概率与数理统计1-7

1、概率论概率论 第七节第七节 条件概率条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 概率论概率论 P(A )=1/6，例如例如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰

2、子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是于是概率论概率论 P(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)

3、()(10710373BPABP则则概率论概率论 P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据的时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题某个缩小了的范围内来考虑问题.概率论概率论 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生

4、发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生, 故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAPSABAB2. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.概率论概率论 3. 条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证) : | 件件具具备备概概率率定定义义的的三三个个条条条条件件概概率率A

5、P ; 0|, : 1 ABPB对于任意的事件对于任意的事件非负性非负性 ; : 21 A|SP规范性规范性 , , : 321则有则有是两两互斥事件是两两互斥事件设设可列可加性可列可加性BB 11iiiiABPABP . 所以在前面几节证明的性质对条件概率都成立概率论概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总

6、数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数概率论概率论 例例1 5个乒乓球，其中个乒乓球，其中3个新球，个新球，2个旧球。每次取一个个旧球。每次取一个,不放回地取不放回地取2次。（次。（1）求第一次取到新球的概率；）求第一次取到新球的概率；（2）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新球的概率。球的概率。解法解法1()(|)( )P ABP B AP A解法解法2 3( )5P A 解解 设设A=第一次取到新球第一次取到新球 B=第二次取到新球第二次取到新球应用应用 定义定义在在A发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间

7、中计算3 2 5 4213 54221(|)42P B A 概率论概率论 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率概率论概率

8、论 同步训练同步训练15 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBP概率论概率论 . 个事件的积事件的情况个事件的积事件的情况乘法定理可以推广到多乘法定理可以推广到多 ,

9、 0 , 则则且且为三个事件为三个事件、设设 ABPCBA .|ABCPABPAPABCP , 2, , , , 21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可得则由条件概率的定义nAAAP 1 -212-211|.nnnnAAAAPAAAAP 213121121|AAAPAAPAPAAAAPnn概率论概率论 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 例例2 一个罐子中包含一个罐子中包含t个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 a 个个与所抽出的球具有相同颜色的球与所抽出的球具有

10、相同颜色的球. 这种手续进行四次这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）t个白球个白球, r个红球个红球概率论概率论 于是于是 表示事件表示事件“连续取四个球，第一连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球、第二个是红球，第三、四个是白球. ” t个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进a个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解 设设 Ai=第第i次取出是红球次取出

11、是红球, i=1,2,3,4 1234A A A A概率论概率论 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 a 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.23rrattatr tra tra tra 1234()P A A A A1213124123()()()()P A P AA P AA AP AA A A概率论概率论 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5个个球迷好不容易才搞到

12、一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没写写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”概率论概率论 到底谁说的对呢？让我们用概率到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下论的知识来计算一下,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到

13、底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”概率论概率论 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”概率论概率论 因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定

14、没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：计算得：概率论概率论 )|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去

15、就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，概率论概率论 有三个箱子有三个箱子, 分别编号为分别编号为1,2,3. 1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球个白球, 2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球从中任意摸出一球, 求取得求取得红球的概率红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生

16、，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥, 必有且仅有一个发生，必有且仅有一个发生，故构成样本空间的一个划分。故构成样本空间的一个划分。看一个例子看一个例子:概率论概率论 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B= SB=A1B+A2B+A3B， 且

17、且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥概率论概率论 1定定理理, SE 的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1概率论概率论 niiiB|APBPAP1 . 全概率公式全概率公式 件件是是把把一一个个未未知知的的复复杂杂事事全全概概率率公公式式的的基基本本思思想想 , 而而这这些些简简单单单单事事件件再再求求解解分分解解为为若若干干个个已已知知的的简简 , 使使得得某某个个未未知知事事件件事事件件组组事事件件组组成成一一

18、个个互互不不相相容容故故在在至至少少一一个个同同时时发发生生与与这这组组互互不不相相容容事事件件中中, A , S的的关关键键是是要要找找到到一一个个合合适适应应用用此此全全概概率率公公式式时时 . 的的一一个个划划分分概率论概率论 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因 ，如果，如果A是由原因是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发发生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起A发生概率的总和，发生概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi

19、)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解概率论概率论 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成为看成为“由原由原因推结果因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作作用用”大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因A是结果是结果概率论概率论 P27P27例例3 3例例3 3 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂

20、生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。试求市场上该品牌产品的次品率。123:BAAA设： ：买到一件次品; 买到一件甲厂的产品;买到一件乙厂的产品; 买到一件丙厂的产品.112233( ) ( |)() ( |)( ) ( |)P A P B AP A P B AP A P B A1110.020.010.030.0225442)()()()(321BAPBAPBAPBP概率论概率论 该球取自哪号箱的

21、可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大? 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，出一球，发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:概率论概率论 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 有三个箱子，分别编号为有

22、三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发发现是红球现是红球, 求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?概率论概率论 某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号号箱的概率箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|

23、B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?概率论概率论 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.ni, 21 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理2 , , 21为样本空间的为样本空间的设设nAAA , 0 , , 则恒有则

24、恒有且且中的任一事件中的任一事件为为一个划分一个划分 BPB 概率论概率论 贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最）发生的最可能原因可能原因.概率论概率论 4 , , 0 P27-例在数字通迅中 由于随机干扰 当发出信号 ,0.2 0.7 1 , , 0 , 的概率分别是的概率分别是不清不清收到信号收到信号时时 , 1 , 1 ; 0.1 和和不清不清收到信号为收到信号为时时当发信号当发信号和和 , 0 ,0.1 0.9 0 如果整个发报过程中如果整个发报过程中和和的概率分别是的概率分别是 , 0.

25、4 0.6 1 0 不清不清当收到当收到和和出现的概率分别是出现的概率分别是和和 ? , 试推测原发信号是什么试推测原发信号是什么时时 解解 , 0 则则发出信号发出信号设设 B 1 发出信号发出信号 B , 不清不清收到信号收到信号 A . 1 0 的一个划分的一个划分或或发出信号发出信号为为与与则则 BB概率论概率论 0 的概率为的概率为而原发信号为而原发信号为不清不清故收到信号为故收到信号为 APABPABP | BAPBPBAPBPBAPBP| . 0.750.10.40.20.60.20.6 1 的概率为的概率为而原发信号为而原发信号为不清不清而收到信号为而收到信号为 ABPABP|

26、1| . 25. 075. 01 75% ( , 确确切切地地说说有有能能可可以以推推测测原原发发信信号号很很可可因因此此 . 0 ) 是是的可能的可能概率论概率论 P29-例例6 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种，正常人对这种试验反应是阳性的概率为试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0

27、.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).概率论概率论 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论概

28、率论 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 概率论概率论 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必

29、过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. 概率论概率论 P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Ai | B)有

30、了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为原因分别称为原因的的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.概率论概率论 例例7 7 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯, ,每箱每箱2020只只, ,其中每箱其中每箱含含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选某顾客选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的只检查，结果都是好的，便买下了这一箱，便买下了这一箱. .问这一箱含有一个次品的概率是问这一箱含有一个次品的概率是多少？多少？解解设设A: :从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查, ,结果都是好的结果都是好的. .B0 0, , B1 1, , B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP概率论概率论 已知:P(