河海大学理学院高等数学106gauss公式

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第七节 高斯（高斯（gauss）公式 高等数学（下）高等数学（下）一、一、高斯公式高斯公式 外rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(二、斯托克斯公式二、斯托克斯公式 rdzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydzn 右手法则右手法则 高等数学（下）高等数学（下） 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面围成围成, , 函数函数),(zyxp、),(zyxq、),(zyxr在在 上具有上具有 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(

2、 一、高一、高 斯斯 公公 式式dsrqpdvzryqxp)coscoscos()( 或或 高等数学（下）高等数学（下）证明思路：证明思路： dydzzyxpdvxp),( dzdxzyxqdvyq),(dvzrdxdyzyxr ),(dvzr dxdyzyxr),( 高等数学（下）高等数学（下）证明证明设设闭闭区区域域 在在面面xoy上上的的投投影影区区域域为为xyd. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三三部部分分组组成成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz ；柱面0),(:3yxf 1 2 3 xyd( (1 取取下下侧侧, , 2 取取上上侧侧, , 3 取取外外侧侧)

3、 ) 高等数学（下）高等数学（下）根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxrdvzrdxdyzyxr),(下面证明,),(,),(22 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr. 0),(3 dxdyzyxr 高等数学（下）高等数学（下）,),(,),(,12 xyddxdyyxzyxryxzyxr dxdyzyxr),(于是于是.),( dxdyzyxrdvzr根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzrdvzrxydyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyddxdyyxzyxryxzyxr 高等数

4、学（下）高等数学（下）,),( dydzzyxpdvxp同理同理,),( dzdxzyxqdvyq rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(- gauss公式公式和并以上三式得：和并以上三式得： 高等数学（下）高等数学（下）gaussgauss公式公式的实质的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系其边界曲面上的曲面积分之间的关系. .)coscoscos()( dsrqpdvzryqxp 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知 高等数学（下）高等数学（下）二、简单的应用例例1 1 计计算算曲曲面面积积分分xdy

5、dzzydxdyyx)()( 其其中中为为柱柱面面122 yx及及平平面面3, 0 zz所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧. .xozy113解解, 0,)(yxrqxzyp 高等数学（下）高等数学（下）, 0, 0, zryqzyxp dxdydzzy)(原式原式.29 ( (利用柱面坐标得利用柱面坐标得) )xozy113 301020)sin(rdzzrdrd 使用使用guassguass公式时应注意公式时应注意: :必须是封闭的曲面必须是封闭的曲面, ,取外侧取外侧. . 13022)(yxdxdyzdzdxdydzzy 高等数学（下）高等数

6、学（下）xyzo例例 2 2 计算曲面积分计算曲面积分dszyx)coscoscos(222 , ,其中为其中为锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面0 z及及)0( hhz之间的部分的下侧之间的部分的下侧, , cos,cos,cos是在是在),(zyx处处的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. .h 高等数学（下）高等数学（下）xydxyzoh 1 解解)(:2221hyxhz 补补充充取取上上侧侧，1 ，构成封闭曲面 1,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 dvzyxdszyx)(2)coscoscos(1222 2240222hdxdyzdzhzyx 高等数学（下）高等数学（下）xyd

7、hyxzdzdxdy22,2.| ),(222hyxyxdxy 其中其中xyddxdyyxh)(222.214h 高等数学（下）高等数学（下） 112222)coscoscos(dszdszyx xyddxdyh2.4h 故故 dszyx)coscoscos(222421h 4h .214h 高等数学（下）高等数学（下）三、物理意义-流量与散度设设有有向向量量场场kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为1. 1. 流量流量 rdxdyqdzdxpdydzdsnasda0称为向量场称为向量场),(zy

8、xa穿过曲面穿过曲面的的流流量量. . 高等数学（下）高等数学（下）由由gauss公式：公式： rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(,0)(时当dvzryqxp,0)(时当dvzryqxp,0)(时当dvzryqxp,),(rqpv 高等数学（下）高等数学（下）dsnvdvzryqxp0)(dsnvvdvzryqxpv01)(1dsnvvzryqxp0),(1)(dsnvvzryqxpmm01lim由积分中值定理由积分中值定理两边取极限两边取极限, , 高等数学（下）高等数学（下）设设有有向向量量场场),(zyxa, ,在在场场内内作作包包围围点点m 的的闭闭曲曲面面 , , 包

9、包围围的的区区域域为为, ,记记体体积积为为 v. .若若 当当收收缩缩成成点点m时时, , 则称此极限值为则称此极限值为a在点在点m处的处的散度散度, , 记为记为adiv. .即即 2. 2. 散度的定义散度的定义: :极极限限 存存在在, , dsnvvm01limzryqxpadiv 高等数学（下）高等数学（下）高斯公式可写成高斯公式可写成 dsadvadivn)coscoscos(0 rqpnaan 的的边边界界曲曲面面，是是空空间间闭闭区区域域其其中中 .的的外外侧侧法法向向量量上上的的投投影影在在曲曲面面是是向向量量 aan 高等数学（下）高等数学（下）四、小结 dsadvadivn3、应用的条件、应用的条件4、物理意义、物理意义2、