选修2-2导数及其应用典型例题

1、第一章导数及其应用1.1变化率与导数【知识点归纳】1. 平均变化率：2. 瞬时速度：3. 导数及导函数的概念：4. 导数的几何意义：拓展知识：5. 平均变化率的几何意义:6. 导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例1已知函数y f(x) 2x2 1的图像上一点(1,1 )及其邻近一点(1x,1 y)，则丄x变式训练：一 1 21.以v0(v0 0)速度竖直向上抛出一物体，t秒时的咼度为s(t) v0tgt ，求物体在t0到to t这段时间的平均速度 V.2.求正弦函数y sinx在x0和x 2附近的平均变化率，并比较他们的大小题型二实际冋题中的瞬时速度例2已知质点M按规律s 2t

2、2 3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)(1 )当 t 2, t0.01时，求s-；(2 )当 t2, t0.001时，求(3)求质点M在t=2时的瞬时速度题型三求函数的导数及导函数的值1例3求函数y x 在x 1处的导数.x题型四曲线的切线问题例4（1 ）已知曲线y 2x2上一点A（ 1，2），求点A处的切线方程3（2） 求过点（-1，-2 ）且与曲线y 2x x想切的直线方程.132（3） 求曲线f （x） x x5在x=1处的切线的倾斜角.3（4）曲线y x在点P处的切线斜率为 3，求点P的坐标.1.2导数的计算【知识点归纳】1常见函数的导数:2. 基本初等函数的导数公式:3.

3、导数的运算法则:4. 复合函数的导数:【典型例题】题型一基本初等函数导数公式运用例1给出下列结论：113（cos）sin；若 y 2，则 y 2x ；若 f （x） 3x，则f （1）3 ；662x若y Vx，则y丄坂3其中正确的是.题型二导数运算法则的应用例2求下列函数的导数：152 3,x1.XX（1） y x x ； （ 2） y Ig x e ； （3）gcosx ； （ 4） y x sin gsos-.53Vx22变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正(1 COSX(2 X22x(1 cosx) x sin x2x题型三复合函数求导的应用例7求下列函数的导数.(1

4、) y (132 1cos2x) ； ( 2) y sinx变式训练：求函数y (2x23)-.1 x2的导数题型四切线方程及应用例4曲线ysinx ex在点（0, 1）处的切线方程是?变式训练曲线y x3 x 2在P处的切线平行于直线y 4x 1，则点 P的坐标为题型五利用导数求参数问题3例5若曲线y xax在坐标原点处的切线方程是2x y 0,则实数a=xe变式训练：若函数f（x） 在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值x题型六对数求导数的应用（选讲）例6求下列函数的导数(1) y (x 1)(x 2)(x 3)(x3);(x 1)(x 2)(x 3)2x 1(xs （单位：m ）

5、关于时间t时的导数，并解释它的实际意题型七求导数的实际应用例7有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离（单位s）的函数为s s（t） 525 9t2 .求函数在t 15义.1.3 导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数【知识点归纳】1函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间:3.导数的绝对值的大小与图像的关系(选讲)：【典型例题】题型一里用导数的信息确定函数大致图像例1已知导函数f (x)的下列信息：当 2x3时，f(x) 0 ；当 x 3或 x 2 时，f (x)0 ；当 x 3 或 x 2 时，f (x)0 ；试画出函数f (x)图像的大致形状.题型 二 判断或

6、者证明函数的单调性例2试判断函数f(x) In x x在其定义域上的单调性变式训练：证明：函数f (x)In x在区间(0, 2)上是单调递增函数x题型三求函数的单调性32例3确定函数f(x) 2x 6x 7的单调区间变式训练：求函数y x x3的单调性.题型 四 含有参数的函数的单调性2例4已知函数f(x) ln x ax (2 a)x，讨论f (x)的单调性a的取值范围ax i变式训练：已知函数f(x)齐在(2，)内单调递增，求实数导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念:2.导数的极值的判断和求法:【典型例题】题型一求函数的极值例1求下列函数的极值:(2) yx2ln x2(1

7、) y x 7x6 ；b，其中常数变式训练：设f(x) x3 ax2 bx 1的导数f (x)满足f (1)2a, fa,b R.(1)求曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程(2 )设g(x) f (x)e x，求函数g(x)的极值.题型二判断函数极值点的情况例2判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.13132(1) f(x) x 4 ；( 2) f(x) x x 4x ；( 3) f(x) 1 (x 2)3 .332变式训练：设函数f(x) ax bln x，其中ab 0证明：当ab 0时，函数f (x)没有 极值点，当ab 0时，函数f(x)有且

8、只有一个极值点，并求出极值题型三导函数的图像与函数极值的关系例3函数f （x）的定义域为开区间（a, b），导函数f（）在（a,b）内的图象如图所示,则函数f （x）在开区间（a, b）内有极小值点的个数为（）A 1个 B.2个 C.3个D.4个题型四极值的逆向问题例4已知函数f (x)ax4 In x bx4 c(x 0)在x=1处取得极值-3-c，其中a, b为常数.(1) 试确定a，b的值.(2) 讨论函数f (x)的单调区间.综上：若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”函数的最大小值与导数【知识点归纳】1. 最大小值与极值的关系:2. 求最大小

9、值的步骤:3. 开区间的最值问题：【典型例题】题型 一利用导数求函数最值问题543例1求函数f(x) x 5x 5x 1在区间1,4上的最大值和最小值3变式训练：设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图像在(1,f(1)处的切线与直线 x 6y 70垂直，导数的最小值为-12.(1 )求a，b，c的值.(2)求函数f (x)的单调递增区间，并求函数f (x)在-1,3上的最大小值.题型二含参数最值问题例2设a为常数，求函数f (x)3x 3ax(0 x 1)的最大值.1 3变式训练：1.设f(x) x32(1 )若 f (x )在(，3-x2 2ax2）上存在单调递增区间，求a的

10、取值范围（2）当0 a 2时,f（x）在1,4上的最小值为16，求3f（ x）在该区间上的最大题型 三 由函数的最值求参数的值2例3设3 a 1，函数f(x).6332x 2axb( 1 x 1)的最大值为1，最小值为求a, b的值.1.4 生活中的优化问题【知识点归纳】利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型一利润最大问题例1某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0 x 21）的平方成正比，已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.（1

11、 ）将一星期的商品销售利润表示成x的函数（2 ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m （3 m 5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x （9 x 3)千元.设该容器的建造费用为 y千元.(I)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;(n)求该容器的建造费用最小时的r.题型三面积、体积最值问题2例3如图在二次函数f(x) 4x x的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD ,求这个内接矩形的最大面积 变式训练：请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长 为3m的正

12、六棱锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点 0到底面中心Oi的距离为多少时，帐 篷的体积最大？1.5定积分的概念【知识点归纳】定积分的概念:定积分的性质:【典型例题】 题型一利用定义计算积分2例1利用定积分定义，计算 1 (3x 2)dx题型二求曲边梯形的面积x3围成的图形的面积例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线y1.6微积分基本定理【知识点归纳】1. 牛顿一莱布尼茨公式:2. 定积分的取值：3. 定积分的一些性质：【典型例题】题型一求简单函数的定积分例1求下列函数的定积分：(1)21 2 2(x ) dx ；( 2)2 sin xdx ；1x 2(3)4、x(1. x)dx

13、；题型二求分段函数的定积分3x ,x0,12例2求函数f(X)x ,x1,2在区间0，3上的定积分2x,x2,3变式训练：求定积分：（1） 0 x2 1dx ；（2）Sin2xdX题型三定积分的实际应用例3汽车以每小时36 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为2a 1.8 m/s刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离3变式训练：等比数列 an中，a3 6，前三项和S5 4xdx，则公比q的值是多少?定积分的简单应用1.7【知识点归纳】1常见的平面图形的面积求法：2.定积分在物理公式中的应用:【典型例题】题型 一用定积分求平面图形的面积例1求曲线y x2与y x所围成的图形的面积2X2变式训练：求由抛物线 y 川 x 1所围成的图形的面积5例2求正弦曲线y sinx,x