解析几何第二十五讲直线与圆答案

1、专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆 答案部分 2019 年1解析 由直线I的参数方程消去t，可得其普通方程为4x 3y 2 0.4130 2 6 故选 D则点( 1，0)到直线 I 的距离是 d5 42 32. 解析 解法一：由4 4 y x (x 0) ，得 ，x y 1 x 2 2 设斜率为 1 的直线与曲线 y x 4 (x 0)x 4切于 (x , x )，4 0 0 x 0 x0 由1 x 2 0 1，解得x .2( 0 0) 4 y x (x 0) 上，点 P( 2,3 2) 到直线 x y 0 的距离最小，x | 23 2 |最小值为 4 2 .所以曲线4 x 0 解法二：由

2、题意可设点 P 的坐标为 x, x x2x x 2 xx x d2 4 P 到直线 x ，则点y 0 的距离222 x 4 ,当且仅当x 2等号成立，2 2 x 2所以点P到直线 x y 0 的距离的最小值为 4. 3.解析 解法一：（1）过A作AE BD，垂足为E.由已知条件得，四边形 ACDE为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8.因为 PB丄AB，1所以8 4 cosPBD sin ABE . 10 5 BD 12 15. 4 5 所以 PBcos PBD因此道路PB的长为15 （百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点0的距离均小于圆0

3、的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，联结AD, 由（ 1 ） AD AE 知 从而2ED2 10 ，AD2 AB2 BD22AD AB 7 0 25 ，所以/ BAD为锐角.cosBAD所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此，Q选在 D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论 点P的位置.当/ OBPV90时，线段PB上存在点到点0的距离小于 圆0的半径，点P不符合规划要求； 当/ OBP 90 时，对线段PB 上任意一点F, OFOB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小 于 圆O的半径，点P符合规划要求.设 P为I上一点，且1PB AB ,由

4、（ 1）知,P B=15,1 1 此时3 PD PBsin PBD PBcosEBA 15 9 ；1 1 1 1 5 当/ OBP90 时，在 PPB中，1 15 PB PB . 1由上可知，d 15.再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA 15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合 规划要求当QA=15时，2CQ QA2 AC2 152 62 3 21 .此时，线段 QA上所有点到点 O的 距离均不小于圆O的半径.综上，当PB丄AB,点Q位于点C右侧，且CQ= 3 21时， d 最小,此时 P, Q 两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+231. 因此, d 最小时，P, Q两点间的距

5、离为17+3 21（百米）.解法二：（1）如图， 过O作OH丄I，垂足为H.以O为坐标原点，直线 OH为y轴，建立 平面直角坐标系.因为BD=12, AC=6,所以0H=9,直线l的方程为 y=9,点A, B的纵坐标分别为3, ?3.因为AB为圆0的直径，AB=10, 所以圆0的方程为x2+y2=25.从而A（4, 3），B（?4, ?3），直线AB 的斜率 . 4 为34因为PB丄AB,所以直线PB的斜率为2 4直线PB的方程为25 . y x3 3 2所以P （?13, 9）, PB （13 4）因此道路PB的长为15 （百米）. （93）2 15. （2）若P在D处，取线段BD上一点E（

6、?4, 0）,则EO=490时，对线段PB上 任意一点F, OFOB,即线段PB上所有点到点O的距离均不 小于 圆O的半径，点P符合规划要求.设 P为I上一点，且1PB AB ,由(1)知， P B=15 此时 P (?13, 9);1 1 1当/ OBP90时，在1 15 中，PPB PB PB . 1由上可知，d 15.再讨论点Q的位置. 由(2)知，要使得QA 15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合 规划要求当QA=15时，设Q (a, 9),由( 4) (9 3) 15( 4) 2 2 AQ a a ，得 a= 43 21 ，所以 Q( 43 21 ，9),此时，线段QA上所有点到点O

7、的距离均不小于圆O的半径.综 上，当P (?13, 9), Q ( 43 21 , 9)时，d最小，此时P, Q两点间 的距离PQ 4 3 21(13) 17 3 21 .因此，d最小时，P, Q两点间的距离为 17 3 21 (百米) . 4.解析：解法一：如图， 由圆心与切点的连线与切线垂直，得m 11 ，解得 m 2 所以圆心为( 0，-2)，则半径 r (20)2 (1 2)2 5 5 5 . 5 20 m 3 解法二：由 r3 (m 1)24 1 ，得 m 2 ，所以 r2010-2018 年| 202 | 1 . A【解析】圆心(2, 0)到直线的距离d 2 2 ,2 所以点 P

8、到直线的距离 d1 2,3 2根据直线的方程可知 A ，B 两点的坐标分别为 A(2, 0) ，B(0,2) ，所以| AB | 2 2 ，所以 ABP 的面积1 S | AB | d 2d .2 1 12.因为 d1 2,3 2，所以 S 2,6，即 ABP 面积的取值范围是 2, 6 .故 选 A. 1 2 2 【解析】直线的普通方程为 x y 2 0 ，圆的标 准方程为 (x 1) y1，2 圆心为 C(1, 0)，半径为 1，点 C 到直线 x y 20 的距离|1 0 2 | 2 d ，所2 2 以 | AB | 2 1 ( 2)2 2 ，所以 1SABC 2 22 1 2 22|

9、cos msin 2 | | msin cos 2 | 3 . C【解析】由题意可得 dm 1 m 1 2 2 m | m 1( 2 1 sincos ) 2 | m 1 sin(2 ) 2 | m2 m 1 m 1 2 2 1m 1 2(其中m m 2 1 ，1 m 1 2),T 1w sin( ) 1,cos| 2 m 1 | 2 sin2 2 m 1 d m 1 2m 1 25 m 1 21 m 1 22 m 1 2当m 0时，d取得最大值3,故选C.4. A【解析】以线段 A A为直径的圆是x2 y2 a2 ,直线bx ay2ab 0 与圆相切，1 2 2ab 所以圆心到直线的距离da

10、 b 2 2 a ，整理为a2 3b，2即22 22 2 c 2 2a 3c,即即 a 22 3 ，c ea6 ,故选 A.2 5. A【解析】如图建立直角坐标系，y A D P B C x则 A(0,1) ， B(0, 0) ， D(2,1) ， P(x, y) ，由等面积法可得圆的半径 为2 ，4 所以圆的方程为 ( 2)2 2 4 xy ，5 所以 AP (x, y 1) ， AB (0,1) ， AD (2,0)，由 AP AB AD ，得x 2x ，所以 = y 1，2 y 1x 设 z y 1，即 y 1 z 0 ，2 2 x 点 P(x, y) 在圆上，所以圆心到直线x y 1

11、z 0 的距离小于半径， 2所以| 2 z | 2 ，解得1 z |PC1| 1, |PN| |PC2| 3,|PM| + |PN| |PC1| + |PC2| 4,故所求值为 |PC1| + |PC2| 4 的最小值.又C1关于x轴对称的点为 C3(2, 3),所以|PC1| +|PC2| 4 的最小值为 |C3C2| 4 =2 3 3 4 4 5 2 4 2 2,故选 A1+4-5+ 5 20. C【解析】圆心（1,2）,圆心到直线的距离=1 ，半径 r 5 ，所以最d5 后弦长为 2 （5）212 4 . BC 的中点 D 时，符合要求，此 与1 b ，3 21. B【解析】（1）当y

12、ax b过A1,0（2）当 y ax b 位于位置时 ,1 b a b , A1 ,0 D 1 a a 1ab ,v a 0,二 1 1 令 2 S 得 ba 1 2b 2 A BD， b 1b 1 b a 1b a b（3） 当 y ax b 位于位置时 A , D , , 2 2，S ,即1 b A CD2 2 a 1 1 a 22 2 1 1 2 化简得a2 2b2 4b 1,v a 0 , 1 2 b 2 2 yy二ax+b 2b2 4b 1 0,解得 1 2 CD1DA2 D2A2 综上：xA1 OB1 b ,选 B 12 2 2 2 2 2 1 圆 0(0, 0)到直线 ax by

13、 1 22. B【解析】点 M(a, b)在 圆 x y1夕卜，二ab距离a 1 1=圆的半径，故直线与圆相交所以选B2 db 223. C【解析】设直线斜率为k，则直线方程为y 2 k(x 2)，即kx y 2 2k 0 ，9k ，圆 5 即 心2 k 5(1, 0) 到 2 直线的 距 2 离1 k 1 ， k 解得 因为直2 k 12 线与直线 ax y 1 0 垂直，所以 k1 1 ，即a 2 ,选C. a 2 24. A【解析】圆心到直线的距 离等于r 1,排除B、C;相切于第一象限排除 D,选A.直接法可设所求的直线方程为：y x k k0，再利用圆心到直线的距离等于r ，求得k

14、2 . 1 2 25.【解析】抛物线 y 4x的焦点坐标为(1,0), 准线方程为 x 1 ，设A(x , y ) ，1 1B(x , y )，则因为 |AF|=3|BF| ，所以 x1 1 3(x2 1)，所以 x x ，2 2 1 3 2 2 1因为 x =9 x ，所以 x =3， x = ，当 x =3 时， y 2，2 1 2 3 | y | =3| y | ，1 1 12 1 2所以此时 y1 12 ，若2 3 y ，则 (3, 2 3), (1 , 2 3) 1 2 3 A B , 3 3 ，1此时 k AB 3 ,此时直线方程为 y 3(x 1) 。若 y1 2 3 则1 2

15、3 A(3,2 3), B( , ) 此, 时 k 3 3 AB 3 ,此时直线方程为 y 3(x 1) 所以I的方程是y 3(x 1)或y 3(x 1),选C. 26. A【解析】“直 线l ： ax 2y 1 0与直线 l ： x (a 1)y 4 0平行”的充要条件 1 2 是 a(a 1) 2，解得， a 1 或 a 2 ，所以是充分不必要条件。2 2 27. D【解析】T直线(m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆(x 1)+(y 1)=1 相切， 圆心(1,1)到|(m 1)+(n 1)2| =1 m n ，所以 mn m n 1 ( 直线的距离为d= )2 ，(m 1) +(n

16、1)22 2 设 t=m n,贝卩 1 +1 t t，解得 t (4 2 ,2 2 2U2+2 2,+) . 28. A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大， 必须使过点 P 的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可.又已知点 P(1, 1) ,贝 k OP 1,故所求直线的斜率为1.又所求直线过点 P(1, 1) ,故由点斜式得,所求直线的方程为10y x ,即 x y 20 故选 A 1 129. B【解析】圆2 2 xy 4 的圆心 O(0, 0) 到直线 3x 4y 5 0 的距离 d5 5 1 弦 AB 的长 AB 2 rd2 2 3 30. A【解析】设

17、点(，)C t t ,直线AB的方程是x y 2 0 , | AB | 2 2 ，由于 ABC 2的面积为 2，则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程 由点到直线的距离公式得 2| t t 2 | 212 2 2h 2 ，即 h 2 ，2故这样的点C有4个.31. B【解析】，即 | t t2 2 | 2 ，解得有 4 个实根，:( 1) 1 2 2 C x y ， C 表示两条直线即 x 轴和直线 l ： y m(x 1) ，1 2 显然 x 轴与 C 有两个交点， 由题意 l 与 C 相交，所以 C 的圆心 到 l 的距离1 2 1 | m(11) 0 | dm 1 2 r 1 3

18、3 m( , ) ，又当 m 0时，解得3 3 直线 l 与 x 轴重合，此时只有两个交点， 不符合题意. 故选 B.32. D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1, 0),即所求圆的圆心，又圆过原点，所以2 2 2 2圆的半径为r 1,故所求圆的方程为(x 1) y1,即卩x 2x y 0, 选 D.33. D【解析】设圆心0(a, 0)(a 0),则5 ，即| a | 5 ,解得a 5, 所以1 2 2 2 圆 O 的方程为 (x5)2y2 5 .34. 3【解析】因为 AB CD 0 ，所以 AB CD ，又点 C 为 AB 的 中点，所以 BAD 45o ，设直线 l 的倾斜角为 ，

19、直线 AB 的斜率为 k ，则 tan 2， k tan( )3 .又4 B(5, 0) ，所以直线 AB 的方程为 y 3(x 5)，又 A 为直线 l ：y 2x 上在第一象限y x x 3，所以点 A 的3( 5) ，解得 6 内的点，联立直线 AB 与直线 l 的方程，得y y 2x 11 横坐标为 3.35. 5 2,1【解析】设 P(x, y)，由 PA PB 20,得 2x y 5 0 , y 2x-y+5=0 B M 5 2 x A 5 2 N O 如图由 2x y 52，故圆上有 4 个点到该直线的距离为 1. 46. 2 2 【解析】圆心 (0， 2)到直线 y x 的距离

20、为 d =所求弦长为 2 2 ( 2) 2 2 2 2 0 22 2 ，圆的半径为 2，所以47. 1【解析】当 m 0 时，两直线不垂直，故 m 0 .因为直线 x 2y 5 0 与直线2x my 6 0的斜率分别为 1 和 2 ，由 1 ( 2 ) 1 2 ，故 mC 的方程为 (x a)x y 2 0 的距r2 ,由题意得1m 2 m 2 2 2 48 (x 2) y 10【解析】以题意设圆y r,把所给的两点222a 2坐标代入方程得(5 a) 1 r (x 2) y 10 2 2,解得 ,所以圆 C：(1 a) 9 r 2 2 r 102 2 2 49 x y 2 【解析】由题意可知

21、原点到直线 离为圆的半径,| 0 0 2 | 即 r 2 2 2,所求圆的方程为 x y 22 2 50(x3)2y2 2 【解析】设圆 C 的方程为 (x a)2 (y b)2 14(4 a) (1 b) 2 2 b 11 32 2 a 0 ，所以圆 C 的方程为r (x 3) y 2 2 2 ，解得bra 2| a b 1| r2 51.【解析】(I)因为 | AD | AC | , EB / AC，故 EBD ACD ADC , 所以| EB | ED | ，故| EA | EB | EA | ED | AD |. 又圆 A 的标准方程为(x 1)2 y2 16,从而| AD | 4，所

22、以| EA | EB | 4 .由题设得 A(1,0) ，B(1,0) ， | AB | 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x y 1( y 0 )2 2 4 3 y M x , ( , ) N x . 1 y 2 1 2 (H )当I与x轴不垂直时，设l的 方程为 y k(x 1)(k 0) ,( , ) y k(x由2 1) y 2 得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0 . x 4则1 3 8k 2 x x1 2 2 4k 4k2 12 x x . ,所以2 4k 3 12(k 1) 2 | MN | 1 k | x x |. 1 2 4k 2 2 33 2 1 ，所以

23、 2 过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m ：y (x 1) ， A 到 m 的距离为 k1 k 2 2 | 4k 3 PQ 2 4 . 故四边形 MPNQ 的面 积2 | ( ) 4 2 4k k 2 k 2 11 1 . 1 S | MN | PQ |12 12 4k2 3 可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范 围为12,8 3) . 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x 1，| MN | 3 ，| PQ | 8， 四边形 MPNQ 的面积为1512. 综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 12,8 3) . 52【解析】( I) 如图，以 O 为坐

24、标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标 系 xOy由条件知 A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC的斜率k BC tan / BCO 又因为 AB丄BC,所以直线AB的斜率k AB=设点B的坐标为(a,b),则 k BC= 3 . 4 . 3 4 b 0 a 170 b 60 3 k AB=a 0 4 解得 a=80， b=120. 所以 BC= 2 2 (170 80) (0 120)150.因此新桥BC的长是150 m. (II)设保护区的边界圆 M的半径为r m,OM=d m, (0 d 80 即5 680 3d5 解得10 d 80所以r (60 d) 80(60

25、 d) 80故当 d=10 时, r 680 3d 最大,即圆面积最大 . 5 所以当 OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.解法二：(I)如图，延长 OA, CB交于 点 F. 164 3 4 5 680 3 500 从, 而3 5 .因为 tan/BCO=所以 sin/FCO= , cos/ FCO=.因为 OA=6O,OC=170 所以 OF=OC ta/ FCO= OC CF= 850AF OF OA3 4 . cosFCO 3 5 400因为 OA丄 OC,所以 cos/ AFB=sin/ FCO=, 又因为 AB丄 BC,所以 BF=AF co/ AFB=，从而 BC=CR

26、BF=150. 3 因此新桥BC的长是150 m. (II)设保护区的边界圆 M与BC的 切点为D，连接MD，贝S MD丄BC且MD是圆M的半径，并设 MD=r m, OM=d m(0d 80 解得 10 d 80所以r (60 d) 80 即5680 3d5(60 d) 80680 3d 故当 d=10 时, r 最大,即圆面积最大 . 5 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.53.【解析】(I)由题设点C(a,2a 4),又 C 也在直线 y x 1 上，2a 4 a 1,a 3 e C :(x 3) (y 2) 1，由题， 过 A 点切线方程可设为 y kx 3,2 2

27、即 kx y 3 0 ，则| 3k 1|k 1 3k 0, ，1 ，解得： 4 23所求切线为 y 3 或 y x 3 4 (II)设点 C(a,2a 4), M x y ,Q MA 2MO ， A(0,3)， O(0, 0) ，( , ) 0 0 0 ( 0 3) 4( 0 x y x 2 2 2 0 ) ，即y 202 02 3 2 0x y y ，又点 M 在圆 C 上，17(x a) (y 2a 4) 1 ，两式相减得0 2 0 2 5a 2 ax (2a 3)y ( 0 0 8a 9) 0 ，由题以上两式有公共点， 2 5a2 | a (2a 3)(2a 4) ( 2 8a 9) | 2 1a 2 (2a 3)2 5a 2 整理得：| 6 3| a 2 5 12 9 a2 a ，即(5a2 12a6)2 4(5a2 12a 9) ，令 t 5a2 12a 6 ，则t t ，解得： 2 t 6， 4( 3) 2 5a2 12a 6 6 ，解得： 0 12 a5 2 54.【解析】(I)设Px,yP 的半径为 r ，圆2 由题设 y2 2 r2 , x2 3 r3 ，从而 y 故 P 点的轨迹方程为y2 2x2 3x2 1.x y