运动界面追踪问题—详细公式推导过程课件

1、任务三 运动界面追踪问题摘要关于运动界面追踪问题专业性很强，运用到很多水力学的理论公式，我们结合专业知识和生活实际解决两个问题。 问题一首先，我们将输水管送水模型分为跌水模型和灌水模型两大类。采用局部分析方法针对输水管的两种状态采用微元法进行分析。从而建立微分方程，精确地模拟出流体运动过程的模型。对于跌水模型，我们建立了微分方程模型，模拟出水流下降过程，计算水流断面的速度和下降时间。对于灌水模型，分别讨论前一峰点比后面的高和前一峰点比后面的低这两类情形，利用MATLAB计算出水流到达每一谷点和峰点的时间如表5.1和表5.2所示。计算结果为水流到达终点（节点602）需要12.04天。 问题二我们

2、在对有压管道非恒定流分析的基础上建立了水流的运动方程和连续方程，并利用特征线的计算方法将偏微分方程转化为常微分方程，然后对特征线方程组进行差分变换，配合初边值条件，编程求解输水管线全程的水头压力分布和从一种恒定流到另一种恒定流的时间。当入流速度达到每天45万吨的额定状态后，在计算出水头损失的情况下运用不可压缩实际液体恒定流的能量方程（伯努利方程）求出管线水头压强分布，进而求出压力分布，最后利用有压管道水力过渡过程的连续方程的简化形式计算出所需时间。最后利用MATLAB计算出过渡所需时间，约为36小时。关键词 运动界面追踪 水力学 连续方程 运动方程 能量方程 非恒定流的基本方程组 特征线方程

3、有限差分方程 偏微分方程 1 问题重述某输水管线是利用114米地面落差有压、重力流输水工程。管径2.2米，管线长度176公里，地面高程变化很大。当输水管线建成后，首次通水时，为了防止水流速波动产生水击破坏管线，只能以每秒0.6立方米的流速由某水库向管线内灌水。当被供水城市水厂出流稳定后，再逐步提高入流速度达到每天45万吨（一期工程单线）的额定工作状态。需要解决的问题： （一）第一阶段：假设以每秒Q（=0.6）立方米入流速度向管线内灌水，模拟出水头前沿面的运动过程，计算出水头前沿面顺序到达管线高程谷点和峰点的时间。 （二）第二阶段：再分两阶段提高入流速度达到每天45万吨的额定工作状态，请设计通水

4、方案，计算出由一种恒定流达到另一种稳定流后的管线水头压力分布和需要的时间。data1.txt 是某输水管线信息数据2 模型假设1 假设输水管道输送的液体水绝对不可压缩、没有粘滞性，即认为是理想流体2 假设上述的理想流体是由大量流体质点所组成的连续介质3 假设流体质点不可能穿入或者穿出流管（输水管道）4 假设空间每一点的流速不随时间而改变，就称这样的流动方式为稳定流动（定常流动）3 符号系统符号含义备注模型一流体密度假定不变过流断面面积流速管道流量总水头损失沿程水头损失局部水头损失局部阻力系数附件给出管段长度微分管道计算内径重力加速度取9.8m/s2谢才系数（塑料管）常量=150水力坡降水力半径

5、等于过水面积除以湿周渠道或管道的粗糙度与和粗糙度有关的指数可查表格或用经验公式计算均匀流的水面坡度或管道水流的水力坡度模型二截面积微元控制体厚度微元中体中心线处流体的压力测压管水头管径切应力流体平均速度威斯巴哈摩擦系数流体密度假定不变管壁速率流体的体积弹性模数弹性模量管壁厚度根据管子的支撑情况多确定的系数4 模型基础根据题设要求，我们根据物理学和水力学原理列写几个重要计算基本公式如下：4.1 连续方程根据质量守恒定律，在一个较短的时间Dt内，流进流管的流体质量等于流出流管的流体质量，在这里我们可以给出公式（4.1） （4.1）根据假设1，我们可以知道流体在运动的过程中密度不变，有，等式两边同时

6、约去，可以得到公式（4.2），推广得公式（4.3） （4.2） （4.3）4.1.1 满流情况当输水管道达到满流情况时，由于整个输水管道的直径（除入水口）始终恒为2200mm，根据上述推导过程我们可以得到流体在输水管道中的运动过流断面面积始终保持不变，即有输水管道满流处速度为一恒定值，以下给出速度的具体计算公式（4.4） （4.4）4.1.2 非满流（明渠）情况当输水管道非满流情况时，流量为一定值的情况下，过流断面面积A越小，输水管道非满流处速度越大。4.2 沿程损失总水头损失包含两种形式，由摩擦引起的沿程水头损失和由局部干扰引起的局部水头损失，如式（4.5）所示 （4.5）第一部分，局部水头

7、损失计算公式如下 （4.6）式中，为局部阻力系数，根据题目可以知道各个类型不同，则局部阻力系数不同。各个节点具体的局部阻力系数可以由下表查得。信息码含义局部阻力系数信息码含义局部阻力系数1变坡0.0035498调压阀1.52排气0.19突然缩小0.008333弯头0.00354910入口（接管井）0.54检修阀门0.211渐缩管0.065水平转角0.089412调压井三通0.16穿越0.00354913出口（配水井）17突然扩大0.00058814排泥0.1根据经验，室外给水排水管网中的局部水头损失一般不超过沿程水头损失的5，因和沿程水头损失相比很小，所以在管网水力计算中，常忽略局部水头损失的

8、影响，不会造成大的计算误差。所以在计算过程中，我们对于一些较小的作舍去处理。因此我们在这里忽略由局部干扰引起的局部水头损失，且输水管道为圆管。所以我们可以得到式（4.7） （4.7）另外，题设提示给出了两种特殊适用范围下的水头损失计算方法。4.2.1海澄威廉计算公式（适用范围：较光滑的圆管满流）对于满流圆管，我们引入海澄威廉计算公式，沿程损失求解公式如下 （4.8）4.2.2 巴普洛夫斯基计算公式（明渠和非满流排水管道）对于非满流圆管，我们引入巴普洛夫斯基计算公式是用来计算曼宁系数 （4.9）当时，我们可以得到巴普洛夫斯基计算公式的一个特例曼宁公式 （4.10）得到曼宁系数之后，可以用于计算管

9、渠的平均流速 （4.11）4.3 能量方程根据能量守恒定律，实际液体总流能量恒定，总流能量由平均位能、平均压能、平均动能和平均能量损失四个部分组成，如式（4.12）所示 （4.12）各部分分式含义位置水头，代表平均位能压强水头，代表平均压能流速水头，代表平均动能水头损失，代表平均能量损失5 模型建立5.1问题一 出水头前沿面的运动模型5.1.1问题分析在充水阶段，输水管道为非满流管，流体属于无压流。列写的能量公式不存在平均压能。取一小段管道中的水流结合动能定理利用微元法分析。图5.1 下降坡水流微元分析由图5.1可得，。可以得到，非满流管的能量公式： （5.1）两边同除 （5.2）式中 忽略，

10、化简得 （5.3）根据达西魏斯巴赫（DarcyWeisbach）公式 （5.4）式中，为无量纲待定系数，习惯上称为沿程阻力系数，根据已经定义的水力坡度表达式和谢才公式得 （5.5）再结合巴普洛夫斯基公式式中，R为水力半径，于是可得y表达式如下： （5.6）又由于题设中由于近似计算，得 （5.7）再讨论水力半径的表达式，由题意进行无压圆管的水力计算。所谓无压圆管，是指非满流的圆形管道。图5.2圆形断面无压均匀流的过水面示意圆形断面无压均匀流的过水面如图所示。设其管径为d水深为h，定义，称为充满度，所对应的圆心角称为充满角。由几何关系可得各水力要素之间的关系为：过水断面面积： （5.8）湿周： （

11、5.9）水力半径： （5.10）5.1.2 模型求解由题设，我们得到条件 （5.11）根据模型基础中的公式引入推导，我们容易得到以下方程组： （5.12）方程组（5.12）为超越方程组，由此方程组虽然能够解出与的关系，但编程却很繁琐，为此采用数值方法求解。思路是对在 0 到 2 区间内每隔 0.01 均匀取 628 个点，代入每个点求得对应的与 值，作出散点图，再通过MATLAB运用Trust-Region置信域优化算法拟合与的关系求其近似解。图5.3 R、v曲线拟合拟合函数： （5.13）判断拟合度是否在误差允许的范围内，MATLAB给出的拟合优度如下:和方差、误差平方和 确定系数 均方根、

12、标准差 可知，拟合程度在误差允许的范围内。由下列方程组 （5.14）将方程组（5.14）带入式（5.3）得 （5.15）其中和的关系式为式（5.13）由于利用matlab求解常微分方程。具体求解过程见附录代码程序。根据判断，输水管道全过程中有87个谷点，在MATLAB中求解微分方程得到出水头前沿面顺序到达管线高程谷点的时间表5.1 出水头前沿面顺序到达管线高程谷点的时间谷点时间谷点时间谷点时间谷点时间谷点时间9853.9407629144233318.9061241419465.9706338534324.7783495901098.68094320538.13767148239187.942

13、46422845.6513343537316.6852501912652.05665327565.75554150246174.3954251429377.4705359543650.7019513942176.55265945834.15132153269582.1574254432183.5441369571654.0118516949940.52936767740.36407157282345.8217256435276.7636373577257.1419528954101.72857182855.62569161288350.2656261442984.2396379583439.1

14、752540966120.489273116161.6347164292914.6343263451546.482389591008.5882550972393.866677121248.3048170297613.1665265453382.2971402598693.3785556976861.673680125766.2461183311947.6562274460481.121409615178.0745563980520.993284141353.6548185318727.4695279470702.6021415661396.5011574985203.00996156970.1

15、72187324838.9464293477718.0068418708714.6592589998756.6466106159826.4997198352157.6879296484161.5813425723680.78315951016547.396111168201.4949201354420.7731307493105.9739428737783.07055971029405.041113178628.0127210364059.0638313509525.4158435751848.75216001032602.106117192533.7197215371488.51763165

16、11884.6282452786218.20886021040166.245122200679.6284220380449.641323519008.6374469832536.1699126214368.4119226387882.2613326522770.8592478852875.7632138226675.0246236412458.9039336525890.0504483867907.9342根据判断，输水管道全过程中有86个峰点，在MATLAB中求解微分方程得到出水头前沿面顺序到达管线高程峰点的时间表5.2 出水头前沿面顺序到达管线高程峰点的时间峰点时间峰点时间峰点时间峰点时间

17、峰点时间1213267.432145238612.0522242422637.3175339537239.9799498911877.88524424336.14393149245834.4931250429322.4906346542474.6201511941788.64795443347.04137152269548.8231252432112.1712367571607.8317515949921.64686166494.68273156282015.3822255435260.2084370577237.0788519953640.56356982742.84006158288194

18、.7964260441944.4024376583259.3731534965944.86572115955.93162292420.5682262451498.1066384590908.8105544972292.455674120944.4945166296834.3988264453028.0939391596867.6158554976824.844478124850.1029175310890.2377268459992.1711404612201.8634560980191.780781140929.2255184318606.2995277470468.294841265713

19、9.0612568984794.595393156903.4997186324811.8187283477343.3482416704912.2684578997550.426697158907.3545195352052.735294484072.896419721900.05025941016316.959107166349.1099199354323.6948303492388.5542426734232.90585961029308.71112178460.2625204363592.8606310509349.2273430750190.85035991032424.49511619

20、2310.8712211370943.5903314511785.229447783423.53376011039577.828119200125.9262217379370.1056320518964.6516463831987.6895123214192.8622221386320.4526324521211.8163476852592.7538133225995.8582235412279.6072327525428.39479864057.763139232410.3516238419329.0441337534258.3169493900256.78555.2 问题二 有压管道非恒流

21、模型 5.2.1 问题分析在管道中的水流恒定的状态下，管道水流的截面积为一个圆形管道的截面，即水是充满整个管道的。在水力学中，这种状态属于有压管道的状态，可以从下图得出。而管道中的水流由一种恒定流过渡到另一种恒定流的过程是一个非恒流的过程，因此我们使用有压管道的非恒流方程来求解，建立有压管道非恒流模型，求解输水管道中水流从一种恒定流到另一种恒定流所需时间。图5.4 有压无压管道示意我们假设第二阶段任何时刻输水管道都是满管有压的。由于输水单元中的压力管道始终处于有压状态，采用非恒定流的运动方程和连续方程对非恒定流进行建模，压力管段的基本控制方程和求解步骤如下： 问题二通过对微元体进行受力分析，给

22、出顺便留的运动偏微分方程和连续偏微分方程，并采用特征线法将偏微分方程变换为全微分方程，然后给出相应的有限差分方程，以便对管内非定常流进行数值求解。5.2.2 模型求解5.2.2.1 运动方程图5.5 运动方程用微元控制体示意在管中取截面积、厚度为的微元控制体如图5.5所示。图中，为微元中体中心线处流体的压力，为测压管水头，管子与水平线成角，管径，为切应力，微元体所受的力有：横截面上的表面正压力、侧面上的切应力、压力分量和重力，根据牛顿定律，流体非定常流动的运动方程为(5.16)式中，为流体平均速度。舍去式中项，方程简化为 (5.17)式中，展开，用测压管水头替代，并代入达西-威斯巴哈（Darc

23、y-Weisbach）摩擦系数，即，则式整理为 （5.18）上式即为瞬变流的运动偏微分方程。5.2.2.2连续方程图5.6 连续方程用微元控制体示意在管中取一段长度为的微元控制体，如图5.6所示。根据质量守恒定律，流入和流出控制体的流体质量差等于控制体内流体的质量变化，即： (5.19)式中，为流体密度，为管壁速率。根据流体体积弹性模数定义，并引入波速，有： （5.20）并仍用测压管水头表示压力项，可得连续偏微分方程： (5.21)式中，以为因变量，为自变量，而波速包括了流体及管壁特性，因此该式适用于一切瞬变流动研究。对于输水管道，用式(5.22)计算波速： (5.22)5.2.2.3特征线方

24、程特征线方法是瞬变流数值计算中常用的一种方法，它能够将偏微分方程转化为特殊的全微分方程，然后得出便于数值计算的有限差分方程。令式（5.18）的左端为，式（5.20）的左端为，引入一个未知因子，组合有:（5.23）因为是的函数，如果让为的函数，有微分形式： （5.24） （5.25）观察式（5.23）（5.25），若令 （5.26）则有常微分方程 （5.27）此时 （5.28） （5.29）式（5.29）将波的位置变化和时间变化与波的传播速度联系起来。将式（5.28）的值代入式（5.27），联立式（5.28）可得特征线方程组： （5.30） （5.31） （5.32） （5.33）式（5.30）

25、、式（5.31）为特征线方程，是平面上的两根直线，在这两根特征线上，偏微分运动方程和连续方程可变换为全微分方程式（5.31）和式（5.32）,也即式（5.31）和式（5.32）沿特征线成立，称为相容性方程。5.2.2.4有限差分方程单管的网格如图5.7所示，沿和特征线将相容性方程式（5.31）和式（5.33）进行积分，并采用一阶近似，可得到有限差分形式：图5.7单管的网格 （5.34） （5.35） （5.36） （5.37）在规定时间间隔法里，如点的参数已知，可用线性差值来求的和，得 （5.38）根据式（5.35），由于，得： （5.39）同样，根据式（5.37）可求出、和的插入值： （5.40）同理，应用线性插值法有： （5.41）得到 （5.42） （5.43）式（5.42）、式（5.43）中，为网格比： （5.44） （5.45）引入下列参数： （5.46） （5.47） （5.48） （5.49）即在特征线上有： （5.50） （5.51）对于一根管子的任一内截面，其测压管水头和流量可用式（5.42）、式（5.43）解出： （5.52） （5.53）对于刚性较大的管子，原偏微分方程中的迁移加速度项和很小，即，同时，如图5.8所示，特征线方程为 （5.54）图5.8 单管的网格偏微分方程为 （5.55）全微分方程 （