概率论与数理统计柴中林第9讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第九讲第九讲主讲教师：柴中林副教主讲教师：柴中林副教授授中国计量学院理学院中国计量学院理学院3.4 边缘分布边缘分布3.4.1 3.4.1 边缘分布函数边缘分布函数 二维随机向量二维随机向量 (x,y) 作为一个整体作为一个整体, 有分有分布函数布函数 f( x, y)，其分量，其分量 x与与y 都是随机变量，都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成有各自的分布函数，分别记成 fx(x) 和和 fy(y)，分别称为分别称为x的边缘分布函数和的边缘分布函数和y的边缘分布函的边缘分布函数；称数；称 f(x, y) 为为 (x, y) 的联合分布函数。的联合分布函数

2、。fx(x)=pxx=pxx,y=f(x,)，fy(y)=pyy=px,yy=f(,y). x与与y的边缘分布函数实质上就是一维随机的边缘分布函数实质上就是一维随机变量变量x或或y的分布函数。称其为边缘分布函数的的分布函数。称其为边缘分布函数的是相对于是相对于 (x, ,y) 的联合分布而言的。的联合分布而言的。 同样地，同样地，(x, y) 的联合分布函数的联合分布函数 f(x, y)是是相对于相对于 (x, y) 的分量的分量x和和y的分布而言的。的分布而言的。注意注意: 求法求法则则 x 的边缘概率分布为的边缘概率分布为, 2 , 1,)(ipxxppjijii., 2 , 1,)(jp

3、yyppiijjjy 的边缘概率分布为的边缘概率分布为 设设(x, y ) 是二维离散型随机向量，联合是二维离散型随机向量，联合概率分布为概率分布为, 2 , 1, ),(jiyyxxppjiij3.4.2 3.4.2 二维离散型随机向量的二维离散型随机向量的边缘分布边缘分布解：解：例例1：求例求例3.2.1(p59)3.2.1(p59)中中( (x, ,y) )的分量的分量x和和y的的边缘分布。边缘分布。, 103151307, 1073071572122221111jjjjpxxpppxxpp.103151307,1073071572122221111iiiipyypppyypp把这些数据

4、补充到前面表上把这些数据补充到前面表上, ,例例2： 同理，考虑从同理，考虑从1,2,3,4中取数的例子，即中取数的例子，即分布分布 x y 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 01/8 1/8 0 01/12 1/12 1/12 01/16 1/16 1/16 1/16可得x和y的边缘分布为x y 1234p i.11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p.j25/48 13/48 7/481/161于是，随机变量x,y各自的分布为x1 2 3 4p 1/4y1 2 3 4p25/48 13/48 7/48 1

5、/163.4.2 连续型随机向量的边缘概率密度连续型随机向量的边缘概率密度 若若 (x, y) 的联合概率密度为的联合概率密度为 f (x, y)，则，则x的边缘概率密度为的边缘概率密度为y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为, ),()(dyyxfxfx. ),()(dxyxfyfy例例3：若若( (x, ,y) )服从矩形区域服从矩形区域 axb，cyd上均匀分布，则边缘概率密度分别为上均匀分布，则边缘概率密度分别为;b, a x, 0,b, a x,ab1)x(fx.d, cy, 0,d, cy,cd1)y(fy注：注：本例中本例中x与与y都是服从均匀分布的随机变都是服从均匀分布的随机变量

6、。量。 但对其它非矩形区域上的均匀分布不一但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。定有上述结论。例例4：设设( (x, ,y) )服从单位圆域服从单位圆域 x2 2+ +y2 211上的均上的均匀分布。求匀分布。求x和和y的边缘概率密度。的边缘概率密度。.),( 0,),( 1),(dyxdyxyxf，解解:当当| |x| |1 1时时, ,； 00),()(dydyyxfxfx当当-1-1x11时时, ,.12 01 0 ),()(211112222xdydydydyyxfxfxxxxx( 注意积分限的确定方法注意积分限的确定方法 )熟练时，被积函数为零的部分可以不写。熟练时，被积函

7、数为零的部分可以不写。 由由x 和和y 在问题中地位的对称性在问题中地位的对称性, 将上式中将上式中的的 x 改为改为 y，得到，得到 y 的边缘概率密度的边缘概率密度;1 ,1,0,1 ,1,12)( 2xxxxfx故.1 , 1,0,1 , 1,12)(2yyyyfy例例5：设设(x, y)的概率密度为的概率密度为.,0,0 , 10),2( ),(其他xyxxcyyxf求求 (1). c的值的值; (2). 边缘密度。边缘密度。= 5c/24=1,c = 24/5;dxdyxcyx )2( 100 dxdyyxf),(解解: (1).dxxxc 2/ )2(102解解: (2) xxdy

8、xyxf0)2(524)(),2(5122xx, 1x0注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围),2223(5242yyy1)2(524)(yydxxyyf. 10 y注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围. , 0, 10 ),2223(524)(2其他yyyyyfy; , 0, 10),2(512)(2其他xxxxfx即即.21)( ),()( 21212)(1xxxexfdyyxfxf得，, ),( 2121 n例例6：设设 (x, y)求求x和和y 的边缘概率密度。的边缘概率密度。解：解： 由由。；同理，这说明： ),( ),(222211nynxj 说明说明 对于确定的对

9、于确定的 1, 2, 1, 2, 当当 不同时不同时, 对对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。量之间的关系。 x与与y之间的关系的信息是包含在之间的关系的信息是包含在 (x, y) 的联合概率密度函数之内的。的联合概率密度函数之内的。 在下一章将指出：对于二维正态分布而在下一章将指出：对于二维正态分布而言，参数言，参数 正好刻画了正好刻画了x和和y之间关系的密切之间关系的密切程度。程度。 因此，仅由因此，仅由x和和y的边缘概率密度的边缘概率密度 (或边或边缘分布缘分布) 一般不能确定一般不能确定 (x,y) 的联合概率密度的联合概率密度函数函数 (或概率分布或概率分布)。小结小结 本讲首先介绍二维随机向量的边缘分布本讲首先介绍二维随机向量的边缘分布的概念，二维离散型随机向量边缘分布计算，的概