前n个自然数平方和及证明.docx

1、帕斯卡与前 n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（ Pascal B. ， 1623.6.191662.8.19 ）想出了一个新的很妙的方法能求出前 n 个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（ n 1） 3 n3 3n2 3n 1，移项可得（ n 1） 3 n3 3n2 3n 1，此式对于任何自然数 n 都成立。依次把 n1,2， 3， ， n 1，n 代入上式可得33221 3?1 3?1 1，3323 3?22 3?2 1，33243 3?3 3?3 1，n3（ n 1）3 3（ n 1）2 3（ n 1） 1，（ n 1） 3 n3 3n2 3n 1，把

2、这 n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n1） 3 1；而 n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个 1。因而我们得到（ n 1） 3 1 3Sn 3n(n 1) n，2现在这里 Sn 12 22 n2。对这个结果进行恒等变形可得n3 3n2 3n 3Sn 3n(n 1) n，22n3 6n2 6n 6Sn 3n2 3n 2n移项、合并同类项可得6Sn 2n3 3n2 nn（ n1）（ 2n 1）， Sn 1 n（ n 1）（

3、 2n 1），6即12 22 32 n2 1n（ n 1）（ 2n 1）。6这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前 n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前 n 个连续自然数的平方和： 122232n 2 1 n(n 1)(2n 1) 的证明方6法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教案效果很好.我们先来计算：122232 =11+2 2+3 3，即 1 个 1 与 2 个 2 与

4、3 个 3 的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表：122333把这个等边三角形数表顺时针旋转120 度得到数表：332321再把数表顺时针旋转120 度得到数表：323123观察、三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现：最顶层的三个数字是： 1、3、3；第二行左侧三个数字是：2、3、2；第二行右侧三个数字是：2、2、3；第三行最左侧三个数字是： 3、3、1；第三行中间三个数字是：3、2、2；第三行最右侧三个数字是： 3、1、3.通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7.每个数表都是 6个位置，所以三个数表数字之和：共6 个 7，而这三个数表的数字都是一样

5、的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为： 673.而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1 个数，第二行排 2个数；第三行排3 个数，所以共排了： 1+2+3=6个数字。所以 122232(1 33)(123)3（）（） ；=1+2333+16同理 122232n2 也可以采用上面的方法推导出来：122333 n nn nnnnnnn顺时针旋转 120 度，得到：nnn-1nn-1n-2n n-1n-2n-3n n-1n-2 n-343 2 1120nn-1nn-2n-1nn-3n-2n-1n123n-1n1+n+n=2n+1,1+2+3+4+n=n(n+1) 2,2n+1 n(n