南京工业大学高等数学ch8-6

1、第第 八八 章章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第六节第六节 多元函数微分学的几何应用前页后页返回机动返回前页后页返回机动一、空间曲线的切线及法平面一、空间曲线的切线及法平面设设空空间间曲曲线线方方程程问问题题： )()()( tzztyytxx),( zzyyxxmttt 0000上上，对应，对应设设如图所示如图所示解：解： zyxmm , 0则割线向量则割线向量图图可可导导，其其中中 )(),(),( tztytx),( 00000zyxmtt上上对对应应 点点的的切切线线和和法法平平面面。在在点点，求求曲曲线线0m 前页后页返回机动),(0000zyxmm tzzzyyyxx

2、x 000 割线方程割线方程00000mmzyxt ，点点有有令令 , 点点的的切切向向量量为为：在在曲曲线线0m )(),(),(000tztytxt . )()()( n0000000 zztzyytyxxtx：法平面方程为：法平面方程为：tzzztyyytxxx 000 或或)()()( 000000tzzztyyytxxx 切线方程为：切线方程为：前页后页返回机动 法平面方程。法平面方程。处的切线及处的切线及在点在点求曲线求曲线例例 ),( , 1 11132tztytx 06320) 1(3) 1(2) 1(312111 zyxzyxzyx 即：即：法平面方程：法平面方程：切线方程：

3、切线方程：前页后页返回机动 。处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程点点在在求求曲曲线线例例 ),( 2 121060222 mzyxzyx 06222zyxzyxx由由为参数，为参数，视视解：解： )()( xzzxyy隐函数隐函数 求求导导两两边边同同时时对对 x 0222 dxdzzdxdyyx 01 dxdzdxdy 前页后页返回机动 yzxydxdzyzzxdxdy ，解得解得001mmyzxyyzzx ,t 切切矢矢量量 110211 zyx切线方程：切线方程： 101 ,0112011 )()()( zyx：法平面法平面0 zx 即即前页后页返回机动 二、曲面的切平面及法线二、

4、曲面的切平面及法线点的所有切线共面。点的所有切线共面。上过上过曲面曲面命题：命题：),( ),( : 00000zyxmzyxf 点点任任意意引引一一条条曲曲线线上上过过在在证证：0m 0m0 xyzt 0 )(),(),( tztytxf上，有上，有在在),( )()()( :00000zyxmtttzztyytxx对应对应， 前页后页返回机动 0 dtdzfdtdyfdtdxftzyx求求全全导导数数，得得上上式式两两边边对对得得式中令式中令 0tt 0000000000000 )(),()(),()(),(tzzyxftyzyxftxzyxfzyx 点点切切矢矢量量在在为为曲曲线线000

5、0mtztytxt )(),(),( ),(),(),( 000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令tmntntn00 可见可见 m 0点点的的所所有有切切线线共共面面。的的任任意意性性，曲曲面面上上过过由由 前页后页返回机动平平面面。点点的的所所有有切切线线所所构构成成的的系系指指由由过过点点的的切切平平面面：曲曲面面在在0m 0m ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx .点点的的法法矢矢量量在在称称为为曲曲面面0m 0000000 )()()(m0zzmfyymfxxmfzyx点的切平面方程为：点的切平面方程为：上上曲面曲面)()()( 000

6、000mfzzmfyymfxxzyx 法线方程：法线方程：前页后页返回机动 ，若若曲曲面面为为注注： ),( : yxfz 的方向怎样表示？的方向怎样表示？法矢量法矢量试问：试问： n 则则曲曲面面上上任任意意点点的的 1, yfxfn法法矢矢量量为为：前页后页返回机动 的切平面方程。的切平面方程。平面平面的平行于的平行于求椭球面求椭球面例例 01232932222 zyxzyx 2321 , , n设已知平面的法矢为设已知平面的法矢为解：解： zyxn264, 椭球面上任意点的法矢椭球面上任意点的法矢1nn据题意据题意 223624zyx zyx 22 即即前页后页返回机动1 x 代入曲面方

7、程可解得：代入曲面方程可解得： 程所求切平面为：程所求切平面为：由平面的“点法式”方由平面的“点法式”方zyx 22 将将) , , ( ) , , ( 21121121 mm及及从而得切点：从而得切点： 92329232 zyxzyx及及#前页后页返回机动三、内容小结三、内容小结 切线方程法平面方程1) 参数式情况. )()()(:tzztyytxx空间光滑曲线切向量 000zzyyxx)(0tx )(0ty )(0tz )(00 xxtx )( )(00yyty 0)(00 zztz)(, )(, )(000tztytxt 前页后页返回机动空间光滑曲面0),(:zyxf曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxfxxx),(0000zyxfyyy),(0000zyxfzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxfxxzyxfyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxm0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx返回前页后页返回机动