概率论第二章

1、第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 2.1 2.1 离散型离散型随机变量随机变量 2.2 2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2.3 2.3 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布 2.4 2.4 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布2.12.1.1 .1随机变量的概念随机变量的概念 定义定义 2.1 样本空间为样本空间为，如果对每一个，如果对每一个样本点样本点，有一个实数，有一个实数X()与之对应，与之对应，这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在上的实值函数上的实值函数X=X()称为称为随机变量随机变量。随机变量常用随机变量常用X,Y,Z

2、,.或或X1,X2 X3 ,.注意：注意：随机变量的取值随着随机试验的结果而定。随机变量的取值随着随机试验的结果而定。2.1.2 离散型随机变量及其分布律 定义定义2-22-2 若随机变量若随机变量X只能取有限多个或可列无只能取有限多个或可列无限多个值，则称限多个值，则称X X为为离散型随机变量离散型随机变量。 定义定义2-3 X为离散型随机变量，可能取值为为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, , xk, 且且 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 则称则称Pk为为X的的分布律分布律或或分布列分布列或或概率分布概率分布。Xx1 1 x2 2xkPkp1p2pk分布律也可用表格形式表示

3、分布律也可用表格形式表示例例2-2 投一枚质地均匀的骰子，记投一枚质地均匀的骰子，记X为出为出现的点数，求现的点数，求X的分布律。的分布律。X123 345 65 6解：解：X的分布律的分布律为为Pk 16 16 16 16 16 16分布律分布律 Pk 具有下列性质：具有下列性质：(1)0,1,2,.;kPk 反之，若一个数列反之，若一个数列Pk具有以上两条性质，具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布律。则它必可作为某离散型随机变量的分布律。1(2)1.kkP 例例2-1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为X 0 1 2P 0.2 C 0.5求常数求常数C.

4、解：解：由由分布律分布律的性质得的性质得0.2 + C+ 0.5=1所以，所以， C=0.3例例2-3 袋子里有袋子里有5个同样大小的球，编号为个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.从中同时取出从中同时取出3个球，记个球，记X为取出球的最为取出球的最大编号，求大编号，求X的分布律的分布律.解：解：X的可能取值为的可能取值为3,4,5X=3P351=C1=10X=4P2335=CC3=10X=5P2435=CC3=5所以所以X的分布律的分布律X 3 4 5133 P 10105例例2-4 已知一批零件共已知一批零件共10个，其中有个，其中有3个不合个不合格格.现任取一件使用，若取到不合格零件

5、，则现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数到合格零件之前取出的不合格零件个数X的的分布律分布律。X=0P7=10X=1P37=109 7=30X=2P7=120327=1098 X=3P1=1203217=10987 解：解：X的可能取值为的可能取值为0,1,2,32.1.3 0-12.1.3 0-1分布与二项分布分布与二项分布定义定义2-4 若随机变量若随机变量X只取两个可能值只取两个可能值0，1，且，且 PX=1=p，PX=0=q，其中其中，0p1,q=1-p.则则称称X服从服从0-

6、1分布分布其分布律为：其分布律为：X 0 1P q p 定义定义2-5 若随机变量若随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,.,n. 而而X的分布律为的分布律为其中其中0p1,q=1-p,则称则称X服从服从参数为参数为n，p的的二项分布二项分布，简记为，简记为XB(n,p).,0,1,2,., ,kkn kknpP XkC p qkn n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A发生的次数发生的次数服从服从二项分布二项分布 例例2-6 某特效药的临床有效率为某特效药的临床有效率为0.95.现有现有10人服用，问至少有人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？人治愈的概率是多少？ 解：解：设设

7、X是是10人中被治愈的人数，人中被治愈的人数，则则XB(10,0.95).8P X = =8+ =9+ =10P XP XP X882991101001010100.95 0.05 +0.95 0.05 +0.95 0.05CCC =0.98852.1.4 2.1.4 泊松分布泊松分布 定义定义2-6 设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,.,n,.,而而X的分布律为的分布律为,0,1,2,.,!kkpP Xkekk 0 其中其中 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 的泊的泊松分布松分布，简记为，简记为 ( )XP 例例2-9 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为5的

8、泊松分布，的泊松分布，求求（1）PX=10；（2）PX10.1010- 11P XP XP X 解解：( (1 1) )1011!kkkkeekk 0.0318280.013695 0.018133 10111P XP X ( (2 2) )111!kkek 10.013695 0.986305 例例2-10 设设X服从泊松分布，且已知服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2，求，求PX=4.111!P Xe 解解：e 222!P Xe 22e 因为因为PX=1=PX=222ee 即即=2 解解得得422224=4!3P Xee 所所以以小小 结结 本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、随机变

9、量的概念；、随机变量的概念；2 2、离散型随机变量的概念及其分布律；、离散型随机变量的概念及其分布律；3 3、三个重要分布、三个重要分布: : 0-10-1分布、二项分布、泊分布、二项分布、泊松分布松分布. .2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.2.1 分布函数的概念分布函数的概念 定义定义2-72-7 设设X为随机变量，称函数为随机变量，称函数为为X的的分布函数分布函数。 ( ),(,)F xP Xxx 当当X为离散型随机变量时，设为离散型随机变量时，设X的分布律为的分布律为 ,0,1,2,kPP XkkL ( ),( ).由于，由概率性知，即kkkkkxxkkxxxxkxxXx

10、XxF xP XxP XxPF xP U注意：分布函数主要应用于连续型随机变量注意：分布函数主要应用于连续型随机变量2.2.2分布函数的性质分布函数的性质(1) 0( ) 1;F x1212(2)( )( )( );F xxxF xF x，是不减函数，对于任意的有分布函数有以下基本性质分布函数有以下基本性质：(3)()lim( ) 0,()lim( ) 1;FF xxFF xx (4)( )lim()( ).0F xF xxF xx 是右连续，即120,0,0,0,(1)( )sin ,0,(2)( )sin ,0,21,.1,.2xxF xxxF xxxxx 判断下列函数哪些是随机变量的分布

11、函数：练 习（2）是）是。 (1)不是。不满足不减性，在 处也不满足右连续。例例 2-12.0. 0, 0, 0,)(的值与为常数，求常数其中的分布函数为设随机变量baxxbeaxFXx()()lim( )limxa beaFF xxx 解：() 1;F 由分布函数的性质知，1a()lim( )lim00 xa bea bF xxx (0) 0;F又0ab 1b ( ),XF x已知 的分布函数我们可以得到下列重要事件的概率：(1);P X bF b（）)2( );P a X bF bF a（）1( ).3 P XbF b （ ）0,0,01,3( ),12,21,2.1313(1);(2);

12、(3)2.221223XxxxF xxxxPXP XP X设随机变量 的分布函数为求例1331(1)2222317;4612PXFF解1115(2)11;2266P XF 3331(3)11.2244P XF 2.3 连续型随机变量2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度( ),( ),2 8XF xf xx若对于随机变量 的分布函数存在非负函数使得对任意的实数 有定义xdttfxF,)()( )().Xf xX概率则称 为连续性随机变量 ,并称为 的,简称有些书称密度函数概率密度密度函数注：注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概率为0.即0. 0P Xx 离散型随机

13、变量离散型随机变量X在某一指定点取值的在某一指定点取值的概率概率不一定不一定为为0.密度函数的性质：密度函数的性质：(1)( )0;(2)( )1;fxfx dx这两条性质是判定一个函数这两条性质是判定一个函数 是否为概率密度的是否为概率密度的充要条件充要条件0 xf(x)面积为面积为1(3)( )( )( ),.baP aXbF bF af x dx ab(4)( )( )( )( ).xf xF xF xf x设 为的连续点，则存在，且利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率0 xf(x)ab( )baf x dx,1,( )0,1.1(1)

14、(2)3,.22 14Xcxf xxccX设随机变量 的概率密度为其中 为待定常数，求常数 ；落在区间内的概率例(1),)1f x dx解由概率密度的性质1111( )00f x dxdxcdxdx1(2)( )32f xPx 由 于是 分 段 函 数 ， 所 以 求需 分 段 积 分 ：132Px 21,c1.2c 故123( )f x dx11231102dxdx34,01,( )2,12,0,.Xxxf xxxX设随机变量 的概率密度为其他求 的分布函数例例 2 2- -1 15 50( )( )0;xxF xf t dt解 当时，2001( );2xxxF xtdt当时，010120(

15、2)12( )21;2xdttdtt dtxxF xx 当时，01201202( )1.(2)0 xdttdtt dtxtxdF当时，( )( ).f xF x一般地,为分段函数时,也是分段函数,二者有相同的分段点220,0,01,2( )21,12,21,2.XxxxF xxxxx即 的分布函数为20,0,( ),01,1,1.(1)( );(2)(0.3,0.7).216XxF xxxxXf xX设连续型随机变量 的分布函数为求的概率密度落在区间的概率例2 ,01,(1)( )( )0,.xxfxFx解其 他22(2)0307(07)(03)070304.P.X.F.F.有两种解法0707

16、0.720.303030307( )2( )04.P .X.f x dxxdxx. .或者2.3.2、均匀分布与指数分布、均匀分布与指数分布1,( )0,.,Xaxaabbbf xX若随机变量 的概率密度为其他则称 服从区间上的均匀分布定义2-9 三种重要的概率分布：均匀分布均匀分布、指数分布指数分布、正态分布正态分布.( , ).XU a b简记为均匀分布概率计算的重要公式：, , a b c d (,), X U a b a c d b设即 . d cP cXdb a则例例2-18 公共汽车站每隔公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过，乘客在过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站

17、是分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在等可能的，求乘客候车时间在1至至3分钟内分钟内的概率。的概率。,(0,5)XUX设 表示乘客的候车时间解则其概率密度为1,05,( )50,xf x其其他他. .31213.505PX所求概率为,0,( )0,0.0,xexf xXxX若随机变量 的概率密度为其中为常数 则称 服从参数为 的指数分布，定定义义2-102-10().XE简记为指数分布的概率密度和分布函数图像如下指数分布的概率密度和分布函数图像如下0 x0 x)(xf0 2.3.3 正态分布正态分布定义定义 2-11 22()2222,1( ),2,( ,),0,.xXXf x

18、eXxN 若随机变量 的概率密度为其中为服从参数为的正态分布常数则称简记为( )f x 的图形如右图：(1),0,.xhPhXPXh曲线关于直线对称 这表明对于任何有正态分布曲线的性质如下：正态分布曲线的性质如下：.,21)()2(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以处处曲曲线线有有拐拐点点在在时时取取得得最最大大值值当当xxfx 21222212()21()22(3),1( ),21( ),2xxf xefxe当 取定时，,.x两条曲线可沿 轴平行移动而得 不改变其形状可见正态分布曲线的位置完全由 决定是正态分布的中心22122212()231()242(4),1( ),21( ),2xxfxe

19、fxe当 给定 且时，,;,.,.,;,.当 越小时 图形变得越尖锐 反之越大时 图形变得越平缓因此 正态分布曲线中的值画了正态随机变量取值的分散程度越小 取值分散程度越小越大 取值分散程度越大222()2( ,)1( ),.0,21txXNF xedXt 设则 的分布函数为特别地 当时的标准正正态分布称态分布为标准正态分布标准正态分布2222( )( )1,21,2xtxexedtxxx( )(,).xx概率密度分布函标准正态分布的和为数记( ).x的图形见下图.210)(,)(, 处取得最大值处取得最大值在在且且轴对称轴对称的图形关于的图形关于显然显然 xxyx( ) x标准正态分布分布函

20、数的性质：(1)(1).)(xx 1(2)(0).22( )(1)( ,),( ).,XNF xxF xP Xx 设其分布函数为则-(2)()-().P aXbP aXbP aXbP abaXb (3)1().P XaP Xaa ( )( )F xx一般正态分布分布函数与标准正态分布分布函数的关系：(0,1)0,2 ( )1.XNhP Xhh 设，证明对于任意的由例例2-202-20P XhPhXh 证明结结 论论( )()hh ( )1( )hh 2 ( ) 1.h (1.5,4),(2)3.5 ;(2)1.53.5 ;(3)3 .XNP XPXP X设求例例2 2- -2 22 21.52

21、.解，( (1 1) )P P X X3 3. .5 5F F( (3 3. .5 5) )(2)1.53.5(3.5)(1.5)PXFF3.5 1.53.5 1.5(1)(1)2 2 0.8413.0.8413.3.5 1.51.5 1.522 (1)(0) 0.84130.50.3413.(3)313133PXPXPX1(3)( 3)FF 3 1.53 1.5122 1(0.75)( 2.25) 1(0.75) 1(2.25) 1 0.7734 1 0.98780.2388. 2( ,),1,2,3.XNXkkk 设求 落在区间的概率其中例例2 232 23()()( )()2 ( ) 1

22、,kkPkXkkkk 解解,6826 .0 1 )1 (2 X P ,9544. 01)2(222 XP .9973. 01)3(233 XP 由此看出：尽管正态分布取值范围由此看出：尽管正态分布取值范围是是 ,但它的值落在但它的值落在 的的概率为概率为0.9973几乎是肯定的几乎是肯定的,这个性质被称为正态分布的这个性质被称为正态分布的“ 规则规则”. ( (, ,) )3,3 3定义定义2-12,().(0,1),01,1XNP XuP Xuuu 设若 满足条件则称为标侧准正态分布的如下数图点点上上 分分位位0.10.1,P Xu侧0.1数上上分分位位0.11 0.1 0.9P Xu 即0

23、.11.28u 查表得：1.28为标准正态分数布的即侧上上 0 0. .1 1分分位位2.4.1 2.4.1 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律 2.4 2.4 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布 设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, g(x)是一给定的连续函数，称是一给定的连续函数，称Yg(X)为为随机变随机变量量X X的一个函数的一个函数，显然，显然Y也是一个随机变量也是一个随机变量. . 如何由已知的随机变量如何由已知的随机变量X的概率分布的概率分布去求函数去求函数Yg(X)的概率分布的概率分布.例例2-24 设随

24、机变量设随机变量X的分布律为的分布律为XP-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4求求: (1)Y=X3的分布律的分布律.(2) Z=X2的分布律的分布律.解解 (1)Y的可能取值为的可能取值为-1，0，1，8.由于由于3-1-1-10.2,P YP XP X30000.1,P YP XP X31110.3,P YP XP X38820.4.P YP XP XYP-1 0 1 80.2 0.1 0.3 0.3从而从而Y的分布律为的分布律为(2) Z的可能取值为的可能取值为0，1，4.20000.1,P ZP XP X211110.2 0.3 0.5,P ZP XP XP X 24420.

25、4.P ZP XP X从而从而Z的分布律为的分布律为ZP0 1 40.1 0.5 0.4 2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布( )()( ),XYfxYfyXg X设 为随机变量 其概率密度为要求的概率密度可以用如下连续型的定理：()( ( )( ) ,( )0,( )( ),( ).( )( )0.,XXYYg Xfh yxh yyXfxgh yxg xyxfyg 严格设 为连续型随机变量 其概率密单调的可导的函数值域为反函度为设是一,定理其其,且记为的则的概率数他.密度( )( )g xxh y（1）是单调递增的,则其反函数也是单调递增的( )( )( (

26、 )YXFyP YyP Xh yFh y( )( )( ( )( ( ) ( )YYXXfyFyFh yfh y h y( )( )1( ( )YXFyP YyP Xh yFh y ( )( )( ( )( ( ) ( )YYXXfyFyFh yfh y h y ( )( )g xxh y（2）是单调递减的,则其反函数也是单调递减的例例2-272-27( ),0,.XXfxa baYYaXb设随机变量 的概率密度为令其中为常数求 的概率密度( ),yg xaxb 解( ),ybxh ya( )( ( )( )1.YXXfyfh yhybfaya由定理得1( ),h ya2( ,),(1)282)2(YaXXXNYb 求：的概率密度；的概例率密度.22()21( ),2xXfxe利用例2-27所得的结论解,1(1),ab则( )(),YXXf