概率论第八章假设检验

1、第八章第八章 假设检验假设检验假设检验的基本思想与步骤假设检验的基本思想与步骤 单个正态总体下均值与方差的检验单个正态总体下均值与方差的检验8.1假设检验的基本思想与步骤假设检验的基本思想与步骤 数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分布数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分布作出推断。作推断的方法，主要有两种，一种是上一章作出推断。作推断的方法，主要有两种，一种是上一章讲的参数估计，另一种是假设检验。讲的参数估计，另一种是假设检验。例例7.1 某厂生产合金钢，其抗拉强度某厂生产合金钢，其抗拉强度X(单位：单位：kg/mm2)可以认为服从正态分布可以认为服从正态分布N(,2)。据厂方说，

2、抗拉强度。据厂方说，抗拉强度的平均值的平均值=48。现抽查。现抽查5件样品，测得抗拉强度为件样品，测得抗拉强度为46.8 45.0 48.3 45.1 44.7问厂方的说法是否可信？问厂方的说法是否可信？这相当于先提出了一个假设这相当于先提出了一个假设H0：=48，然后要求从样本观测值出发，然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。检验它是否成立。例例7.2 为了研究饮酒对工作能力的影响，任选为了研究饮酒对工作能力的影响，任选19名工人分名工人分成两组，一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前不饮成两组，一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前不饮酒，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间

3、酒，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间(单位：分钟单位：分钟)如下：如下：饮酒者饮酒者 30 46 51 34 48 45 39 61 58 67未饮酒者未饮酒者 28 22 55 45 39 35 42 38 20问饮酒对工作能力是否由显著的影响？问饮酒对工作能力是否由显著的影响？两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服从正态两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服从正态分布的总体分布的总体XN(1,12)和和YN(2,22) ，如果饮酒对工作能，如果饮酒对工作能力没有影响，两个总体的均值应该相等。所以问题相当于力没有影响，两个总体的均值应该相等。所以问题相当于要求我们根

4、据实际测得的样本数据，检验假设要求我们根据实际测得的样本数据，检验假设H0：1= 2是否成立。是否成立。 例例7.3 某班学生的一次考试成绩为某班学生的一次考试成绩为x1,x2,xn，问学生的，问学生的考试成绩考试成绩X是否服从正态分布？是否服从正态分布？ 学生的考试成绩可以看作是总体学生的考试成绩可以看作是总体X的样本观察值，的样本观察值，该例题相当于提出这样一个问题该例题相当于提出这样一个问题H0：XN(,2)然后要求从样本出发，检验它是否成立。然后要求从样本出发，检验它是否成立。例例7.1-7.3有一个共同的特点，就是先提出一个假设，然有一个共同的特点，就是先提出一个假设，然后要求从样本

5、出发检验它是否成立。我们称这样的问题后要求从样本出发检验它是否成立。我们称这样的问题为假设检验问题。为假设检验问题。在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为假设，记为H0，原假设如果不成立，就要接受另一个假，原假设如果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为H1。例例7.1中，原假设是中，原假设是H0：=48， 备择假设备择假设H1：48，例例7.2中，中，H0：1= 2， H1：1 2例例7.3中，中，H0：XN(,2)，H1：X不服从正态分不服从正态分布

6、布问题：设总体问题：设总体XN(,2)，已知其中，已知其中=0，(x1,x2,xn)是是X的样本，要检验的样本，要检验H0：=0，(0是一个已知常数是一个已知常数) ，H1： 01、检验方法、检验方法总体总体XN(,2) ,要检验要检验是否为是否为0,而而是未知的是未知的.我们知道我们知道的无的无偏估计是偏估计是X的大小在一定程度上反映了的大小在一定程度上反映了，样本均值，样本均值X的大小，因此的大小，因此,当当H0为真时为真时,即即=0时，时，X的观察值的观察值x与与0的偏差的偏差|0 x一般不应太大。一般不应太大。如果如果|0 x我们就应怀疑假设我们就应怀疑假设H0的正确性并拒绝的正确性并

7、拒绝H0，而，而|0 x可归结为统计量可归结为统计量nx00|的大小。的大小。当当H0为真时，统计量为真时，统计量) 1 , 0(00NnXU过分大，过分大，的大小，的大小，由此，我们可选定一正数由此，我们可选定一正数k，使得当，使得当knx00|时时,就拒绝就拒绝H0，knx00|时，则接受时，则接受H0。称使称使knx00|成立的样本值成立的样本值(x1,x2,xn)为为检验的拒绝域，记为检验的拒绝域，记为W1。称使称使knx00|成立的样本值成立的样本值(x1,x2,xn)为为检验的接受域，记为检验的接受域，记为W0。2、检验的两类错误、检验的两类错误当当H0为真时，作出拒绝为真时，作出

8、拒绝H0的判断，称这类错误为第一类错的判断，称这类错误为第一类错误或弃真错误；误或弃真错误；当当H0不真时，作出接受不真时，作出接受H0的判断，称这类错误为第二类错的判断，称这类错误为第二类错误或取伪错误。误或取伪错误。记记=P拒绝拒绝H0| H0真真；=P接受接受H0| H0假假对于给定的一对对于给定的一对H0和和H1，总可找出许多临界域，总可找出许多临界域W，人们自然希望找到这种临界域人们自然希望找到这种临界域W，使得犯两类错误的概率都，使得犯两类错误的概率都很小。很小。奈曼奈曼皮尔逊皮尔逊(NeymanPearson)提出了一个原则：提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值

9、在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 的条件下，尽的条件下，尽量使犯第二类错误量使犯第二类错误 小小”，按这种法则做出的检验称为按这种法则做出的检验称为“显显著性检验著性检验”， 称为显著性水平或检验水平。称为显著性水平或检验水平。3、假设检验的步骤、假设检验的步骤(1)提出原假设提出原假设H0和备择假设和备择假设H1；(2)选取合适的统计量，当选取合适的统计量，当H0为真时，其分布是为真时，其分布是确定的；确定的；(3)对给定的显著性水平对给定的显著性水平，查标准正态分布表，查标准正态分布表，求出临界值，用它来划分拒绝域求出临界值，用它来划分拒绝域W1和接受域和接受域W0；(4)由样本观察值

10、计算检验统计量的值；由样本观察值计算检验统计量的值；(5)由统计量的样本值，作出拒绝还是接受由统计量的样本值，作出拒绝还是接受H0的的判断。判断。 正态总体下参数的假设检验正态总体下参数的假设检验一、单个正态总体下参数的假设检验一、单个正态总体下参数的假设检验 对于一个正态总体均值的检验，常见的有对于一个正态总体均值的检验，常见的有以下三种类型：以下三种类型：(1) H0：= 0，H1：0；(2) H0：0，H1：0；(3) H0：0，H1：0；检验规则为；检验规则为当当0XZzn时，拒绝时，拒绝H0当当0XZzn时，接受时，接受H0(3) H0：=0，H1：0；检验规则为；检验规则为当当0X

11、Zzn 时，拒绝时，拒绝H0当当0XZzn 时，接受时，接受H0例例7.4 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差=150，现从一批产品中随机地抽取，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均个，测得该项指标的平均值为值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(=0.05) ？解解 (1)提出原假设：提出原假设： H0：=1600，H1：1600； (2)选取统计量选取统计量0XZn(3)对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平=0.05 ，查标准正态分布表，查标准正态分布表0.

12、02521.96zz(4)计算统计量观察值计算统计量观察值01637 16001.25815026xzn(5)结论结论 21.2581.96zz接受原假设接受原假设H0即不能否定这批产品该项指标为即不能否定这批产品该项指标为16001600。 例例7.5 完成生产线上某件工作的平均时间不少于完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟，标准分钟，标准差为差为3分钟。对随机抽取的分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束名职工讲授一种新方法，训练期结束后，后，9名职工完成此项工作的平均时间为名职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。这个结果是分钟。这个结果是否说明用新方法所需时间

13、比用老方法所需时间短？设否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短？设=0.05，并，并假定完成这件工作的时间服从正态分布。假定完成这件工作的时间服从正态分布。 解（单边检验问题）提出原假设解（单边检验问题）提出原假设H0：15.5，H1：0；检验规则为；检验规则为当当0(1)XTtnSn时，拒绝时，拒绝H0当当0(1)XTtnSn时，接受时，接受H0(3) H0：0，H1：62.0； 选取统计量选取统计量nSXT0对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平=0.05 ，查查t分布表得分布表得0.05(1)(8)1.8595tnt由题意，由题意，5 .62x3 . 0S计算统计量观察值计算统计量

14、观察值593 . 00 .625 .620nSxt由于由于5(1)1.8595ttn所以拒绝原假设所以拒绝原假设H0，而接受，而接受H1，即认为这批罐头细菌含量大于即认为这批罐头细菌含量大于62.062.0，质量不符合标准。，质量不符合标准。 2、区间估计与假设检验的关系、区间估计与假设检验的关系抽样估计与假设检验都是统计推断的重要内容。参数抽样估计与假设检验都是统计推断的重要内容。参数估计是根据样本统计量估计总体参数的真值；假设估计是根据样本统计量估计总体参数的真值；假设检验是根据样本统计量来检验对总体参数的先验假检验是根据样本统计量来检验对总体参数的先验假设是否成立。设是否成立。(1)区间

15、估计与假设检验的主要区别区间估计与假设检验的主要区别.区间估计通常求得的是区间估计通常求得的是以样本估计值以样本估计值为中心的双侧为中心的双侧置信区间，而假设检验以假设置信区间，而假设检验以假设总体参数值总体参数值为基准，为基准，不仅有双侧检验也有单侧检验；不仅有双侧检验也有单侧检验；.区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（置信水平）置信水平）1-去保证总体参数的置信区间。而假设去保证总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平去检验对总体参数的先验假设是否成立。去检验对总体

16、参数的先验假设是否成立。(2)区间估计与假设检验的联系区间估计与假设检验的联系.区间估计与假设检验都是根据样本信息对总区间估计与假设检验都是根据样本信息对总体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是建立在概率基础上的推断，推断结果都，都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的可信程度或风险。有一定的可信程度或风险。.对同一问题的参数进行推断，二者使用同一对同一问题的参数进行推断，二者使用同一样本、同一统计量、同一分布，因而二者可以样本、同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。区间估计问题可以转换成假设问题相互转换。区间估计问题可以转换成假设问

17、题，假设问题也可以转换成区间估计问题。，假设问题也可以转换成区间估计问题。区间区间估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区域，置信区间以外的区域就是假设检验中的拒域，置信区间以外的区域就是假设检验中的拒绝域。绝域。(3)(3)、用置信区间进行检验、用置信区间进行检验均值双侧检验均值双侧检验.求出双侧检验均值的置信区间求出双侧检验均值的置信区间 2 2已知时：已知时： 2 2未知时：未知时：.若样本统计量若样本统计量x的值落在置信区间外，则拒绝的值落在置信区间外，则拒绝H0用置信区间进行检验用置信区间进行检验 ( (例题分析例题分析) )【例】一种袋装食品

18、每包【例】一种袋装食品每包的标准重量应为的标准重量应为1000克克。现从生产的一批产品。现从生产的一批产品中随机抽取中随机抽取16袋，测得袋，测得其平均重量为其平均重量为991克。克。已知这种产品重量服从已知这种产品重量服从标准差为标准差为50克的正态分克的正态分布。试确定这批产品的布。试确定这批产品的包装重量是否合格？包装重量是否合格？(= 0.05)用置信区间进行检验用置信区间进行检验(例题分析例题分析)解：解：提出假设：提出假设： H0: = 1000 H1: 1000已知：已知：n = 16，=50， =0.05双侧检验双侧检验 /2 /2=0.025 临界值临界值: Z0.025=1.96置信区间为置信区间为决策决策:结论结论: 在置信区间内，在置信区间内，不拒绝不拒绝H0可以认为这批产品的包可以认为这批产品的包装重量合格装重量合格Z01.961.960.025拒绝拒绝 H0拒绝拒绝 H00.0253、正态总体方差的检验、正态总体方差的检验 常见的正态总体方差的假设检验有以下三种类常见的正态总体方差的假设检验有以下三种类型：型：(1) H0：2=02，H1：202 ；(2) H0：202，H1：202；(3) H0：202，H1：202；检验规则为；检验规则为当当时，拒绝时，拒绝H0当当时，