圆锥曲线几何问题的转换

1、几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。1在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线 段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为 坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符 号进行判定（2）点与圆的位

2、置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些 题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，uur uuuuir uuACB为钝角（再转为向量：CA CB 0 ;若点在圆上，贝U ACB为直角（CA CB 0）；若uur uuu点在圆外，贝U ACB为锐角（CA CB 0 ）（3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：rrr rrra%,% ,bx2,y2

3、，贝U a,b共线x2x2yi; abx-|X2yy 0（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注 意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化(1)三角形的“重心”：设不共线的三点Ax,% ,B x2, y2 ,C x3,y3 ,则VABC的重心为X2X3 y1 yy33，3(2)三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3)三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质图):IP AC,IQ AQBAC的角平分线上APAQut uuur

4、AI ACuuuACULT UUUAI ABuuuAB可知(如P是以DA,DB为邻边的平行四边形的顶点(4)的夹角)转化为向量的数量积，从而简化运算,UULT UUUAC AB，例如:AC AB、典型例题:AC BC(要注意向量ujur umrAC BC2例1:如图：A,B分别是椭圆C:X7a2y21 a bb20的左右顶点,F为其右焦点，2是AF ,FB的等差中项，3是AF , FB的等比中项(1)求椭圆C的方程(2)已知P是椭圆C上异于A, B的动点，直线I过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ AP，并交直线I于点Q。证明：Q,P,B三点共线解：(1)依题意可得：A a,0,B a,0 ,

5、F c,0Q2是AF , FB的等差中项AFFBa c a c 2a2Qy/3是 AF , FB 的等比中项73AF FB a c a c a2 c2 b22 2Q椭圆方程为：乂 143（2）由（1）可得：A 2,0 ,B 2,0 ,F 1,0设AP:y k x 2，设P x1,y1 ，联立直线与椭圆方程可得:另一方面，因为FQAPkpQ1kFQ : y1x 1，联立方程：y1 x 1kQ2,-kx 2kB,Q,P三点共线2 2例2：已知椭圆 务告1(a b 0)的右焦点为F ， M为上顶点，O为坐标原点，若厶OMFa b的面积为1，且椭圆的离心率为 I 2 2(1) 求椭圆的方程；且使点F

6、PQM的垂心？若存在，求出直M 0,1 ,F 1,0(2) 是否存在直线I交椭圆于P，Q两点,线I的方程；若不存在，请说明理由.1解：（1 ） Svomf一OMOF1 be12222椭圆方程为：2y12(2)设P(N，yJ，0区2),由(1)可得:kMF1 Q F PQM 的垂心设 PQ : y x m由F PQM的垂心可得：MP FQ uur uuuMP FQ x1 x2 1y1 1 y2 0 因为P,Q在直线y x m上* %y2X2m，代入可得:m即 2x1 x2 (x1 x2)(m1) m考虑联立方程:Xi解得:x m2y2 * 4X21时,得3x224m亍，也4mx2m232m2代入

7、可得:4或m 13 PQM不存在，故舍去4x -3为垂心与三角形顶点的连线垂直底边,4时，所求直线I存在，直线I的方程为y3小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系)2例3:如图，椭圆笃a2b 1(a b 0)的一个焦点是F 1,0，O为坐标原点.(1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正圆的方程;角形，求椭(2)设过点F且不垂直x轴的直线I交椭圆于A,B两点，若直线I绕点F任意转动，恒有OA2 |0B2 AB2,求a的取值范围.解：(1)由图可得:1吋由正三角形性质可得：mf0 6J332 y_联

8、立直线与椭圆方程:b2x2 a2k2 x 1 2 a2b2，整理可得:a2k2 a2b2 k2b2 a2b2k20 恒成立即 k2 a2 b2 a2b2a2b2 恒成立2a21 a2 a2 10解得：aa的取值范围是1522 2例4:设A,B分别为椭圆冷爲 a b若直1 a b 0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1（1）求椭圆的方程；（2）设P为直线x 4上不同于点4,0的任意一点, 线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）依题意可得a 2c，且到右焦点距离的最小值为a c 1 可解得：a 2,c 1 b

9、 . 32 2椭圆方程为 143（2）思路：若要证B在以MN为直径的圆内，只需证明 MBN为钝角，即 MBP为锐角，uuuu uuu从而只需证明BM BP 0，因为A,B坐标可求，所以只要设出 AM直线（斜率为k），联uuuu uuuuuun uuu立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而BM BP可用k1表示。即可判断BM BP 的符号，进而完成证明 解：由（1）可得A 2,0 ,B 2,0，设直线AM,BN的斜率分别为k，M疋，则AM : y k x 2 联立AM与椭圆方程可得:y k x 23x2 4y2，消去 y 可得：4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 12y1k

10、x12Ol12k日仃 “6 8k12k2k 2 ，即 M 24k2 34k2 3 4k2 3设 P 4,y。，因为P在直线AM上，所以yo k 4 2 6k，即P 4,6kMBP为锐角,MBN为钝角M在以MN为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线x2 4y的焦点F的直线I与3交于A, B两点，与椭圆-y4322X21的交点为C，D，是否l 使得 AF| |CF在，请说明理由BFDF若存在，求出直线I的方程,0,1，设 I: ykx抛物线相存在直线若不存|AF|DF.，不妨设LAF|DF|BF|CF|71|BF|CF|uuruuuUULTuur则AFFB,DFFC解：依题意可知抛物线焦点F,B

11、 X2,y2 ,C X3,y3设 A X1,y1,D X4,y4X1X3X2考虑联立直线与抛物线方程:X4kxx24kx 4 04yX-|X2X1X21x2xf 44k，消去X2可得:4k联立直线与椭圆方程:y kx 16x2 3y246x223 kX 1整理可得:36k23k26由可得:24k2 卫雲，解得：k21 k3k 61所以存在满足条件的直线，其方程为：y x 1例6:在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2 2py p0的准线方程为y12，过点M 4,0作抛物线的切线 MA，切点为A (异于点O),直M与抛物线交于两点P,Q，与直线OA交于点(1)求抛物线的方程试问牆H的值是否为定

12、值?日若疋,求出定值;若不是，请线I过点解：(1)由准线方程可得:P212P 1抛物线方程：x2 2y(2)设切点A冷。，抛物线为/1 2 x2y x切线斜率为kX。切线方程为：y y。X。x X。代入M4,0 及 y。1 2可得： -xo x0 4 x02，解得：X。(舍:）或 Xo8设 PQ:x my 4Q M,P,N,Q共线且M在x轴上联立PQ和抛物线方程：x2 2ymy24 2y，整理可得x my4再联立OA,PQ直线方程：y 4xyN16x my41 4m说明理由例7:在VABC中，AB的坐标分别是2,0 ,2,0，点G是VABC的重心，y轴上一点M满足 GM / AB，且 MC|

13、|MB(1) 求VABC的顶点C的轨迹E的方程(2) 直线I : y kx m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围解：(1)设C x,y 由G是VABC的重心可得:由y轴上点M满足平行关系，可得M 0丄3由MC化简可得:MB可得:x2213y02 $ y2x2C的轨迹E的方程为：22y(2)Q四边形OPRQ为平行四边形设 P Xi,yi ,Q X2,y2R X1 X2,y1y2Q R在椭圆上3xfy23x； y；6为 x22yy因为P,Q在椭圆上，所以3x：3x|2 y12y2代入可得:6x-|X2 2y-i y21

14、23x-|X2yy联立方程可得:代入可得:k23 x22kmx6 0有两不等实根可得:4k2m24 k2m260,即2 23m 6k 180，代入k2 2m23另一方面:2m23 k2m2例8:已知椭圆2XC : Ta2yb21的离心率为-2直线I过点A 4,0 ,B 0,2，且与椭圆C相切于点P(1)求椭圆C的方程(2)是否存在过点A4,0的直线m与椭圆交于不同的两点M,N使得235 AM解（1）e - 1a 236 AP椭圆方程化为:AN2x4c2？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由2:、3 :13x2 4y212c2QI 过 A 4,0 ,B 0,2设直线I：x寸11y 2x

15、3x2联立直线与椭圆方程:4y21x212c2消去y可得:3x212c2整理可得：x2 2x3c2QI与椭圆相切于P2椭圆方程为：-42It 1，且可解得P1,|（2）思路：设直线m为y kx 4 , M X1,y1 ,N X2,y2，由（1）可得:1，1，再由 A4,0可知AP2 454,若要求得k （或证明不存在满足条件的k），则可通过等式36 AP235 AMAN列出关于k的方程。对于AM AN，尽管可以用两点间距离公式表示出AM , AN，uuu uuuuuuu UULTAM AN。写出AM ,AN的坐标但运算较为复杂。观察图形特点可知A,M,N共线，从而可想到利用向量数UUUU UU

16、LT量积表示线段的乘积。因为AM ,AN同向，所以AM AN 即可进行坐标运算，然后再联立 m与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于 k的方 程，求解即可x 4 ,M N，% ,N X2，y2解：由题意可知直线m斜率存在，所以设直线 m:y k 由（1）可得：P 1,32UUUU UULTQ A,M ,N共线且AM,AN同向AMANuuuu AMuuuAN联立直线m与椭圆方程：3x2 4v21232k2x64k2 12 0y消去y并整理可得：4k2 3 x2y k x 422245 uuuu uuur 36 k 1Q36AP 35 AM | |AN，代入 AP| , AM AN 2可得:

17、44k 3可解得：k2- k 2，另一方面，84若方程4k2 3 x2 32k2x 64k2 12 0有两不等实根2则32k24 4k2 3 64k2 120解得：1 k 12 2k丄符合题意4直线m的方程为：y2 x 4 ，即：4y x .2 或 y4丄x .2422例9：设椭圆C: x2a占 1 a b 0的左，右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过点A与AF?bujuur uuur r垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2F1F2 F2Q 0(1)求椭圆C的离心率(2)若过代Q,F2三点的圆恰好与直线l : x 3y 30相切，求椭圆C的方程的直线IP m,0 使果存在，求kAQ 3C,kA

18、F2b 由AQ AF2可得:2(2)由(1)可得：a : b : c 2: 3 :1代Q,F2的外接圆的直径为QF2，半径设为rQF22c，圆心 c,0由圆与直线相切可得:2cc 3 4c解得：c 1 a 2,b.,32 2椭圆方程为-1（3）由（2）得 Fi431,0 ,F2 1,0 :设直线 I : y k x 1 设M X1,y1 ,N X2,y2 ,若PM,PN为邻边的平行四边形是菱形 则P为MN垂直平分线上的点设M , N中点Xo，yoMN的中垂线方程为:yoXo，即 x ky kyo Xo 0代入P m,o可得：mkyoXo1X1 X24Xo122 2 2 24k 3 X 8k X 4k 12 o2 2联立方程：3X 4yy k X 1所以存在满足题意的p，且m的取值范围是 例1o：已知抛物线C : y2 2pX p o的焦点为F ,直线y 4与y轴的交点为P，与抛物5线的交点为Q，且QF 5|PQ4(1 )求抛物线C的方程(2)过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点，若AB垂直平分线l与C相交于M ,N两点,且代M,B,N四点在同一个圆上，求l的方程2 8 解：（1）设 Q Xo,4，可的 4 2pxoXoPQP 0,4PQ-QQFXo卫- 卫且QF5PQPP2P 248p 5-解得p 2p24P抛物线C : y2 4x(2)由