知识讲解-直线与抛物线的位置关系-基础

1、知识讲解-直线与抛物线的位置 关系（理）-基础直线与抛物线的位置关系【学习目标】1能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程;2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题;3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方 程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题 【知识网络】抛物线抛物线直线与抛抛物线抛物线抛物线的准线抛物线【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线I （ l不经过 点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F叫做抛 物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个 动点，一定点

2、F （即焦点），一定直线（即准线），一定 值（即动点M到定点F的距离与定直线I的距离之比）要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：要点诠释：求抛物线的标准方程应从 定形”、定式和 定值”三个方面去思考定形”是指以坐标轴为对称轴 的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据 形”设抛物线方程的具体形式；定值是指用定义法或待定系数 法确定p的值要点三、抛物线的几何性质范围：XX 0，yy R,抛物线y2=2px (p0)在y轴的右侧，开口向右，这 条抛物线上的任意一点 M的坐标(x, y)的横坐标满足 不等式x0当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线 向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无

3、界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px (p 0)关于x轴对称，我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px (p0)和它的轴的交点叫做抛物线的 顶点。抛物线的顶点坐标是(0, 0)。离心率：e 1.抛物线y2=2px (p 0)上的点M到焦点的距离和它到 准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e表示，e=1抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所 截得的线段叫做抛物线的通径要点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系将直线的方程y kx m与抛物线的方程y2=2px (p 0) 联立成方程组，消元转化为关于x

4、或y的一元二次方程， 其判别式为.2ky 2py 2 pm 0若k 0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与 抛物线相交于一点；若k 0 厶0 直线和抛物线相交，有两个交点； 厶二0直线和抛物线相切，有一个公共点； 0)或 y2【变式1】若抛物线通过直线y卜与圆X2 + y2 + 6x = 0 的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程.1【答案】由y 2X得 X 0，x2 y2 6x 0 y 0根据题意可设抛物线的方程为=2px(p0)，则(24, )在抛物线上，二m = 方程为X248y或y2 6x55【变式2】已知定点F(0,2)，若动点M(x，y)满足|MF | =y+ 2,则

5、点M的轨迹方程为.【答案】由已知得点 M到点F的距离等于点M到 直线y= 2的距离，故点M的轨迹方程为x2= 8y.类型二：直线与抛物线的位置关系例2 .过定点P(0,2)作直线I，使I与抛物线y2= 4x有且只有一个公共点，这样的直线I共有条.【答案】3【解析】如图，过点P与抛物线y2 = 4x仅有一个公 共点的直线有三条：二条切线、一条与 x轴平行的直线.相交【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑 于一点的情况，不要漏掉.举一反三：抛物轴的【变式】已知F是抛物线y2= x的焦点，A, B是该 线上的两点，|AF|+ |BF| = 3,则线段AB的中点到y 距离为.【答案】TAF|+

6、 |BF| = xa + xb+ * = 3, Xa + xb = 2 .线段AB的中点到y轴的距离为丁 J类型三：抛物线的弦例3.斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点，与 抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.【解析】如图8-3- 1, y2=4x的焦点为F （1, 0）, 则I的方程为y=x - 1.2由 y 4x 消去 y 得 x2- 6x+1=0.y x 1设 A（X1, y1）, B（X2, y2）则 xi+ X2=6.又A、B两点到准线的距离为A , B，贝UAA BB X11 X2 1 为 X226 2 8【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质 的性质，在解题中起到

7、至关重要的作用。举一反三：【变式】顶点在原点，焦点在 X轴的抛物线截直线y =2x 1所得的弦长|AB|= 5灵，求抛物线的方程.【答案】y2= 20x或y2=- 12x.例4.若直线I: y= kx 2交抛物线y2= 8x于A、B两 点，且AB的中点为M(2, yo)，求yo及弦AB的长.【解析】把y = kx 2代入y2= 8x,得k2x2- (4k + 8)x + 4= 0.设 A(X1, y1), B(X2, y2).TAB 中点 M(2, yo), X1 + X2 = 4,即攀=4,解得k = 2或k =一 1.又 A= 16k】8【解析】抛物线的准线方程为x= 1,则AB中点到 准

8、线的距离为3 ( 1) = 4.由抛物线的定义得|AB = 8.类型四：抛物线的综合问题例5.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线 相交于P(X1, y)、Q(X2, y2)两点，求证： .yy p ；【解析】证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为pF(P0)。+ 64k + 64 16k20, k 一 1 , k = 2,此时直线方程为y= 2x 一 2,t M(2, yo)在直线上，yo= 2, |AB|= a/1 k2|X2 Xi| 75 $42 4 夕 2/T5.【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之 和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也 是解析几何的核心

9、思想举一反三：【变式】过抛物线y2=4x的焦点作直线I交抛物线 于A B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则|AB等于（1）当直线PQ斜率存在时，过焦点的直线方程可 设为 y k（x 2）,由 y k（x 2）y2 2px消去 x 得：ky2 2py kp2=0（探）当k=0时，方程（丿只有一解， k工0, 由韦达定理得：yi y2= p2。当直线PQ斜率不存在时，得两交点坐标为(p)2 yi y2=p 。综上两种情况：总有yiy2=p2。【总结升华】韦达定理在解决抛物线综合问题中有着非常重要的作用，注意它的合理应用举一反三:x=【变式1】 定长为3的线段AB的两个端点在抛物 线y2=x上移动

10、，AB的中点为M，求点M到y轴的最短 距离，并求此时点M的坐标【答案】如图设 A(xi,yi), B(X2,y2),M(x,y),y=yiy22又设点A，B，M在准线i：x= 1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM /与 y 轴的交点为 N ,则|AF|=|AA /|=xi + 1,|BF|=|BB/|=X2+;1, x=2(xi+X2)=*(|AF|+|BF| 片扛AB| 肖三等号在直线ab过焦点时成立，此时直线ab的方程为 y=k(x W)1由 y k(x 4)得 16k2x2 8(l2+2)x+k2=02y x 2依题意 |AB|= i k2 |xix|= i k2 x炭= =3,2 k2=1/2,此时 x=1(xi+X2)=8(=22 16k24y= 即 M(4,彳),N(|, )【变式2】已知点P是抛物线y2 = 2x上的动点，点 P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M，点A