高数下册第五节一阶线性方程全微分方程课件

1、高数下册第五节一阶线性方程全微分方程1一阶线性微分方程 第四节 第七章 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程2一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy 若若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy若若 Q(x) 0, 称为称为非非齐次方程齐次方程 .1. 解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量xxPyyd)(d 两边积分得两边积分得CxxPylnd)(ln 故通解为故通解为xxPeCyd)( 称为齐次方程称为齐次方程 ;高数下册第五节一阶线性方程全微分方程3对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxPeCyd)( 齐次方程齐次

2、方程通解通解非非齐次方程齐次方程特解特解 xxPCed)(2. 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxQyxPxy 用用常数变易法常数变易法:,)()(d)( xxPexuxy则则 xxPeud)()(xP xxPeud)()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)( y即即即即作变换作变换 xxPeuxPd)()( xxPexQxud)()(ddCxexQuxxP d)(d)(两端积分得两端积分得高数下册第五节一阶线性方程全微分方程4例例1. 解方程解方程 52d2(1) .d1yyxxx 解解: 先解先解,01

3、2dd xyxy即即1d2d xxyy积分得积分得,ln1ln2lnCxy 即即2)1( xCy用用常数变易法常数变易法求特解求特解. 令令,)1()(2 xxuy则则)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得代入非齐次方程得12(1)ux 解得解得322(1)3uxC故原方程通解为故原方程通解为3222(1)(1)3yxxC 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程5例例2. 求方程求方程的通解的通解 .解解: 注意注意 x, y 同号同号,d2d,0 xxxx 时时当当yyxyx2dd2 yyP21)( yyQ1)( 由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得得ex yy2d 1(

4、)y Cylnd 故方程可故方程可变形为变形为0d2d3 yyxyyxxy y1 lndCy 所求所求通解通解为为 )0( CCyxeyyCyln 这是以这是以x为因变量为因变量, y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程d2yye 1y高数下册第五节一阶线性方程全微分方程6在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0。例例3. 有一电路如图所示有一电路如图所示, ,sintEEm 电动势为电动势为电阻电阻 R 和电和电. )(ti LERK解解: 列方程列方程 .已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i 经过经过 L的电压降为的电压降为ti

5、Ldd因此有因此有,0dd iRtiLE即即LtEiLRtim sindd 初始条件初始条件: 00 ti由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流求电流感感 L 都是常量都是常量,高数下册第五节一阶线性方程全微分方程7解方程解方程:LtEiLRtim sindd 00 ti00 ti )(ti dtLRe tLEm sintLRmeCtLtRLRE )cossin(222 tetLRdd C 利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得 LERK由初始条件由初始条件: 得得 CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(222LRLECm 高数下册第五节一阶线性方程全微分

6、方程8tLRmeLRLEti 222)( )cossin(222tLtRLREm tLRmeLRLEti 222)( )sin(222 tLREm暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流则则令令,arctanRL 因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义: LERK高数下册第五节一阶线性方程全微分方程9二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式:)1,0()()(dd nyxQyxPxynny以以)()(dd1xQyxPxyynn 令令,1 nyz xyynxzndd)1(dd 则则)()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出此方

7、程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边 , 得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)高数下册第五节一阶线性方程全微分方程10例例4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy 的通解的通解.解解: 令令,1 yz则方程变形为则方程变形为xaxzxzlndd 其通解为其通解为ez 将将1 yz 1)ln(22 xaCxyxxd1 exa)ln(xxd1 Cx d 2)ln(2xaCx 代入代入, 得原方程通解得原方程通解: 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程11例例5 5 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方

8、程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程12;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程13;1. 3yxdxdy

9、解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为高数下册第五节一阶线性方程全微分方程14内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy 方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用再用常数变易法常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式 CxexQeyxxPxxP d)(d)(d)(,1 nyu 令令化为线性方程求解化为线性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程

10、nyxQyxPxy)()(dd )1,0( n高数下册第五节一阶线性方程全微分方程15思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1( )ln(lndd)2(xyyxyx 0d2d)()3(3 yxxxy0d)(d2)4(3 yxyxyyxxyxydd)2sin()5( 提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd 齐次方程齐次方程221dd2xyxxy 一阶线性一阶线性方程方程221dd2yxyyx 一阶线性一阶线性方程方程2sin2ddyxxyxxy 伯努利伯努利方程方程高数下册第五节一阶线性方程全微分方程16备用题备用

11、题 1. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0 提示提示:令令txu uufxxfxd)(sin)(0 则有则有xxfxfcos)()( 0)0( f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf 练习：练习：求微分方程求微分方程0)cos2()1(2 dxxxydyx11sin2 xxy10 xy满足条件满足条件的解。的解。高数下册第五节一阶线性方程全微分方程172. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy 其中其中 )(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy

12、的连续解的连续解.解解: 1) 先解定解问题先解定解问题10, 2 xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得 xeyd 1dd2Cxex )2(1Ceexx xeC 12利用利用00 xy得得21 C故有故有)10(22 xeyx高数下册第五节一阶线性方程全微分方程182) 再解定解问题再解定解问题1,0 xyy1122)1( eyyx此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为)1(2 xeCyx利用衔接条件得利用衔接条件得)1(22 eC因此有因此有)1()1(2 xeeyx3) 原问题的解为原问题的解为 y10),1(2 xex1,)1(2 xeex高数下册第五节一阶线性方程全微

13、分方程19练习练习1.求微分方程求微分方程yxdxdyx 满足条件满足条件02 xy的解的解。2.求微分方程求微分方程)1(112xxyxy 的通解的通解。3.求微分方程求微分方程)0()1(2 xeyxyxx满足条件满足条件01 xy的解的解。4.求微分方程求微分方程0)ln(ln dxxyxdyx满足条件满足条件1 exy的解的解。xxy12 )(arctan1cxxy )(eexeyxx 11(ln)2lnyxx高数下册第五节一阶线性方程全微分方程205. .求微分方程求微分方程6.求微分方程求微分方程xexyyx 满足条件满足条件11 xy的特解的特解。xexxyx11 112ln,9

14、xxyyxxy 11ln39yxxx 的特解。的特解。7.过点过点11arcsin2 xyxy21arcsin xxy)0,21(且满足关系式且满足关系式的曲线方程为的曲线方程为6.8.设设xyxpyx )(xxex xey 是微分方程是微分方程；原方程满足条件；原方程满足条件的一个解，则的一个解，则 )(xp21 xexxeey02ln xy的特解为：的特解为：高数下册第五节一阶线性方程全微分方程219. .设曲线设曲线上任一点上任一点L位于位于xOy平面的第一象限内，平面的第一象限内，的切线与的切线与轴总相交，交点为轴总相交，交点为,OAMA 23xxy A,已知已知且且过点过点)23,2

15、3(L，求曲线，求曲线 的方程。的方程。LMLy10. .设曲线设曲线，已知，已知)(xfy 是可导函数，且是可导函数，且0)( xf曲线曲线与直线与直线所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕t 0312 xyy)1( ttx轴旋转一周所得的立体体积轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。倍，求该曲线方程。1,0 xyx)(xfy 及及高数下册第五节一阶线性方程全微分方程22一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .

16、二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题高数下册第五节一阶线性方程全微分方程23高数下册第五节一阶线性方程全微分方程24五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方

17、程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .高数下册第五节一阶线性方程全微分方程25练习题答案练习题答案高数下册第五节一阶线性方程全微分方程26五五、1 1、Cxyx 2)(2； 2 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .高数下册第五节一阶线性方程全微分方程27( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 书中给出的书中给出的伯努利数伯努利数在

18、很多地方有用在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家, 位数学家位数学家. 标和极坐标下的标和极坐标下的曲率半径公式曲率半径公式, 1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度术猜度术,上的一件大事上的一件大事, 而而伯努利定理伯努利定理则是则是大数定律大数定律的最早形式的最早形式. 年提出了著名的年提出了著名的伯努利方程伯努利方程, 他家他家祖孙三代祖孙三代出过出过十多十多 1694年他首次给出了直角坐年他首次给出了直角坐 1713年出年出 这是这是组合数学与概率论史组合数学与概率论史此外此外, 他对他对双纽线双纽线, 悬链线和对数螺线悬链线和对数螺线都有深入的

19、研究都有深入的研究 .高数下册第五节一阶线性方程全微分方程28全微分方程 第五节 第十二章 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程29判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyP Dyx ),( 为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程使使若若存存在在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d

20、 则称则称0d),(d),( yyxQxyxP为为全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰当方程恰当方程 ) .高数下册第五节一阶线性方程全微分方程30),(yxyxo例例1. 求解求解0d)33(d)35(222324 yyyxyxxyyxx解解: 因为因为 yP236yyx ,xQ 故这是全微分方程故这是全微分方程. , 0, 000 yx取取则有则有xxyxuxd5),(04 yyyxyxyd)33(0222 5x 2223yx 3yx 331y 因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx 332253123)0 ,(x高数下册第五节一阶线性方程全微分方程31例例2. 求解求解0d1

21、d)(2 yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将方程改写为0ddd2 xxyyxxx即即 , 0d21d2 xyx故原方程的通解为故原方程的通解为 021d2 xyx或或Cxyx 221,xQ 高数下册第五节一阶线性方程全微分方程32二、积分因子法二、积分因子法思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3 yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例2 的方程的方程 .,0),( yx 使使0d),(),(d),(),( yyxQyxxyxPyx 为全微分方程为全微分方程,),(

22、yx 则称则称在简单情况下在简单情况下, 可凭可凭观察观察和和经验经验根据微分倒推式得到根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘0d),(d),( yyxQxyxP若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.高数下册第五节一阶线性方程全微分方程33常用微分倒推公式常用微分倒推公式:)(ddd)1 yxyx )(ddd)2 xyyxyx)(ddd)3 yyxx)(2122yx )(ddd)42 yyxxyyx2dd5)d()y xx yx yx )(ddd)6 yxyxxyyxln)(ddd)722 yxyxxyyxarctan)(ddd)822 yxyyxx22yx 积分因子积分因子不一定唯一不一定唯一 .0dd yxxy例如例如, 对对可取可取,1yx 221yx ,21y ,21x 高数下册第五节一阶线性方程