吉林大学线性代数线性代数12课xm31

1、第三章 第一节矩阵初等变换解方程组12341234123412341234(1)(2)1234(3)/2123412341234(2) (3)(3) 2(1)2(4) 3(1)222446224369792422232369792422xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 342342341234(2)*1/2(3) 5(2)234(4) 3(2)441234(3)(4)234(4) 2(3)420553633432402632402600 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 132343123443343314131003xxxxxxcx

2、cxcxcxc xx方程组是三种变换v交换次序v数乘v一个方程加上另一个方程k倍v（以上三种变换都是可逆的）( )( )( )( )( )( )/( )( )( )( )( )( ),( )( ),( )( ),( )( ),( )( ),( )( ),ijjiikikik jik jabbaabbaabba 2111211214( , )4622436979ba b初等行变换v对调两行v非零的数乘某一行v某一行k倍加在另一行上v类似的可以定义 “初等列变换”v统称为“初等变换”0,ijiijrrkrkrkr逆变换v初等行（列）变换的逆变换 还是初等行（列）变换0,ijiijrrkrkrkr1

3、( ),() ,ijiiijijrrrrkkrk r rkr 矩阵等价va经过有限次行变换变成b，就称a、b行行等价等价va经过有限次列变换变成b，就称a、b列列等价等价va经过有限次初等变换变成b，就称a、b等价等价abababrc123434121251034341231423434rrr等价关系的性质v反身性v对称性v传递性,aaab baab bc ac初等行变换 解方程组2111211214462243697911214211122311236979112140222005536033431121401110000260001311214011100001300000b1323412

4、341010401103000130000043341431310303bxxxxxxcxccxcx xv行阶梯（只做行变换）v行最简（行变换下最简单形式）v标准型（行列变换皆可）112140111000013000001401300030000011110000010000010000000000reofoo化简之后的矩阵定理一va、b都是m行n列矩阵，则v（i）a、b行行等价等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵pv（ii）a、b列列等价等价的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵qv（iii）a、b等价等价的充分必要条件：存在m可逆矩阵p以及n阶可逆矩阵qpabaqbpaqb初等矩阵之一111

5、2112121211011( , )11011( , )njjjnmiiinmmmne i jaaaaaaei j aaaaaaa112312314567891789456123113245614657891798对换i，j行初等矩阵之二11( ( )11e i kk112312314564565789354045123112154561453078957845将第i行或列乘以k倍初等矩阵之三11( ( )11ke ij k1123123110456748596178978912311223456110455678917889一行（列）的k倍加在另一行（列）初等变换矩阵 性质1va是m行n列矩

6、阵v对a实施一次初等行变换，等于a左边乘以一个m阶初等矩阵。v对a实施一次初等列变换，等于a右边乘以一个n阶初等矩阵。v初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵1111( , )( , ), ( ( )( ( ), ( ( )( ()e i je i je i ke ie ij ke ijkk初等变换矩阵 性质2v方阵a可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 使得：证明：假设a的标准型是f12,lp pp12lappp1112| 0sslrlapp fppeofoofrnfeappp12labpppabpabr行等价 矩阵乘法合并全部的行操作12123411112111520111520112141811

7、1111512lapbpp12141834115102abp如何记录a到b的变换过程？abpabeppep12141834111111125101111111515001做相同的行变换pabpep1111nmm naaaa 1100abep( ,)(,)( , )a eaepppbp11111100nmm naaaa ( ,)( , )a eb p定理1的证明va、b行等价va可以做有限次初等行变换变成bv存在初等矩阵12,lp pp12lpppabpab推论v方阵a可逆的充分必要条件是v证明：a可逆aerppae存在可逆矩阵 ，使得aer对a和e同时做相同的变换v当a做行变换变成b时，e会变

8、成pvp是可逆矩阵，满足pa=b( ,)( , )( ,) ( , )pabpabp a eb pa eb ppep求矩阵逆的方法v将a和e做相同的行变换。v当a变成e时，e将变成p。vp就是a的逆矩阵。1( ,)( , )( ,) ( , ),paepaep a ee ppepa ee p pa211112462a211 1 0 01 12 01 0( , )1 12 0 1 0 03 312 046 2 0 0 104 42 0 11 013 3111 32110831 013 310 113210 0 0108300 0 0aefppa f ，行变换行最简变换矩阵1021302230021100( ,)302010230001302010 021100094023302010 02110000194630018912 020846001946100634 010423001946aaa e，求1634423946a行变换进一步的应用v将a、b两个矩阵同时做相同的行变换111( , )( ,)( , ) ( ,)paep a be pbpapaebabbab121311122 ,2013225aba b，求12131112220( , )12220 03131132250500512