高等数学全套共10章62节之课件

1、上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 1 页第五节第五节 广广 义义 积积 分分 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 无界函数的广义积分无界函数的广义积分目录目录主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 2 页无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分一、预备知识一、预备知识1.定积分的概念定积分的概念3.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式2.极限的概念及计算方法极限的概念及计算方法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高

2、等数学全套共10章62节之第 3 页定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限 babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 二、无穷区间上的广义积分二、无穷区间上的广义积分目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导

3、上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 4 页类似地可类似地可,()(bxf 在上的广义积分，为：上的广义积分，为： bdxxf)( baadxxf)(lim而而)(xf在区间在区间),(上的广义积分为：上的广义积分为： adxxf)( dxxf)( adxxf)( 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分极限存在称广义积分收敛收敛；否则称广义积分；否则称广义积分发散发散. . a为任意常数）为任意常数）（其中（其中目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之

4、第 5 页例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解.102 xxdx 021xxdx 0221)1(21xxd 02)1ln(21x 广义积分广义积分 021xxdx发散发散目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 6 页例例2 2 计算广义积分计算广义积分 21xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 目录目录后退后退主主页

5、页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 7 页例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解 0dxxex 0dxxex 0)(xexd 00dxexexx00 xxexe)1(limxxxexe 1 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 8 页定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间),ba上上连连续续，而而,)(lim xfbx设设, b 如如果果极极限限 ,)(lim abdxxf 存存在在， 则则称称此此

6、极极限限为为函函数数)(xf在在区区间间),ba上上的的广广义义积积分分，记记作作 badxxf)(，即即 badxxf)( abdxxf)(lim无界函数的广义积分无界函数的广义积分目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 9 页类似地，当类似地，当 )(limxfax时，定义：时，定义： )(,)(lim)(adxxfdxxfbaba . . 如果如果)(xf在在,ba上除上除 c c 点外都连续点外都连续)(bca ，且，且,)(lim xfcx 则定义：则定义： bacabcdxxfdxx

7、fdxxf)()()( 当上式右边两个广义积分都收敛时，称广当上式右边两个广义积分都收敛时，称广义积分收敛。义积分收敛。 当极限存在时，称广义积分都当极限存在时，称广义积分都收敛收敛；当极；当极限不存在时，称广义积分限不存在时，称广义积分发散发散。目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 10 页例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解 1021xdx,11lim21 xx1 x为被积函数的无穷间断点为被积函数的无穷间断点. 0211limxdx 01arcsinlimx 0arcsinlim1

8、.2 1021xdx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 11 页例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解 112xdx 102012xdxxdx故原广义积分发散故原广义积分发散. 112xdx 120120limlimxdxxdx因为因为 120120limlimxdxxdx、都不存在，都不存在，目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 12 页例例6 6 计算广义积分计算广义积分解解 21ln

9、 xxdx 21ln xxdx 21lnlimxxdx 21ln)(lnlimxxd 21)ln(lnlim x )ln(ln)2ln(lnlim1 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 13 页无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(小

10、结小结目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 14 页练习题练习题例例3 3 计算下列广义积分计算下列广义积分 21sin1. 12dxxx 3032)1(. 2xdx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 15 页 21sin1. 12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 练习题解答练习题解答目录目录后退后退主主页

11、页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 16 页1 x为瑕点为瑕点 3032)1(. 2xdx 10313232)1()1(xdxxdx 1032)1(xdx 0132)1(limxdx3 3132)1(xdx 3132)1(limxdx, 233 3032)1(xdx).21(33 称称目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 17 页下列广义积分是否收敛？若收敛，算出它的值：下列广义积分是否收敛？若收敛，算出它的值：

12、习题习题5-4 32321032421020131. 81. 7cos. 61. 5. 4. 3ln. 21. 12dxxdxxxdxxxdxdxxedxxedxxxdxxxxe目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 18 页习题习题5-45-4答案答案)23(3. 8. 7. 61. 51. 40. 3. 221. 133 发散发散发散目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回高等数学全套共10章62节之第 19 页目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目的与要求本节的学习目的