大学高等数学ppt课件第六章4矩阵的秩及矩阵的初等变换

1、线性方程组的三种同解变换：线性方程组的三种同解变换：（1）交换方程的位置）交换方程的位置（2）用一个非）用一个非0常数乘以某个方程常数乘以某个方程（3）某个方程乘以常数）某个方程乘以常数k后，加到另一个方程上去后，加到另一个方程上去 由线性方程组与矩阵的对应关系可知：方程组的上述三由线性方程组与矩阵的对应关系可知：方程组的上述三种同解变换，相对应有种同解变换，相对应有矩阵的三种行初等变换矩阵的三种行初等变换。11121121222212.nnmmmnmaaabaaabaaab11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa

2、xb矩阵的初等变换矩阵的初等变换三种三种行初等变换行初等变换（1）交换矩阵的两行，记作）交换矩阵的两行，记作ijrr（2）用非）用非0常数乘以矩阵的某一行的元素，记作常数乘以矩阵的某一行的元素，记作ikr（3）某一行的元素乘以数）某一行的元素乘以数k后加到另一行上去，记作后加到另一行上去，记作jirkr相应地有三种相应地有三种列初等变换列初等变换（1）交换矩阵的两列，记作）交换矩阵的两列，记作ijcc（2）用非）用非0常数乘以矩阵的某一列的元素，记作常数乘以矩阵的某一列的元素，记作ikc（3）某一列的元素乘以数）某一列的元素乘以数k后加到另一列上去，记作后加到另一列上去，记作jickc上述六种

3、变换，统称为矩阵的上述六种变换，统称为矩阵的初等变换初等变换例例 用矩阵的初等变换解线性方程组用矩阵的初等变换解线性方程组123231230 2122xxxxxxxx 解解 将矩阵的增广矩阵作将矩阵的增广矩阵作行初等变换行初等变换11 100 21 12 112312111002110332rr 所以，方程组的解为所以，方程组的解为123257,333xxx 21232123111 022110 122370 022rr rrr 3132323121221 0 0350 1 0370 0 13rrrrr 初等矩阵初等矩阵定义定义 由单位矩阵经过由单位矩阵经过一次一次初等变换而得到的矩阵称为初等

4、变换而得到的矩阵称为 初等矩阵初等矩阵。（1）101( , )101ijrrnee i j （2）11( )11ik rnee i kk 初等矩阵初等矩阵（3）11( ),11jirkrnee i k jk 初等矩阵初等矩阵初等矩阵的性质初等矩阵的性质1、矩阵、矩阵a左乘一个初等矩阵左乘一个初等矩阵，相当于将，相当于将a作作相应的初等行变换相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵右乘一个初等矩阵，相当于将，相当于将a作作相应的列初等变换相应的列初等变换。即如下式。即如下式子成立：子成立：( , )ijrrae i j a ( , )ijccaae i j （1）( )ikrae i ka ( )ik

5、caae i k （2）（3）( ),jirkrae i kj a ( ),ijckcaae i kj 验算（验算（3）式：）式：设设111213212223313233aaaaaaaaaa1 0 01(2),22 1 00 0 1eaa1001(2),2210001aea111213112112221323313233222aaaaaaaaaaaa111212132122222331323233222aaaaaaaaaaaa2、初等矩阵均可逆，且其逆矩阵仍为同类初等矩阵。、初等矩阵均可逆，且其逆矩阵仍为同类初等矩阵。1 ( , )( , )e i je i j因为因为 ( ), (), e

6、i kj e ikje初等矩阵的性质初等矩阵的性质11 ( ) ( )e i ke ik1( ( ), )( (), )e i kje ikj1 ( ) ( )e i k e iek( , ) ( , )e i j e i je初等矩阵的逆矩阵即为其对应的逆变换初等矩阵的逆矩阵即为其对应的逆变换 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质定理定理 可逆矩阵经初等变换后得到的矩阵仍可逆。可逆矩阵经初等变换后得到的矩阵仍可逆。定理定理 可逆矩阵可经过有限次可逆矩阵可经过有限次行初等变换行初等变换化为单位矩阵。化为单位矩阵。定理定理 方阵方阵a可逆可逆 方阵方阵a可表示成若干个初等矩阵的乘积可表示成若干个初等矩阵

7、的乘积证明证明 设设a可经有限次初等变换化为矩阵可经有限次初等变换化为矩阵b，则存在初等矩阵则存在初等矩阵p1，p2，pm，q1，q2，qn，使得，使得b=p1p2pmaq1q2 qn成立成立由于由于a，pi，qj（i=1，2，m；j=1，2， ，n）均可逆，所以均可逆，所以b可逆。可逆。由定理可知：由定理可知：a可逆，则存在初等矩阵可逆，则存在初等矩阵p1，p2，pm，使得，使得 a=p1p2pm，于是，于是 a-1=pm-1p2-1p1-1， 所以有所以有 pm-1p2-1p1-1a=e，合起来可写成，合起来可写成pm-1p2-1p1-1（ae）=（ea-1）。由此可得求逆矩阵的方法。）。

8、由此可得求逆矩阵的方法。利用矩阵的行初等变换求逆矩阵利用矩阵的行初等变换求逆矩阵将矩阵（将矩阵（ae）作行初等变换，当）作行初等变换，当a化为化为e时，时，e则化为则化为a-1，即，即1 a ee a 行初等变换例例 利用矩阵的初等变换求矩阵利用矩阵的初等变换求矩阵a的逆矩阵的逆矩阵321315323a解解 将矩阵（将矩阵（ae）作）作行初等变换行初等变换3 2 1 1 0 0()3 1 5 0 1 03 2 3 0 0 1ae213132110 001 41 1 00021 0 1rrrr122 23 091 2 00 14 11 00 021 0 1rrr 1313121007 / 62

9、/ 33/ 20101120011/ 201/ 2rr17/62/33/21121/201/2a所以2313 29 23 0 0 7/229/20 1 01120 0 2101rrrr 课堂练习：课堂练习：123(1) 221343a12001213(2) 00243612b1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵2、利用逆矩阵求解线性方程组、利用逆矩阵求解线性方程组1231231232312252353xxxxxxxxx答案答案11323/235/2111a 1、（1）1b不存在不存在（2）1231;0 xxx2、矩阵的矩阵的k阶子式的概念阶子式的概念

10、从矩阵从矩阵a中中任取任取k行行k列列，其交叉位置上的元素，其交叉位置上的元素保持相对位保持相对位置不变置不变，而构成的，而构成的k阶行列式阶行列式，称之为矩阵，称之为矩阵a的一个的一个k阶子式阶子式。如如 13060274a则矩阵则矩阵a共有共有 个二阶子式。它们是：个二阶子式。它们是： 246c 113202d 210707d 316404d 4302127d 536024d 6064274d 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 矩阵矩阵a中所有中所有不为零的子式不为零的子式的的最高阶数最高阶数，称为，称为矩阵矩阵a的秩的秩，记作记作 r(a) 或或 r(a)。 显然，如果显然，如果 r(a)=

11、r，则，则 a 中中至少至少有一个有一个 r 阶子式阶子式不等于零不等于零，所有高于所有高于 r 阶的子式都为零阶的子式都为零。例如例如 123221344a因为因为 0a 122022 所以所以 ( )2r a 如果如果 a 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 r(a) min (m,n)。特别当特别当 r(a)=m 时，称矩阵时，称矩阵 a 为为行满秩行满秩；当；当 r(a)=n 时，称矩时，称矩阵阵 a 为为列满秩列满秩；当；当 r(a)=m=n 时，称矩阵时，称矩阵 a 为为满秩矩阵满秩矩阵。利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：矩阵的初等