高等数学上54反常积分课件

1、上页下页结束返回首页3. 几个公式几个公式1. 定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(复习 “换元要换限换元要换限”2. 定定积分的分部积分公式积分的分部积分公式 . bababavduuvudv aaaxfxfdxxfdxxf为为奇奇函函数数时时当当为为偶偶函函数数时时当当，0,)(2)()1(0上页下页结束返回首页;)(cos)(sin)3(2200 dxxfdxxf,)(sin2)(sin)4(00 dxxfdxxxf.)()()2(0 TTaadxxfdxxf 2200cossin)5( xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143

2、231 为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数上页下页结束返回首页二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分 (广义积分)反常积分 第五五章 上页下页结束返回首页一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. . 曲线曲线21xy 和直线和直线1x及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积21yx A1可记作可记作12dxxA其含义可理解为其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1上页下页结束返回首页定义定义1. 设设, ),)(aCx

3、f,ab 取若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的的无穷限无穷限反常积分反常积分, 记作记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分这时称反常积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ,()(bCxf则定义则定义xxfxxfbaabd)(limd)(lim( )dabbf xx 上页下页结束返回首页, ),()(Cxf若则定义则定义lim( )daacf xx lim( )dbbcf xx ( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要只要有一个极限不存在有一

4、个极限不存在 , 就称就称xxfd)(发散发散 .无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并不是待定型并不是待定型 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散 . .( )df xx 上页下页结束返回首页,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似则有类似牛牛 莱公式莱公式的计算表达式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF上页下页结束返回首页例例1. 计算反常积分计算反

5、常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .P256-1上页下页结束返回首页例例2. 计算反常积分计算反常积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021pP256-20lim1tpteptpept0) 10(12p上页下页结束返回首页例例3. 证明证明p 积分积分apxxd证

6、证:axxdaxlnapxxdappx11当当 p 1 时有时有 1p1p,11pap当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1 时发散时发散 .,因此因此, 当当 p 1 时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值为其值为;11pap当当 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . P257-3当当 p =1 时有时有 上页下页结束返回首页二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的所围成的1x与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作10dxxA其含义可理解为其含义可理解为 01dlimxAx 12lim0 x)1 (2

7、lim02xy10A1xy上页下页结束返回首页定义定义2. 设设, ,()(baCxf而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,0取存在存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分这时称反常积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfbad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ),)(baCxf而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限若极限baxxfd)(lim0数数 f (x) 在在 a , b 上的上的反常积分反常积分, 记作记作则定义则定义则称此极限为函则

8、称此极限为函 上页下页结束返回首页若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点而在点 c 的的无界函数无界函数的积分又称作的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点无界点常称常称邻域内无界邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义上页下页结束

9、返回首页注意注意: 若瑕点若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则, ),(bac则则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?上页下页结束返回首页112dxx211111x下述解法是否正确下述解法是否正确: , 积分收敛积分收敛例例4. 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为

10、显然瑕点为 a , 所以所以原式原式0arcsinaax1arcsin2例例5. 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性的收敛性 . 112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分所以反常积分112dxx发散发散 .解解:P258-4P259-5上页下页结束返回首页例例6. 证明反常积分证明反常积分baqaxx)(d证证: 当当 q = 1 时时,当当 q 1 时收敛时收敛 ; q1 时发散时发散 .baaxxdbaax ln当当 q1 时时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当所以当 q 1 时时, 该广义积分收敛该广义积分收敛 ,

11、其值为其值为;1)(1qabq当当 q 1 时时, 该广义积分发散该广义积分发散 .P259-6上页下页结束返回首页内容小结内容小结 1. 反常积分反常积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap上页下页结束返回首页说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互相转化互相转化 .例如例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121

12、d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.上页下页结束返回首页思考题思考题1. 积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx2. 试证试证xxxxxd11d04204, 并求其值并求其值 .上页下页结束返回首页思考题思考题1.1.积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xx

13、x, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, , 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x上页下页结束返回首页2. 试证试证xxxxxd11d04204, 并求其值并求其值 .解解:041dxx令令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122上页下页结束返回首页xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 作业作业上页下页结束返回首页P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ; 提示提示: P260 题22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .作业作业上页下页结束返回首页例例7.解：解：,)2() 1