浙江师范大学高等数学d116高斯公式

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第六节green 公式gauss 公式推广推广高斯公式 第十一章 格林公式格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.高斯公式高斯公式表达了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、高斯一、高斯 ( gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzryqxpdddyxrxzqzypdddddd zyxzrdddyxrdd 下面先证:函数 p, q,

2、 r 在面 所围成, 则有 (gauss 公式公式) 的方向取外侧, 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院231zyxyxdo) ,(yxryxyxrdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明: 设yxdyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzryxzyxzd),(),(21yxd),(2yxz),(1yxzyxrdd yxd2 zyxzrdddyxdd1 3yxrdd称为xy -型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxrdd) ,(yxdyxd),(2yxzyxyxrdd) ,(),(1yxz高等数学高等数学浙江师范

3、大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院所以zyxzrdddyxrdd 若 不是 xy型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 xy型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyqdddyxrxzqzypd dddddzyxzryqxpdddxzqdd zyxxpdddzypdd 三式相加, 即得所证 gauss 公式：高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院x3z1y例例1. 用gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用gauss 公

4、式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyp, 0qyxr及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? dzzdd)sin(103020利用柱面坐标y=sino高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院hzyxo例例2. 利用gauss 公式计算积分szyxid)coscoscos(222其中 为锥面222zyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxdyxyx取上侧1(i1szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之

5、间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.1,记所围区域为 ,则 zyxzyxddd)(2yxhyxddd2h1高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院yxz2yxz2ozyxzyxiddd)(2xy22)(2dhyxdzzyxdxdy4hyxhyxddd2421hxy222dhyxzdzdxdy4h思考思考: 计算曲面积分提示提示: 作取上侧的辅助面,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2之间部分的下侧. , 2:1z4:),(22yxdyxyx2hzyxoh1高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师

6、范大学数理与信息工程学院coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( green )第一公式sd例例3. 设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧. up xvuq yvur zv注意注意:zyxzryqxpdd dyxrxzqzypdddddd xv高斯公式222222zvyvxv高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院注意注意:zyxzryqxpdd dyxrxzqzypdddddd 高斯公式证证:令up ,xvuq ,yvur ,zv由高斯公式得22

7、2222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvusd移项即得所证公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院ozxy例例4.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxi设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxdyxyxi11zyxdddyxxdd)(2xyd) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111yxd高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江

8、师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxrxzqzypddddddzyxzryqxpddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 0ddddddyxrxzqzyp0zryqxp高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作业作业p239 1 (4), (5); 4高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院思考与练习思考与练习,:2222取外侧设rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddd

9、dd333333vrd324 r(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331ryxzxzyzyxddddd333d31rvzyxd)(3222 为2r高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院rncosrn备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31vsr证证: 设 的单位外法向量为 则coscoscosrzryrxsrdcos31szyxdcoscoscos31vd331v的夹角,积为v, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 ,