数列与不等式知识点及练习(唐)

1、-作者xxxx-日期xxxx数列与不等式知识点及练习(唐)【精品文档】数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：2()(为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：(，)(2) 在等差数列中,有关Sn 的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值. （2）当0时,满足的项数m使得取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：；等差、等比数列公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：；（4）造等差、等比数列求通项：；.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项

2、例1：1.已知an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ； .总结:任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：已知数列中，求数列的通项公式；已知为数列的前项和，求数列的通项公式.总结：迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如“；迭加法、迭乘法公式： .题型3 构造等比数列求通项例3已知数列中，求数列的通项公式.总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例4已知数列中，求数列的通项公式. 总结：递推关系形

3、如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.数列求和的常用方法一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、 等比数列求和公式： 3. 4、 5.二.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列的前n项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）（2）（3）三.错位相减法:可以求形如 的数列的和，其中 为等差数

4、列， 为等比数列.例1：求和： . 例2:数列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n项的和小结：错位相减法类型题均为：连续相加。四.常用结论1）1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)【变形】：（当a = b时，）【注意】： ，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”*.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）*.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”

5、）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：（，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。 *均为正数，八种变式： ； ； ；若b0,则；a0,b0,则；若a0,b0,则； 若，则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。放缩不等式：，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：.，则；，；，.,函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：，；单调递减区间：，最值定理（积定和最小），若积，则当时和有最小值；（和定积最大），若和，则当是积有最大值.【推广】：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最

6、小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.已知，若，则有则的最小值为：已知，若则和的最小值为： .应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.调整分子：例3.求函数的值域；变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；连用公式：例5.已知，求的最小值；对数变换：例6.已知，且，求的最大值；三角变换：例7.已知，且，求的最大值；常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值1、数列的一个通项公式是（ ） A、 B、 C、 D、2、已知等比数列的公

7、比为正数，且，则（ ） A、 B、2 C、 D、3、已知等差数列前项和为且已知则（ ） A、17 B、18 C、19 D、204、已知，记，则M与N的大小关系（ ） A、MN C、M=N D、不确定5、若，则下列不等式：中正确的是（ ） A、（1）（2） B、（2）（3） C、（1）（3） D、（3）（4）6、不等式的解集是 （ ）A、 B、 C、 D、7、设是等差数列的前n项和，若（ ） A、 B、 C、 D、 8、在三个结论：， ，其中正确的个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、39、目标函数，变量满足，则有（ ）A、 B、无最小值C、无最大值 D、既无最大值，也无最小值10、在R上定义

8、运算若不等式对任意实数成立，则（ ）A、B、C、D、二、填空题：（每小题5分，共25分）11、等比数列公比已知,则的前4项和_ 12、 等比数列的前n项和，又，则公比_ 13、若,且，则的最大值为_14、实数x、y满足不等式组，则W=的取值范围是_15、关于的不等式的解集为 三、解答题：16、 （本小题满分12分）等比数列中，已知，（1）求数列的通项公式;（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和.17、 （本小题满分12分）已知数列的前项和(1) 求数列的通项公式 ； (2) 求的最大或最小值.18、 （本小题满分12分）已知向量，若，（1）求数列的通项公式； （2

9、）求数列的前项和.19、 （本小题满分12分）在数列中，（1）设，证明：数列是等差数列;（2）求数列的前项和.20、 （本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元（）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以 46万元出售该楼; 纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？21、 （本小题满分14分）已知数列满足：，(1) 求证：数列为等差数列； (2) 求数列的通项公式；（3）令，求证：B A B B C BADCC二、填空题：（每小题5分，共25分）11、 12、 13、 14、1,1) 15、三、解答题：16、解：（1）设公比为，则-6分 （2）由（1）得则 -（12分）17、解：（1）当n=1时， 当n2时， 故 （2）由 ， 于是有最小值是-576，此时；无最大值。-12分18、(1) -6分(2) -12分19、解：（1）由得是等差数列- -8分（1）-（2） =-12分20、解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2