存在正整数n，使当，使当1nnv1nnv收敛；1nnu成立，那么级数成立，那么级数)0( kkvunn（2）如果级数）如果级数发散，且当发散，且当nn时有时有1nnv.1发散nnu（1）如果级数）如果级数nn时有时有级数的每一项同乘不级数的每一项同

4、乘不为零的常数为零的常数k不影响不影响级数的收敛性级数的收敛性.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若, 1p这时级数的各项不小于调和级数的而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1对应项：高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院, 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑级数1121) 1(1ppnnn的部分和

5、n111) 1(11ppnkkkn故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,1) 1(11pn12) 若11111) 1(113121211pppppnn高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院调和级数与调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数.对一切,nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院证明级数证明级数1) 1(1nnn发散发散 . 证证: 因为n(n+1)(n+1)2，所以2) 1(1) 1(1n

6、nn),2, 1(11nn而级数111nn21kk是发散的.根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例2.2.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义, 0对,nn存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,时当nn 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学

7、院nnnvluvl)()(, l取由定理 2推论与1nnu1nnv同时收敛或同时发散 ;)(nn ),()(nnvlunn利用(3) 当l = 时,nn存在,时当nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv发散 , ;1也收敛则nnu(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 推论1nnv收敛 , 若.1也发散则nnu高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2) 特别取,1pnnv 可得如下结论 :对正项级数,nu,1p l0lunnlimpn,1p l0发散nu收敛nu注注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不

8、同阶的比较.,nunv是两个正项级数正项级数, (1) 当 时, l0两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 且 收敛时,0lnv(3) 当 且 发散时, lnv也收敛 ;nu也发散 .nu,limlvunnn高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院nnn1lim例例3. 判别级数判别级数11sinnn的敛散性 . 解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nnnn1sin定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;设两正项级数满足(1) 当 0

9、 l 时,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院的敛散性的敛散性. 例例4. 判别级数判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn)1ln(21n21n2n211lnn,limlvunnn两个级数同时收敛或发散 .当 0 l 时,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院知由nnnuu1lim定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( dalembert 判别法判别法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且且,lim1nnnuu则则(1) 当当1(2) 当1证证:

10、(1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(nnnnu, 1使取收敛 ,.收敛nu时时, 级数收敛级数收敛 ;或时时, 级数发散级数发散;,nn存在,时当nn k)(由比较审敛法可知高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院,1时或, 0,nnun必存在, 11nnuu,0limnnnuu因此所以级数发散.nn 当时(2) 当nnuu11nunu1lim1nnnuu说明说明: 当时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. .例如例如, , p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1

11、p级数发散 .从而高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 limn例例5. 讨论级数讨论级数)0(11xxnnn的敛散性的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例6. 证明级数证明级数)!1收敛收敛.证明证明: : !)!1(limlim1nnuunnnn01limnn由定理4可知该级数收敛 .令,nnssr则所求误差为)!2(1)!1(

12、1!1nnnrn)2)(1(1111 ()!(1nnnn)111 (!12nnn)!1)(1(1111!1nnnn并估计以部分和并估计以部分和 sn 近似代替和近似代替和 s 时所产生的误差时所产生的误差 . 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例7. 判断级数判断级数nn10!10321102110132的收敛性的收敛性.解解: : !1010)!1(limlim11nnuunnnnnn由定理4比值审敛法可知该级数发散 .101limnn高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院发散，由调和级数11nn定理定理6 .

13、 极限审敛法极限审敛法 设设 nu为正项级数为正项级数, ,0limlnunn(1) 当当(2) 如果如果1p证证: (1)在极限形式的比较审敛法中，,1nvn取那么级数发散那么级数发散 ;而而那么级数收敛那么级数收敛.,limnnnu或或知结论成立;,0 ,limllunnpn,limlvunnn两个级数同时收敛或发散 .当 0 l 时,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院收敛，级数时，当1p11nnpp(2) 如果1p证证: (2)在极限形式的比较审敛法中，,1pnnv 取而那么级数收敛.知结论成立.,0 ,limllunnpn,limlvunnn两

14、个级数同时收敛或发散 .当 0 l 1知，不趋向于0,nun从而，不趋向于0,nun因此级数1nnu发散.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例9. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :.e) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnnnn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院(2) 令,e2nnnu nnnuu1lim limn12e) 1(nnnne221e1limnnn1e1因此12e) 1(

15、nnnn12e) 1(nnnn收敛,绝对收敛.12e) 1()2(nnnn高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1有极限部分和数列收敛. 1nnsu高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1

16、收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 作业作业 p271 1 (3), (5) ; 2 (2), (4) ; 4 (3), (5), (6) ; 5 (2), (5)高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收敛 ,11nn发散 .高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院备用题备用题;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn发散 , 故原级数发散 .11npnp:级数不是 p级数(2)nlimnnn1lim