661数位逻辑设计与电路

1、數位邏輯設計與電路3-1 布林代數的應用3-2 邏輯公式的簡化3-3 各種類型的邏輯閘級應用3-4 設計邏輯電路3-5 組合電路的應用3-1布林代數的應用3-1-1什麼是布林代數布林代數名稱取自於英國數學家喬治布林(george boolean)，他致力於尋找可做邏輯計算(logical calculation)之工具，並發明一組可處理邏輯符號的結構和規則，就像處理數字運算一樣的符號代數。交集交集當某一事件當某一事件“同時同時”符合某些條件時，我們才說它成立，而這就是所謂的符合某些條件時，我們才說它成立，而這就是所謂的交集交集(conjunction)(conjunction)。例如當我們評估

2、是否要購買某一棟房子時，我們可以列出能不能購買的各種條件，如：a：是否有足夠的錢付頭期款？ b：坪數夠不夠？c：交通方不方便？在此我們將是否購買的結果設為x，則可以得到一如下的關係式： x = a and b and c 而在布林代數中符號【】代表and的意思，所以由上式我們可以得到： x = a b c若以圖形來表示的話，則兩兩之間的交會處所代表的意思為兩者條件皆兩兩之間的交會處所代表的意思為兩者條件皆符合者符合者，由此可知若要同時符合a、b、c這三個條件的話，則必須取其三項交集處，如下圖的藍色區域，其表示同時符合a、b、c這三個條件時，結果才算成立： 聯集聯集(or)(or)當某一事件只要

3、符合當某一事件只要符合“其中一個條件其中一個條件”時，我們就說它成立，而這就是時，我們就說它成立，而這就是所謂的聯集所謂的聯集(disjunction)(disjunction)。例如辦理信用卡時，只要資格符合信用卡公司所列出的其中一個條件就可以辦理信用卡，如： a.有穩定的收入 b.上班族 c.企業負責人(如老闆) 這時三個條件中只要有一項成立，就可以順利的辦理信用卡，在這我們將結果設為x，則關係式如下： x = a or b or c 而在布林代數中符號【+ +】代表or的意思，所以由上式我們可以得到： x = a + b + c 若以圖形來表示的話，則在有a、b、c三項交集的藍色區域，其

4、結果全部都能成立： 反反(not)(not)： 這裡所說的反反(negation)(negation)即表示【相反】的意思即表示【相反】的意思，例如：我們去監理所辦理監理業務時，若我們之前有未繳清的罰款，監理所會要求我們將所有的罰單款項繳清才能辦理，這時只有一個條件a(罰單款項繳清)是可以決定我們能否辦理監理業務，假設我們將結果設為x，則關係式如下： x = not a 在布林代數中符號【】代表not的意思，所以由上式我們可以得到： x = a 3-1-2布林代數的運算方式布林代數加布林代數加當運算式中的其中一項變數為1時，則結果必定為1：0 + 0 = 0(兩個變數為0，結果為0)0 + 1

5、 = 1(其中一個變數為1，結果為1)1 + 0 = 1(其中一個變數為1，結果為1)1 + 1 = 1(兩個變數為1，結果為1)布林代數乘布林代數乘當運算式中的其中一項變數為0時，則結果必定為0： 0 0 = 0 (兩個變數為0，結果為0)0 1 = 0 (其中一個變數為0，結果為0)1 0 = 0 (其中一個變數為0，結果為0)1 1 = 1 (兩個變數為1，結果為1) 3-1-3布林代數的基本定理布林代數的基本定理對偶定理對偶定理(duality theorem)(duality theorem) a+0=a (變數a+0，結果仍為a)a1=a(變數a乘1，結果仍為a) 吸收定理吸收定理

6、(absorbtive theorem)(absorbtive theorem) a+1=1(變數a+1，無論a為何，結果為1)a0=0(變數a乘0，結果絕對為0) 全等定理全等定理(equal theorem)(equal theorem)a+a=a(變數a和自己相加，結果為a本身)aa=a(變數a和自己相乘，結果為a本身) 補數定理補數定理(complementary theorem)(complementary theorem)a+a=1(變數a和a相加，必定等於1)aa=0(變數a和a相乘，必定等於0)自補定理自補定理(involution theorem)(involution th

7、eorem)a=( a ) (變數a作兩次補數運算not後，會等於原來的變數a) 3-1-43-1-4布林代數定律與多變數定理布林代數定律與多變數定理 布林代數交換律布林代數交換律運算式中的兩變數相加時，可以交換其變數位置： 加法：a + b = b + a乘法：ab = ba 布林代數結合律布林代數結合律運算式中的變數相加時，可以更換變數相加的優先順序：加法：a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c 乘法：a(bc) = (ab)c = abc 布林代數分配律布林代數分配律運算式中的變數相加時有共通變數時，可以將共通變數提出括號外：加法：a + (bc) =

8、 (a + b)(a + c) 乘法：a(b + c) = (ab) + (ac) 布林代數消去律布林代數消去律運算式中的變數相加時有共通變數時，結果等於共通變數：加法：a + (ab) = a 乘法：a(a + b) = a 布林代數第摩根定理布林代數第摩根定理運算式中的變數相加時有共通變數時，結果等於共通變數： 加法：(a + b) = ab 乘法：(ab) = a + b 3-1-53-1-5文氏圖（文氏圖（venn diagramvenn diagram）文氏圖是john venn(18341923)所發明的，文氏圖可以很容易的繪製數學集合關係圖。例如我們使用三個圈圈，每一個圈圈代表a

9、、b、c，則：a和b交集的區域則為abb和c交集的區域則為bca和c交集的區域則為ac三者同時交集則為abc abc集合關係圖 如果我們將圈圈畫成有顏色，可以很清楚地看到沒有交集的為黃色，兩者交集的為紅色，三者交集的為藍色： 三個集合的文氏圖 如果改成四個圈圈，則會有更多的組合，但是其交集的位置仍維持在中心，而且只會有一個： 四個集合的文氏圖 我們可以利用文氏圖來表示各種布林代數的式子，例如下圖，如果區域內全部空白，則結果恆等於0，如果區域內全部填滿顏色，則結果恆等於1： 01如果圈圈代表x，則圈圈填色時則x=1，但圈圈外有填色時則x=1： x = 1x = 1如果同時有兩個圈圈，一個代表x，

10、一個代表y，左圖是兩個圈圈交互的區域為1，而右圖是兩個圈圈內都為1： x and yx or y3-1-63-1-6第莫根定理第莫根定理(demorgen theorem)(demorgen theorem)第莫根定理最重要的可以用下面兩公式來表示：(x + y) = x y (等式 1) (x y) = x + y (等式 2) 證明等式證明等式1 +=xyx + y(x + y)*=xyxy3-1-73-1-7真值表（真值表（true table)true table)一般的邏輯電路會有一個或數個輸入和輸出，為了要了解這些輸入和輸出的關係，我們可以使用真值表。常見真值表如下，利用變數x和y

11、來求出z。andand真值表真值表當x和y皆為1時，z才會等於1： or真值表真值表當x和y有一者為1時，z就會等於1： not真值表真值表z會等於x的相反值： 3-2邏輯公式的簡化3-2-13-2-1卡諾圖（卡諾圖（karnaugh map methodkarnaugh map method）卡諾圖karnaugh maps也可稱為k-maps，利用2維矩陣的圖形，可以很容易將2、3、4個變數最小化，5、6個變數可以作，但是略為困難，而7個以上的變數，則會變的非常困難，所以卡諾圖不適合用在7個以上的變數上。變數的數目不同，則使用的矩陣大小就不同： 3-3各種類型的邏輯閘及應用一般的邏輯電路會

12、有一個或數個輸入和輸出，為了要了解這些輸入和輸出的關係，我們可以使用真值表、邏輯閘來了解這些電路圖。3-3-1and3-3-1and閘閘 當輸入的訊號a和b皆為1時，結果w才會等於1，真值表如下： 邏輯符號 3-3-2or3-3-2or閘閘當輸入的訊號a和b有一個訊號為1時，結果w就會等於1，真值表如下： 邏輯符號 3-3-3not3-3-3not閘閘輸出的訊號為等於輸入的訊號的相反值： 邏輯符號 3-3-4nand3-3-4nand閘閘(not and)(not and) 輸出訊號和and閘所輸出的結果相反，因為nand閘就是在and閘前加一個not閘，真值表如下： 邏輯符號 3-3-5no

13、r3-3-5nor閘閘(not or)(not or) 輸出訊號和or閘所輸出的結果相反，因為nor閘就是在or閘前加一個not閘，真值表如下： 邏輯符號 3-3-6xor3-3-6xor閘閘(exelusive or)(exelusive or) 當兩個輸出訊號不同時則輸出1，兩個輸出訊號相同時則輸出0，是利用2個and閘、1個or閘和2個not閘所組成的電路，真值表如下： xor電路圖 邏輯符號 3-3-7xnor3-3-7xnor閘閘(exelusive nor)(exelusive nor) 當兩個輸出訊號不同時則輸出0，兩個輸出訊號相同時則輸出1，是利用2個and閘、1個or閘和2個

14、not閘所組成的電路，輸出的結果和xor是相反的，真值表如下： xor電路圖 邏輯符號 3-3-83-3-8正反器正反器ff(flip-flop)ff(flip-flop)：正反器是由邏輯閘所製作而成的，正反器最大的特色就是有時脈控制端(clock、ck或clk)，時脈控制端可以提供數位系統在對正反器連接時，致能時的反應。當我們輸入訊號時，並不會馬上有輸出訊號，必需由時脈控制端ck觸發後，才會有所動作： q=1q=0 q=0q=1稱為高電位或設定狀態輸出狀態稱為低電位或清除、重置狀態 3-3-9rs3-3-9rs正反器：正反器：反或閘r-s正反器，由兩只二輸入的反或閘連接而成，r是重置(res

15、et)的意思，s是設定(set) 的意思，q則是門栓電路的輸出端，想當然q就是q的反相輸出： 3-3-10d3-3-10d型正反器型正反器(delay flip-flop)(delay flip-flop)d型正反器只是將d型門栓中的致能(enable)接腳加上了脈波邊緣的觸發電路，包含正緣觸發和負緣觸發兩種： 3-3-11jk3-3-11jk型正反器型正反器 j-k型正反器的j、k接腳接在一起時會成為t型正反器，分開時就包含了r-s正反器的功能，j=s、k=r： 真值表：3-3-12t3-3-12t型正反器型正反器 (toggle flip-flip)(toggle flip-flip) t型正反器的t接腳等於0時，輸出等於輸入的訊號，若t接腳等於1，會輸出和輸入相反的訊號