浅谈类比法在数学教学中的应用

1、分类号： O1 单位代码： 106密 级： 一般 学 号： 本科毕业论文（设计）题 目： 浅谈类比法在数学教学中的应用专 业： 信息与计算科学姓 名： 指导教师： 职 称： 答辩日期： 浅谈类比法在数学教学中的应用摘 要：类比法也称作比较类推法它在数学学习教学中占据着举足轻重的地位本文首先介绍了类比法的定义、特点及作用，为后文类比法的分类、应用做了厚实的铺垫然后用一章介绍类比法的分类，让我们更清晰的认识到了类比法在数学中渗透本文又用了一章列举了类比法的一些应用，并举了部分典型的例子，以加深对类比法在数学教学中的应用的理解同时，总结了类比法可与哪些方法结合来解决问题最后，总的论述了运用类比法在数

2、学教学中应注意的问题论文结尾对全文做了一个总结，概括的阐述了运用类比法解决数学问题的优势关键词：推理；思维；类比法；联想；创新Analogy method on the application of mathematicsAbstract: Analogy method is also known as comparative analogy method. It occupies a pivotal position in the teaching of mathematics learning. This paper first introduces the analogy method

3、of the definition, characteristics and effect, and laying the groundwork for the classification and application of analogy methodThen, use a chapter on the classification of the analogy method, let us a clearer understanding of the analogy in mathematics penetration. The paper also used a chapter li

4、sts some application of the analogy method, citing some of the typical example, to deepen understanding of the analogy method in mathematics teaching. At the same time, summarizes the analogy method can be combined with a number of ways to solve the problem together. Finally, discusses the problem i

5、n the use of analogy method in mathematics teaching . Paper the full text at the end of a summary of the general exposition of the advantages of the use of analogy to solve mathematical problems .Key words: reasoning; thinking; analogy method; association; innovation引言随着教育改革的深入，教育界越来越关注学生素质的教育，创新能力的

6、培养数学教育对学生的培养有着重要作用。而类比法似乎在一些数学创新发现中起着很大作用因此类比法作为一种数学思想方法受到了数学家很大的重视随着类比思想方法研究与应用的推广，类比思想越来越多的渗入到数学教育改革的各个方面在我们学习数学或在数学教学中，经常会对所解答或所讲的题有“似曾相识”的感觉，而且在不同领域、不同分支中会感到某种相似的成分这时，如果我们对这些类似进行比较，再加以联想的话，可能会出现许多意想不到的方法和结果这种把类似的问题、情况进行比较、联想的过程，其实就是运用了类比法。在我们日常上课听讲中，经常能听到老师在自己的课堂上自觉或不自觉地运用类比法有时在我们遇到疑难题时，如果跳出来巧妙地

7、运用类比法，经常能收到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗可见，类比法在我们的学习和教学中都有着举足轻重的地位1 类比法的定义及特征定义1 类比，是通过比较两个研究对象，并根据它们在某些方面如概念、属性、特征、形式、关系等的相同或相似的地方，推断出它们可能在其他方面也有相同或相似处的一种推理方法1定义2 根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论，这种推理的方法称为类比法2其实，不论是定义1还是定义2这两种解释，类比法都是根据两个研究对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有另一种属性时，另一个对象也可能具备这种属性的一种推理方式类比是一种横向思维，它的实质就

8、是信息从模型向原型的转移31.1定义的解析亚里士多德在前分析篇中指出：“类推所表示的不是部分对整体的关系，也不是整体对部分的关系”类比推理是一种或然性推理，前提真结论未必真要提高类比结论的可靠程度，就要尽可能的确认对象间的相同点相同点越多，结论的可靠性程度越大.因为对象间的形同点越多，二者的关联度就越大，结论就可能越可靠反之，结论的可靠性程度就会越小此外，要注意的是类比前提中所根据的相同情况与推出的情况要带有本质性如果把某个对象的特有情况或偶有情况硬是类推到另一对象上，就会出现“机械类比”或“类比不当”的错误情况1.2 类比法的特点和作用类比法的特点是先推后比类比法的根本基础是“比”“比”既要

9、比较共同点也要比较不同点问题之间所具有的共同点是类比法能够运用的前提条件，不具有共同点的问题是没法进行类比演绎推理的类比法不仅是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法，也是一种从特殊到特殊的推理方法。这对数学学习和数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要作用类比法的作用是“由此及彼”的如果把“此”看作是源问题，“彼”看作是目标问题，那么类比的思维过程就是一个由此及彼的推理过程古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的问题含有越来越多的相同点，而且同时知道其中一个问题有某种特征或情况，而另一个问题还未发现有这种特征或情况这时我们就容易横向类比推理，认为另一个问

10、题也可能有这样的特征或情况现代类比法觉得，类比法之所以能够由此及彼的推理，之间它经历了一个总结与演绎的过程从已知的某个或某些问题具备某特征或情况，经过归纳总结出某类所有问题都具备这样的情况，然后，在经过演绎实验证明得出另一个或一类问题也具备这样的特征或情况 类比是一切认识理解的基础它作为一种逻辑推理方法，在数学学习教学中有广泛的应用在数学学习教学的过程中，合理运用类比法可以帮助我们更好地理解、辨别各种概念、定理、公式、性质，并可以达到确定行之有效的解题策略的目的这样既可以加强认识理解，又可以培养我们的创新能力和创造性思维能力2. 类比法的分类2.1 概念类比法概念是事物的本质，理解了本质就能辨

11、别异同数学概念是数学思维的细胞，是形成数学思维体系的要素，也是基础知识的核心内容在我们学习数学的过程中，数学概念的理解是学习数学最基本的开始，也是重要的一环对概念本质的正确理解是学生学习数学的一个重点和难点那如何进行有效的理解学习呢，类比法的运用是的我们理解概念的有效途径和方法如果我们孤立的去理解数学中大量繁多的概念，恐怕收效甚微但是，如果我们从概念的定义形式上去入手，会发现有一些概念的定义形式是相似的在我们通过对这些概念的类比，能够进一步理解概念的本质例如，在大学的几何解析课程的一开始中，我们就学习了共线向量和共面向量它们的概念分别为：平行于同一条直线的一组向量，叫做共线向量零向量与任何共线

12、的向量组共线平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量零向量与任何共面的向量组共面从概念的定义形式上来看，定义了两种向量，形式上是一致的，不同之处在于共线向量是平行于同一条直线，共面向量是平行于同一个平面，它们比照的对象不一样首先，通过类比，我们能从共线向量的定义类比得出什么是共面向量其次，很显然，一组共线向量一定是共面向量，三向量中若有两向量是共线的，这三向量一定也是共面的两个相交的向量能确定一个平面若是三平行的向量也能确定一个平面这就是已知直线相交的知识等运用类比法，横向类比出向量的一些定理。类比法的运用，能使我们从一个新的角度和高度来认识理解这些概念，进一步理解概念的本质的同时又能类比出新的

13、知识42.2 结构类比法结构形式相似或基本相同的两个研究对象，可以平行或并列的类比例如：我们中学就接触到的加法运算律与乘法运算律；向量与复数；圆与椭圆；椭圆与双曲线等，因为它们的结构性质相似，所以可以从结构方面类比我们在运用类比时，要紧紧的抓助两者平行的结构特征，同时要注意两者的不同之处对类比的结果的影响例如：等差；、等比数列类比：等差数列是用减法定义，用加法表述性质；等比数列是用除法定义，用乘法表述性质由等差数列中我们可以得到，若，有等式成立，可以类比推出，在等比数列中，若（其中不等于零），则有成立这个类比是从等差数列等比数列并列的结构特点进行类比的椭圆与双曲线、向量与坐标也可以进行这种结构

14、式类比5 我们在讲解平行四边形的性质及判定时，引导学生把要学习的平行四边形与之前已经学过的矩形、正方形和菱形的性质列成一个知识结构表格进行类比这样，我们能进一步明确它们之间的关系从最简单的边开始，平行四边形、矩形、菱形、正方形对他们的性质一一进行联系对比，我们能指出它们的相同之处同时，我们能理解他们之间的不同之处，能更好的对它们的特征进行比较记忆我们从相似的知识结构角度来构建知识体系和网络，学习并掌握特殊四边形的性质数学知识之间存在着紧密的联系，类比成为了这些知识间联系的纽带通过横向类比既增强了知识间的对比，加强了认识同时，又清楚明白的展示了知识的获取过程，形成了清晰的知识脉络62.3简化类比

15、法简化类比就是将源命题类比到比源命题简单的类比命题通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法，是类比法的的反向利用比如可先将多元问题类比为少元问题，高元高次问题类比到低元低次问题，普遍问题类比为特殊问题等2.4 升降维类比法将二维（平面）中的对象升级为三维（空间）中对象，这样的类比方法称为升维类比从平面到立体是典型的升维类比，立体几何中的不少定理理论可以追究溯源于平面几何的某些定理理论相对于升维，降维类比就是将三维（空间）的对象降到二维或一维空间中的对象就拿立体几何中的构成几何体的元素数目类比来看，平面内最少的基本元素围成的三角形是由三条线段构成的空间中最少四个面构成四面体

16、，同样，四面体是由最少空间基本元素平面围成的封闭几何体在平面中，两三角形的面积之比，类比到三维空间中就是两体积之比降维类比常表现为特殊类比4平面图形与立体几何体只是维度不同的几何图形它们之间存在许多对应的关系图形也可以这样理解，升降维类比法中的平面问题与空间问题，可抓住一些几何要素对应类比，如：线对面，面对体，二面角对平面角，面积对体积，面积对边长等等3. 类比法的应用3.1类比法的应用实例3.1.1 加减法类比微积分我们从小学就开始接触加（+）减（-）乘（*）除（/）这四种运算而在我们学习这四种运算时，总是先学习加法运算，然后学习减法运算；先学习乘法运算，然后学习减法运算根据它们的相逆，我们

17、能反着类比出减法、除法运算，能更深刻的理解这四种运算的意义同样，类比加减法、乘除法，我们有加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法，微分法一样也有其逆运算积分法通过类比，我们就知道，所要学习的新知识积分法，就是微分法的逆运算3.1.2 线面垂直类比多元函数极限定义例1 在线面垂直的定义中我们知道，如果直线垂直于面的任意一条直线，则称这条直线与这个平面垂直4通过上面的定义我们知道，什么是线面垂直但是其中我们也有问题提出，一个平面包含有无数条直线，我们不能去验证这条直线与平面上每一条直线垂直这时，我们又知道两条相交的直线能确定一个平面，这样，我们就得到了线面垂直的判定定理反过来思考，如果直线垂直于平

18、面，则有这条直线垂直于这个面上的任意一条直线线面垂直的问题类比于多元函数极限我们知道二元函数的极限定义是，有二元函数z=f(x,y),其中点q是的某个定义域的内点或边界点，如果在p(x,y)-q 的过程中，对应的函数值f(x,y)无限趋近一个确定的常数A，就称A是函数f(x,y)当时(x,y)- f的极限, 并记作 7 通过上面定义，我们知道了二元函数的极限极限的研究是自变量在某个变化过程中，函数值的变化趋势一元函数的函数值趋近方式有两种，从左边趋近和从右边趋近，即左极限和右极限.所以，当左极限和右极限存在且相等时，我们就说函数在这点的极限存在.同样，类比在二元函数中，自变量趋于某一点时有无穷

19、多种方式.由定义类比可知，如果存在极限，每一种方式趋于这点时，极限必须都存在且相等.显然，我们是无法去验证的.当然，在数学积分中验证函数的极限是否存在的方式不是唯一的.但是，若能想到前面的预备知识，类比线面垂直的例子.同样，我们反过来思考，如果我们能得到至少有两种趋近方式所得的趋于某点时的极限不等，那么我们就可以得出，在这个区域某点的变化过程中，极限不存在.3.1.3 形式类比在学习数学的过程中，尤其是在高等教育中，周围很多同学只看到了公式的繁琐，定理的繁多，证明的枯燥，以及面对题目是的无从下手.其实，数学中的很多公式只是一种形式，而定理的证明只是一种验证理论的可行性的方式.这只是对公式、定理

20、的应用而已.例2 重要极限之一， 8 由公式我们可以看到，左边的极限值等于1。它意在告诉我们，在自变量趋于零的过程中，这个变量的正弦函数与变量的比值的极限等于1。我们可以从形式类比想到， 所以当遇到这样的求极限值题目，运用类比法，我们就可以很容易的得到3.1.4 圆类比椭圆与双曲线在解析几何中，类比法是编制新命题、发现新定理以及开拓解题思路的重要方法解析几何的研究对象是直线、圆和圆锥曲线，因此，在圆、椭圆、双曲线、抛物线之间相互类比，是类比推理的主要内容例3 对圆，由直径上的圆周角是直角出发，可得：若AB是O的直径，M是O上一点(异于A、B)，则。那么对椭圆和双曲线是否有类似的结论？5解 如图

21、1-13，设AB是椭圆的直径，A、B的坐标分别为(-x1，-y1) 、(x1，y1)，又设点M(x0，y0)是这个椭圆上一点，且x0x1，则上两式中第二式减第一式，得 从而 即 同理，若AB是双曲线的直径，M是双曲线上一点，则 于是、两式就是椭圆、双曲线与圆类似的结论与圆类似，连结圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线(椭圆、双曲线)中心的弦叫做有心曲线的直径；因为抛物线不是有心曲线，所以抛物线没有与圆的这个性质相类似的结论例4 对椭圆有下列命题：若A、B是椭圆上两点，且AOOB，则那么，对双曲线（0ab)类似的命题是什么？6分析我们来寻找双曲线的有关命题比较两个标准方程，运用类比的

22、方法，我们猜想，对双曲线有 解 设A，B是双曲线（0ab）上一点，且AOOB，又设A，B的坐标分别为,则 ，从而 同理 即 由+，得 于是，我们得到与椭圆类似的正确命题：若A，B是双曲线（0ab）上两点，且AOOB，则 3.2类比法与其他方法相结合在数学学习和教学中，类比法不是单独应用，有时它可以和其他方法结合起来运用，使问题得到快速解决.其实，类比法常常与归纳、演绎、对比等结合应用，并且相互融合，协调发展.同时，它也离不开对事物的观察、分析、猜想.猜想、归纳、类比方法的结合是数学思想方法需要掌握的重要内容，是数学解题与数学发现之间的探索联系，是初等数学和高等数学有效连接的桥梁.在类比解题中频

23、繁出现的是猜想和归纳，我们在解答新问题时，通过已知的知识的特征的了解，类比新问题和已掌握的知识相同或相似的特征，猜想新问题也具有的特征或解题思路，然后可以通过数学归纳法证明或否定猜想，进而达到解题的目的9.4. 在教学中运用类比法应注意的问题在高等教育心理学中，类比法是对学习迁移的应用.学习迁移，是指一种学习中习得的经验对其他学习的影响，可按迁移的性质分为正迁移和负迁移两种.正迁移是指一种经验的获得对另一种学习起促进作用.如掌握平面几何有助于学习立体几何.如果把类比法用到教学中，就是主要通过正迁移从旧知识带出新知识，并通过比较两者的共同点以加深学生对知识的理解.负迁移是指一种经验的获得对另一种

24、学习起干扰或阻碍作用.如在立体几何中搬用平面几何的“垂直于同一条直线的两直线平行”的结论，则可能干扰学生的学习效果.因此，在运用类比法比较新旧知识的时候，也要注意找出两者的不同点加以区别，避免经验主义错误10.利用类比法我们可以提出新的问题，对猜测进行检验，并在求解问题中得到应用和获得新的发现。但是类比法也有它的不足之处，类比法的逻辑根据是带有或然性的，是不充分的，不能归属到一种严格的教学方法里.在我们运用类比法常会遇到有如下几种误区，即类比时“先入为主”的概念误区、类比时“机械照搬”的解法误区、类比时“心理定势”的思路误区、类比时“相似块”思维的紊乱误区以及类比时以“表”掩“质”的模式误区.

25、因此，在数学教学中运用类比法时，我们应注意以下几个问题.首先，抓住事物的特征.在数学学习或解题中，我们应当注意，只有事物的本质相同或相似才能进行类比.我们要善于观察事物的特点，紧抓特征，大胆猜想.其次，善于联想.在数学教学中，各种方法不是单独运用的，运用类比法的同时我们要结合学过的其他方法，如对比，归纳假设、演绎法等，从一个概念联想到与它相似的从一个概念联想到与它相似的概念；从一种逻辑算法联想到与它相似的算法等.最后，防止知识负迁移.抓住事物的本质进行类比，有时得出的结论不一定是可靠的.这需要我们类比的结论进行验证.对不正确的类比要及时修正，要形成正确的知识体系11.因此，在数学学习或教学中，

26、我们应当注意，只有事物的本质相同或相似才能进行类比.如果是把本质上不相同而只是形式上相同的事物不分对错的进行类比，难免要造成错误.我们应该仔细、善于观察类比对象的特征，极力避免机械类比的错误发生.要善于类比联想，从一个事物联想到与它相似性质、相似概念等的其他事物，有时可能需要与对比、归纳综合运用，彼此相辅相成的找到新思路.总之，类比法不是万能的，我们应抱着严谨的态度探索解决问题.小结在自然科学的发展过程中，类比法是一种被广泛运用的方法，不论是古代还是现代.类比方法的运用是随着思维水平的发展而不断提高的，它的表现为，从已知到未知，从简单到复杂，从定性到定量.下面就对类比法的优点进行总结:第一，温

27、故而知新.在数学解题过程中我们常常从学过的问题入手发现解题思路，然后通过对相似问题的结构、特征、条件进行分析、直接类比相似的思维模式，以解答复杂的问题.不仅巩固了旧知识，还学习、掌握了新知识，使知识体系的联系更加紧密.12第二，设置情景，激发学习兴趣.类比法从一个已知领域出发，去探索一个未知的领域.其间，在未知领域内的摸索会碰撞出激烈的思想、思维火花。能有效地激起学生的学习兴趣，从而能更主动地探索、研究新知识.第三，启发解题思路，发展创新思维.教师在教授学生知识的时候，不能只满足于会解答问题，更重要的是教会学生学会思考.学会数学的基本概念，分析问题的能力，迁移问题的能力以及论证问题的能力.是让

28、学生在此基础上，能通过触类旁通、举一反三更全面的掌握知识，升化思维，从而培养学生的创新能力13.在我们探索新知识时，不仅能学习、掌握新知识，而且对已知的知识点能站在一个更高的角度去掌握，达到温故而知新，活学活用的目的.就像伟大的哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠理论的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进.”由于自己学术研究能力有限，经过反复修改，本文尚有些许不足.本文的类比应用举例比较简单，也不够全面，对类比法的推广的探讨和研究也不够深入，有待改进.请各位老师批评指正,让我在今后的学习中学到更多.参考文献1冯利琼.类比思想在高中数学中的应用J.黑龙江科技信息.2009,3(7):2-3.2王培甫.数学中之类比法:一种富有创造性的推理方法M,高等教育出版社,2008,3-4.3 黄寿钰.归纳与类比在高中数学学习中的应用J.数学教学通讯,2000,15(11):3-44吕林根,许子道几何解