轴对称变换画图及求最小值问题学案资料

1、轴对称变换画图及求最小值问题学案一 .选择题(共5小题)1.如图，4ABC的顶点坐标分别为A (4,4)、B(2,1)、C (5, 2),沿某一直线作ABC的对称图形，得到ABC,若点A的对应点A的坐标是(3, 5),那么点B的对应点B的坐标是()A. (0, 3)B. | (1, 2)C. (0, 2)D. | (4, 1)2 .如图， ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点 A的坐标是(-2, 3),先把 ABC向右平移4个单位得到 A1B1C1,再作 A1B1C1关于x轴对称图形 A2B2c2,则顶点A2的坐标是()A. (-3, 2)B. | (2, -3)C. (1, -2)D.

2、(3, - 1)3 .已知：如图，l /m,等边 ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20,则/ “的度数为()BA. 60B. 45C. 40D, 304 .如图，坐标平面内一点 A (2, - 1),。为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点 P、O、A为顶点的三角形是等 腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，在 ABC 中，AB=AC ,数为()产3cA. 70B. 8/ A=40, AB的垂直平分线交 AB于点D,交AC于点E,连接BE,则/ CBE的度0C. 40D, 30二.填空题（共3小题）6 .如图，在平面直角坐标系中，

3、 ABC的两个顶点A, 以y轴为对称轴作轴对称变换， 得到 A B C （A和A 则点C的坐标是 .7 .如图，在22的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的4 为顶点的三角形，这样的三角形共有_ 个，ACCWCm. m. m.B的坐标分别为（-2, 0）, （-1, 0）, BCx轴，将 ABCB和B, C和C分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A, CABC ,请你找出格纸中所有与 ABC成轴对称且以格占 请在下面所给的格纸中画出.（所给的六个格纸未三.解答题（共9. （2013?重庆）22小题） 作图题：(-2, 1), B (-4, 5)(1)作 ABC关于直线（不要求写作法）如图， A

4、BC在平面直角坐标系中，其中，点 C （ - 5, 2）.l: x= - 1对称白A1B AiBiCi,其中，点A、B、C的对应点分别为A、B、C的坐标分别为AA1、B1、C1;10 .已知：如图所示，(1)作出 ABC关于y轴对称的 ABC；并写出 ABC三个顶点的坐标.(2)在x轴上画出点巳使PA+PC最小.11 .我们曾学过 两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1,已知，A, B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得 PA+PB最小.我们只要作点B关于l的对称点B,(如图2所示)根据对称性可知，PB=PB.因此，求AP+B

5、P最小就相当于求 AP+PB 最小，显然当A、P、B在一条直线上时 AP+PB最小，因此连接 AB,与直线l的交点，就是要求的点 P.有很多问题都可用类似的方法去思考解决.探究：(1)如图3,正方形ABCD的边长为2, E为BC的中点，P是BD上一动点.连结 EP, CP,则EP+CP的最小值是_,(2)如图4, A是锐角MON内部任意一点，在/ MON的两边OM , ON上各求作一点 B, C,组成 ABC ,使 ABC 周长最小；(不写作法，保留作图痕迹)(3)如图5,平面直角坐标系中有两点A (6, 4)、B (4, 6),在y轴上找一点C,在x轴上找一点D,使得四边形ABCD的周长最小

6、，则点 C的坐标应该是 ，点D的坐标应该是.12 .小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图 a,若点A, B在直线m同侧，在直线 m上找一点P, 使彳# AP+BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：作点B关于直线m的对称点B;连接AB 与直线m的交点P,则点P为所求线段AB的长度即为AP+BP的 最小值.请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图b,在等边 ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP+PE的值最小，并求出最小值;(2)如图c,在矩形 ABCD中，AB

7、=4 , BC=6 , G为边AD的中点，若巳F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1,当四边形 CGEF的周长最小时，请你在图 法)，并求出四边形 CGEF周长的最小值.c中确定点 巳F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作13 .如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线.(1)由图观察易知 A (2, 0)关于直线l的对称点A的坐标为(0, - 2),请在图中分别标明 B (5, 3)、C (2, 5), 关于直线l的对称点B、C的位置，并写出它们的坐标；B、C：;(2)结合图形观察以上三组点的坐标，彳会发现：坐标平面内任一点P (a, b)关于第二、四象限的角平

8、分线l的对称点P的坐标为 (不必证明)；(3)已知两点D (-1, -3)、E (1, -4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求 出Q点坐标.14 .如图1:点M、N在直线AB的同侧，在直线上找一点 P使MP+NP最短？解：做点M关于直线AB的对称点M.连接MN,线段MN与直线AB的交点即为点P的位置，即MP+NP最短.(1)应用1:如图2, M、N是 ABC中AB、AC边上的两点，请在BC边上确定一点 P使得 PMN的周长最小？(不 写作法只保留作图痕迹)(2)应用2：设x、y为正实数，且x+y=8 ,求： .+ 1-：的最小值.15 .阅读材料：例：说明代数式

9、Jg+J (富3 ) 2+4的几何意义,并求它的最小值.解：(厂3)2寸(工-。)DV7T77 如图，建立平面直角坐标系，点p(X，)是X轴上一点，则 j(富_ 0 ) 2+ 2可以看成点 P与点A (0, 1)的距离，3)2+2 2可以看成点 P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是 PA+PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为 A；则PA=PA,因此，求PA+PB的最小值，只需求 PA+PB的最小值，而点 A、B间的 直线段距离最短，所以 PA+PB的最小值为线段 A B的长度.为此，构造直角三角形 ACB,因为A C=3, CB=3 ,所以

10、 AB=3&,即原式的最小值为 3&.根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式，(冥1)之+1+(其_ 2 ) +g的值可以看成平面直角坐标系中点P (x, 0)与点A (1, 1)、点B_的距离之和.(填写点B的坐标)(2)求代数式的Y J - 12工际的最小值小73(3, 2)AfC16 .如图1,在直线l同侧有A, E两点(1)通过画图，在直线l上找到一点P,使得AP+EP的值最小；(2)如图2,分别过点 A, E作ABBD, ED BD , C为线段BD上一动点，连接 AC, EC.已知AB=9 , DE=1 , AE=17 ,设CD=x ,用含x的代数式表示 AC+CE的长；(3

11、)应用A:如图3,若直线l是一条河流，A、E代表河流同侧的两个工厂，欲在河岸上建一供水站，供 A、E两个 工厂的用水，为了节省费用，使通水管道到两个工厂的距离之和最短；已知工厂A到河岸的距离为9千米，工厂E到河岸的距离为1千米，A、E两个工厂之间的距离为 17千米，请你求出通水管道的最短长度；(4)应用B:借助上面的思考过程与几何模型，求代数式j+g+q (16-力 之+见的最小值(0AB,。为对角线的交点，过 。作一直线分别交 BC、AD于M、N.(1)如图，求证：梯形 ABMN的面积等于梯形 CDNM的面积；(2)如图，若矩形ABCD沿MN折叠，能使得点 C与点A重合，且翻折后不重叠部分的

12、面积是重叠部分的面积的，求BM : MC的值；2时，才能使得点C恰好与点A重合(只写出结果，不要求(3)矩形ABCD沿MN折叠，当MN满足 证明).D图图24.如图，将一张矩形纸片 交AD于点N.(1)求证：CM=CN ;(2)若 CMN的面积与4ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处,CDN的面积比为3: 1,且CD=4 ,求线段 MN点D落在点E处，直线MN交BC于点M,的长.25 .折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想.如下图把一张直角三角形纸片按照图1中的过程折叠后展开，便得到一个新的图形-叠加矩形”.请按照上

13、述操作过程完成下面的问题：(1)若上述直角三角形的面积为 6,则叠加矩形的面积为 ;(2)已知 ABC在正方形网格的格点上，在图 2中画出 ABC的边BC上的叠加矩形 EFGH (用虚线作出痕迹，实 线呈现矩形，保留作图痕迹)；OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条(3)如图3所示的坐标系，OA=3,点P为第一象限内的整数点，使得 件的P点的坐标.26 .如图，将矩形纸片 ABCD沿其对角线 AC折叠，使点B落在点B 的位置，AB与CD交于点E.(1)求证： AEDACEB ;(2)求证：点E在线段AC的垂直平分线上；(3)若AB=8 , AD=3 ,求图中阴影部分的周长.B27 .如图，在矩形 ABCD中，AB=5 , BC=4 ,将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC 于点F,求FC的长.28 .如图，将矩形纸片 ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.（1）求证： FGCA EBC;（2）若AB=8 , AD=4 ,求四边形ECGF （阴影部分）的面积.G29 .问题1如图，一张三角形 ABC纸片，点D、E分别是 ABC边上两点.研究（1）:如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则/ BDA与/ A的数量关系是 研究（2）:如果折成图