高等数学同济大学第(5)课件

1、高等数学同济大学第(5)洛洛必必达达法法则则: :型型未未定定式式解解法法型型及及一一、 00定义定义未未定定式式. .型型或或通通常常把把这这种种极极限限称称为为 00例如例如,tanlim0 xxx),0, 0(sinlnsinlnlim0 babxaxx)00()( 2. 洛必达法则洛必达法则)()00()()(lim)( 或或如如果果xFxfxax在在可可能能存存在在、也也可可能能不不存存那那末末)()(lim)(xFxfxax 高等数学同济大学第(5).)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;0)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxf

2、xFxFxfaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在且且都都存存在在及及点点的的某某去去心心邻邻域域内内在在设设定理定理1定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .高等数学同济大学第(5)证证, ),( aUxo ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(件件满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时

3、当当.(）或或 A无无关关，与与)(),()()(limaFafxFxfax. 0)(, 0)( aFaf定定义义)()(lim)()(lim FfxFxfaxax )()(lim Ffa .)(),(连连续续在在点点则则axFxf高等数学同济大学第(5)., ,该该法法则则仍仍然然成成立立对对其其它它五五种种函函数数极极限限 aaxx使使用用洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续满满足足型型，且且仍仍属属如如果果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxF

4、xfxFxfxx 例例如如，注注: 1.2.高等数学同济大学第(5).)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在且且都都存存在在及及点点的的某某去去心心邻邻域域内内在在设设定理定理2.;,62法法则则可可以以多多次次使使用用当当条条件件满满足足时时，罗罗必必达达中中极极限限过过程程的的任任一一种种中中的的极极限限可可以以是是定定理理 xxxaxaxax注注: 高等数学同济大学第(5)例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)(

5、)(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(高等数学同济大学第(5)例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解).0, 0(sinlnsinlnlim0 babxaxx求求bxbxbaxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( bxaxxcoscoslim0 高等数学同济大学第(5)例例5 5解解.3tantanlim2x

6、xx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( )0,33tan,tan(313lim?2 xxxxxxxx 3sin3sin3limcos3coslimsin3sinlim222 xxxxxxxxx )00(高等数学同济大学第(5)注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tan

7、tanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 )00(高等数学同济大学第(5)xxxxxtansinsinlim70 求求例例)00(secsintancoscos1lim:20 xxxxxx 原原式式解解0tansecsin2seccos2tansinsinlim220 xxxxxxxxx20sinlimxxxx 022lim2cos1lim200 xxxxxx高等数学同济大学第(5)型未定式解法型未定式解法二二00,1 ,0 ,0 、例例8 8解解).0(lim)1(2

8、 xxex求求)0( 2limxexx 原式原式2lim2xxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或)( xexx2lim )( ).0, 0(lim xexx高等数学同济大学第(5).0(lnlim)2( xxx求求01lim xx).0(ln)0(),0()0( mxxxexmx快快于于对对数数增增长长幂幂增增长长幂幂增增长长快快于于时时，指指数数增增长长结结论论：当当 11limlnlim xxxxxx解解)0(),0(),0(ln xmexmx )(x

9、).0(0lnlim mxxmx 高等数学同济大学第(5)例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:)00(xxxxxxsincoscossinlim0 20sinlimxxxx 02cos1lim0 xxx高等数学同济大学第(5)步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例1010解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxx0e . 1 x

10、xx1lnlim0 xxxlnlim00原式原式高等数学同济大学第(5)例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 )ln(cotln1ln1)(cotxxxex )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式.)1(1(lim)1(1(limlim11111111111 exxxxxxxxx或或高等数学同济大学第(5)例例1313解解.coslimxxxx

11、 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件高等数学同济大学第(5)利用罗必达法则及数列极限与函数极限的关利用罗必达法则及数列极限与函数极限的关系定理系定理(P(P3737) )，可求出一些数列极限，可求出一些数列极限. .limnnn 求求例例1 14 4, 1)11limexp()lnlimexp(0 exxxxx1limlim xxnnxnxxxxxx1limlim 考察函数极限考察函数极限xxxelnlim 解解)(0 高

12、等数学同济大学第(5)的的值值。高高阶阶的的无无穷穷小小，试试确确定定时时是是比比在在若若连连续续的的导导数数，且且的的某某个个邻邻域域内内具具有有一一阶阶在在设设函函数数例例bahhfhbfhafffxxf,0)0()2()(, 0)0(, 0)0(0)()6 ,2002(14 .01,0)0(,0)0()1()0()2()(lim0 baffbafhbfhafh解解法法一一：由由题题设设得得),0()2(1)2(2)(lim)0()2()(lim000fbahfbhfahfhbfhafhh 由罗必达法则得由罗必达法则得.02,0)0( baf. 1, 20201 bababa高等数学同济大

13、学第(5)的的值值。高高阶阶的的无无穷穷小小，试试确确定定时时是是比比在在若若连连续续的的导导数数，且且的的某某个个邻邻域域内内具具有有一一阶阶在在设设函函数数例例bahhfhbfhafffxxf,0)0()2()(, 0)0(, 0)0(0)()6 ,2002(14 . 01, 0)0(, 0)0()1()0()2()(lim0 baffbafhbfhafh解解法法二二：由由题题设设得得),0()2()0()1()0()2()0()(lim)0()2()(lim000fbahfbafhfbfhfahfhbfhafhh .02,0)0( baf. 1, 20201 bababa高等数学同济大学

14、第(5)()0(2)0()2()()0()0()(hohffhfhohffhf 公公式式得得解解法法三三：由由条条件件及及泰泰勒勒)() 0()2() 0() 1() 0()2()(hohfbafbafhf bhaf ，时时，即即，因因此此，当当)()0()2()(, 1, 20201hofhfbhafbababa 高等数学同济大学第(5)小小 结结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 高等数学同济大学第(5)思考题思考题设设)()(limxgxf是不定型极限，如果是不定型极限，如果)()(xgxf 的极的

15、极限不存在， 是否限不存在， 是否)()(xgxf的极限也一定不存在？的极限也一定不存在？举例说明举例说明. 高等数学同济大学第(5)思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在高等数学同济大学第(5)一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题高等数学同济大学第(5)二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arct