第1章 13 扭转

1、第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.1.第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.2.第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.3.一、工程实际中的受扭杆：一、工程实际中的受扭杆：扭转也是杆件变形的一种基本形式。在工程实际中以扭转为主要变形的扭转也是杆件变形的一种基本形式。在工程实际中以扭转为主要变形的杆也是比较多的，如：杆也是比较多的，如：汽车传动轴汽车传动轴AB传递方向盘动力的轴传递方向盘动力的轴CD第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.4.反应釜反应釜搅拌轴。搅拌轴。拧紧螺丝时的螺丝刀杆。拧紧螺丝时的螺丝刀杆。mm第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.5.机器传动轴（请看动

2、画）。机器传动轴（请看动画）。第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.6. 外力特点：外力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等，转向相反的力偶。在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等，转向相反的力偶。 变形特点：变形特点：扭转轴既不伸长，也不缩短，且不变弯，扭转轴既不伸长，也不缩短，且不变弯，各横截面都绕轴线发生相对转动各横截面都绕轴线发生相对转动。这种变形形式称为这种变形形式称为扭转变形扭转变形。（请看动画）（请看动画）第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.7.ABABM0M0图示图示 AB就是截面就是截面B相对截面相对截面A的转角。的转角。工程上常把以扭转变形为主

3、要变形的、传递功率的杆件称为工程上常把以扭转变形为主要变形的、传递功率的杆件称为轴轴，且大多，且大多数情况下均为圆轴。数情况下均为圆轴。任意两个横截面绕杆的轴线作相对转任意两个横截面绕杆的轴线作相对转动而转过的角位移动而转过的角位移 称为称为扭转角扭转角，简称简称转角转角，单位为弧度。，单位为弧度。第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.8.使杆件产生扭转变形的力偶矩，使杆件产生扭转变形的力偶矩，常称为常称为外力偶矩外力偶矩或转矩。圆轴在外或转矩。圆轴在外力偶矩力偶矩m m作用下发生扭转变形时，在作用下发生扭转变形时，在横截面上会产生相应的横截面上会产生相应的内力偶矩，内力偶矩，称为称为扭矩

4、，扭矩，用用 mn 或或T T来表示。来表示。 计算轴的扭转内力计算轴的扭转内力mn ，必须已知作用于轴上的外力偶矩，必须已知作用于轴上的外力偶矩 m。作用在。作用在轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是根据所给定的轴的传递功率轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是根据所给定的轴的传递功率 P 和轴的转速和轴的转速 n 算出来的。算出来的。二二. . 外力偶矩的计算外力偶矩的计算第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.9.三者有如下关系：三者有如下关系：nPm55. 9式中：式中：P轴传递的功率，单位轴传递的功率，单位KWn轴的转速，单位轴的转速，单位rminm作用在轴上的外力偶矩，单位作用

5、在轴上的外力偶矩，单位KN.mnPm9550P单位单位Wm单位单位N.m第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.10.三三. . 扭矩计算扭矩计算 轴在外力偶矩作用下，发生扭转变形，这时轴轴在外力偶矩作用下，发生扭转变形，这时轴的横截面上必然发生抵抗扭转变形的内力偶矩，采的横截面上必然发生抵抗扭转变形的内力偶矩，采用截面法可以求得轴任一截面的内力偶矩，我们称用截面法可以求得轴任一截面的内力偶矩，我们称为扭矩，用为扭矩，用T T表示。表示。第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.11.一、横截面上的内力一、横截面上的内力扭矩扭矩T的计算：的计算：1 1、截面法、截面法设轴在外力偶矩设轴在外力

6、偶矩m1、m2、mn作用下产生扭转作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。变形，并处于平衡状态。现分析任意截面现分析任意截面上上的内力。的内力。TT第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.12.运用截面法，取左段为研究运用截面法，取左段为研究对象，由力偶系的平衡条件知：对象，由力偶系的平衡条件知：0 , 01T-mMx1 mT 得：也可取右段为研究对象，由也可取右段为研究对象，由0 , 032mmTMx32 mmT得：由于轴处于平衡状态，所以由于轴处于平衡状态，所以00321mmmMx ,32mmm1 故故得得：T T 也即：TT第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.13.2 2、简捷法：、

7、简捷法：左或右mmn如何判断扭矩如何判断扭矩T或或mn的正负号？的正负号？按按右手螺旋法则右手螺旋法则，将外力矩表示为矢量，即四指弯向表示力偶的转向，将外力矩表示为矢量，即四指弯向表示力偶的转向，大拇指的指向表示外力矩矢量的方向。大拇指的指向表示外力矩矢量的方向。第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.14.为负，当大拇指指向该截面时为正离该截面时，背当大拇指的指向远TT如图所示：如图所示：第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.15.二、扭矩图：二、扭矩图：如果轴上作用有多个外力偶矩时，轴上各段的扭矩便不相同。为了清晰如果轴上作用有多个外力偶矩时，轴上各段的扭矩便不相同。为了清晰地表示出

8、各横截面上的扭矩沿轴线的变化规律，可仿照作轴力图的方法，以地表示出各横截面上的扭矩沿轴线的变化规律，可仿照作轴力图的方法，以横坐标横坐标x表示横截面的位置，纵坐标表示横截面的位置，纵坐标T或或mn表示相应截面上扭矩的大小，按表示相应截面上扭矩的大小，按照选定的比例尺，正的扭矩画在照选定的比例尺，正的扭矩画在x轴的上侧，负的扭矩画在轴的上侧，负的扭矩画在x轴的下侧。从而轴的下侧。从而可绘出扭矩随横截面位置而变化的图线。这种图线称为可绘出扭矩随横截面位置而变化的图线。这种图线称为扭矩图扭矩图。第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.16.例例 图图a a所示为皮带轮传动装置的计算简图。动力由皮带

9、轮所示为皮带轮传动装置的计算简图。动力由皮带轮B B输入，其功率输入，其功率P PB B55kW55kW，输出功率分别为，输出功率分别为P PA A26kW26kW，P PC C18kW18kW，P PD D=11kW=11kW。轴的转速。轴的转速n=400rn=400rminmin。略去轴承的摩擦，试绘制该轴的扭矩图。略去轴承的摩擦，试绘制该轴的扭矩图。解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩mmN13134005595499549nPmBBmN.76204002695499549nPmAAmN.74294001895499549nPmCCmN.62624001195499549nPmDD第第1 1

10、章章 工程力学基础工程力学基础.17.计算各段轴内的扭矩计算各段轴内的扭矩mn：N.m7 .6201AmTN.m3 .69213137 .6202BAmmTN.m6 .2623DmT绘扭矩图如图示。绘扭矩图如图示。第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.18. 转动轴如图转动轴如图1-361-36（a a）所示，转速）所示，转速n=300r/minn=300r/min，主，主动轮动轮A A输入功率输入功率P PA A=22.1KW=22.1KW，从动轮，从动轮B B、C C输出功率分别输出功率分别为为P PB B=14.8KW=14.8KW，P PC C=7.3KW=7.3KW。试求：。试求

11、：作用在轴上的外作用在轴上的外力矩；力矩；横截面上的扭矩。横截面上的扭矩。例例1-6 1-6 ：第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.19.解：解：作用在轴上的外力偶矩作用在轴上的外力偶矩mN703nP9549MAAmN471nP9549MBBmN232nP9549MCC 计算各横截面的扭矩计算各横截面的扭矩 由截面法，可求得由截面法，可求得OCOC与与BOBO1 1段扭矩为零。段扭矩为零。c cA AB BO O1 1O OI II IC CA AB B(b)(b)第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.20. 计算各横截面的扭矩计算各横截面的扭矩0MX0TM1CmN232T1I Ic

12、 cO OI IC CA AX XT T1 1X XCACA段段: :(c)(c)T T2 2B BO O1 1B BX XABAB段段: :(d)(d) 取CA段任一截面；如图I-I截面，设扭矩为 T1，且取为正扭矩得:第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.21. 取取ABAB段任一截面，如图段任一截面，如图-截面，设截面，设扭矩为扭矩为T T2 2, ,且取为正且取为正扭矩扭矩 由由0MX0TMM2ACmN471T2画扭矩图，见图画扭矩图，见图1-361-36（e e）O OC CA AB BO O1 1471N.m471N.m- -232N.m232N.m1-36(e)1-36(e)

13、+ +第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.22.1.4.2 1.4.2 圆轴扭转横截面上的切应力圆轴扭转横截面上的切应力 根据实验观察和分析，圆轴扭转变形后，原来根据实验观察和分析，圆轴扭转变形后，原来轴的横截面变形后仍为形状、大小不变的截面，只轴的横截面变形后仍为形状、大小不变的截面，只是转了一个角度是转了一个角度 ，轴表面的纵向线，变形后仍为直，轴表面的纵向线，变形后仍为直线，只是倾斜了一个角度线，只是倾斜了一个角度。如图所示。如图所示。A A1 1A AM M第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.23. 经推导，可得圆轴扭转时，横截面上各点的剪应经推导，可得圆轴扭转时，横截面上

14、各点的剪应力的大小与该点到圆心的距离力的大小与该点到圆心的距离成正比，切应力成正比，切应力的计算公式为：的计算公式为：其中：其中：TT横截面上的扭矩，横截面上的扭矩，NmNm； I IP P横截面的极惯性矩，反映轴抗扭变形的横截面的极惯性矩，反映轴抗扭变形的 能力，能力，m m4 4 。 距圆心为距圆心为 的任意点处距离，的任意点处距离，mm。pIT第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.24.44PD1 . 032DI圆轴横截面上最大切应力位于圆轴的外表面：圆轴横截面上最大切应力位于圆轴的外表面：)dD( 1 . 0)dD(32I4444P令：令：W Wt t=I=IP P/R/RW Wt

15、 t称为抗扭截面模量。称为抗扭截面模量。对于实心圆轴：对于实心圆轴：RITpmax第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.25. 对于空心轴：对于空心轴： ，其中，其中D D为圆轴外为圆轴外径，径， 为内径为内径d d和外径和外径D D的比值，的比值， = d/D= d/D。于是可得到轴上最大剪应力在圆轴外表面，计算式为：于是可得到轴上最大剪应力在圆轴外表面，计算式为：tmaxWT)1 (D16W43t3tD16W对于实心轴：对于实心轴：第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.26. 在例在例1-61-6所示的传动轴，（见图所示的传动轴，（见图1-361-36）。（）。（1 1）若轴）若轴

16、是实心圆轴，其直径为是实心圆轴，其直径为20mm20mm时，求整个传动轴的最大切时，求整个传动轴的最大切应力；（应力；（2 2）若轴是空心轴，其外径为）若轴是空心轴，其外径为40mm40mm，内径为，内径为20mm20mm时，求整个传动轴最大切应力和最小切应力。时，求整个传动轴最大切应力和最小切应力。例例1-7 1-7 ：tmaxWT第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.27.解：由图解：由图1-361-36（e e）所示的扭矩图可知，最大扭矩发）所示的扭矩图可知，最大扭矩发生在生在ABAB段各个截面上，而最小扭矩发生在段各个截面上，而最小扭矩发生在CACA段各个段各个截面上。截面上。 传

17、动轴的最大切应力在传动轴的最大切应力在ABAB段各横截面的圆周上，段各横截面的圆周上，其值为：其值为：MPa3000.0216471WT3t2max空心轴的最大切应力在空心轴的最大切应力在ABAB段各横截面的外圆周上，段各横截面的外圆周上，其值为：其值为：MPa40)1 (0.0416471WT43t2max第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.28.MPa9 . 9)02. 004. 0(23202. 0322I2dT44P1min空心轴的最小切应力在空心轴的最小切应力在CACA段各横截面的内圆周各点上，段各横截面的内圆周各点上，其值为：其值为：第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.

18、29. 如果圆轴为等直径圆杆，并且各个截面扭矩相等，如果圆轴为等直径圆杆，并且各个截面扭矩相等，则长度为则长度为l l的圆轴扭转角的圆轴扭转角，计算公式为：，计算公式为：1.4.3 1.4.3 圆轴扭转变形圆轴扭转变形PGITLradrad其中：其中：TT长度为长度为L L轴段受到的扭矩，轴段受到的扭矩，NmNm l l计算段的计算长度计算段的计算长度 ， m m G G轴的剪切变形模量，轴的剪切变形模量，PaPa I IP P轴的极惯性矩，轴的极惯性矩，m m4 4第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.30. 对于例对于例1-61-6的转动轴，若的转动轴，若CACA段和段和BABA段的长段的长度均为度均为l=200mml=200mm；轴径；轴径d=40mmd=40mm，且材料的剪切，且材料的剪切变形模量变形模量G=80GPaG=80GPa，试求，试求B B截面相对截面相对C C截面的扭截面的扭转角转角BCBC。例例1-8 1-8 ：第第1 1章章 工程力学基础工程力学基础.31.解：由前已知：