高等数学第三章：导数课件

1、第三章 导数和微分第一节 导数的概念一、导数的定义导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是下面的两个问题：(a) 已知运动规律求速度-英国数学物理家牛顿(Newton)研究力学过程中建立的，即速度问题；(b) 已知曲线求切线-德国数学家莱布尼兹(Leibniz)研究几何学过程中建立的，即切线问题；1、瞬时速度-已知物体运动规律，求某一时刻的速度引例：设一质点作变速直线运动，其位移函数为，为运动过程中的某一时刻，求此时刻的速度.分析：考虑邻近于时刻的时间，则质点在时间段(或者)的平均速度为，的值反映了这段时间内物体运动的平均速度，它不仅与

2、有关，而且与也有关，当与时间靠近时，与质点在时刻的速度也越来越靠近,即() (当与很近时)显然, 与越近, 近似程度就越好. 当时, 若的极限存在, 则称该极限值为质点在时刻的瞬时速度，简称速度，即.此定义给出了求速度的方法，即速度增量与时间增量比值的极限。2、切线的斜率对于切线，同学们并不陌生，在中学数学中, 圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线为圆的切线”. 但是这个定义对于其它曲线并不一定合适,比如：抛物线，在原点处，两坐标轴，即：这两条线只与抛物线有一个交点，这两条线都是抛物线的切线吗？不是，只有轴是过原点的切线。一般地，如何定义曲线上一点处的切线呢？下面我们给出曲线切线的一般定义,

3、 由此得到求曲线斜率的方法. 设曲线的图形如图所示，点为曲线上一定点,为曲线上另外一点，连接点，得到一条割线，当点沿曲线趋于点时，割线绕点旋转趋近于直线，直线称为曲线在点处的切线。如何求切线方程呢？由于割线的斜率为：，当点沿曲线趋于点时，即，若上式的极限存在，则极限，即为切线的斜率.这就是求曲线斜率的方法，函数增量与自变量增量比值的极限。从上面的例子可以看出，虽然实际意义不一样，但从数学上看，他们是完全一样的，都是函数增量与自变量增量比值的极限，若这样的极限存在，则称此极限为函数在点处的导数。二、导数的定义1、定义 设函数在点的某邻域内有定义, 且极限存在, 则称函数在点处可导, 并称此极限值

4、为函数=在点处的导数.记为, , , 或.即 (1)令,， 称为自变量的增量，称为函数的增量，则，则，所以导数的定义也写为：有时导数的定义也写为： . (2)2、导数的理解：(1) 导数是函数增量与自变量的增量之比的极限；(2) 称为函数关于自变量的平均变化率；(3)导数 称为函数在点处的变化率, 它反映了在点处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度；(4) 如果(1)式(或(2)式)的极限不存在, 就称函数在点处不可导.引入导数定义后，对于上述讨论的问题都是导数的问题，于是有：(1) 若物体的运动规律为，则物体在时刻的瞬时速度为即为函数在处的导数，即；(2) 若曲线方程为，则曲线在点处的切线斜

5、率为函数在在处的导数，即，这就是导数的几何意义，此时曲线过点的切线方程为：.例1 求函数在点处的导数,并求曲线在点切线方程.解 由定义或者所以函数在点处的导数为2，即曲线过点处的切线的向量为，所以切线方程为：，即.例2 讨论函数在点处的导数.解：若，即右极限为1；若，即左极限为-1；左右极限存在，但不相等，故极限不存在，所以函数在点处的不可导。如图函数图像在原点处有尖点，不光滑，此例说明函数可导体现的图形的光滑性；从此例也可以看出，上述函数是连续函数，但不一定可导；结论：函数连续，但不一定可导；事实上，从上例，我们也可以引入左右导数的定义：3、设函数在上有定义，若右极限=，存在，则称该极限值为

6、函数在点处的右导数，记为，即：；类似的定义左导数为 ,利用左右极限的性质,我们有：4、 函数在点处可导的充要条件是:函数在点处的左导数和右导数均存在且相等，即.上面讲了函数在一点处可导，若函数在区间的每一点都可导(若左右端点都属于区间，且函数在左端点右可导，右端点左可导)，则称函数在区间上可导；若函数在区间上可导，则任意点，存在唯一导数与之对应，则为区间上的函数，称为函数的导函数，简称导数，记为：, , , 或，把点换为任意点，的得到任意点的导数公式：或者注意：(1) 利用上式求函数导数时，为区间上的任意值，在取极限过程中，变量为或，视为常量；(2) 函数在点处的导数等于导函数在点处的函数值，

7、即；(3) 利用导数的定义，我们可以得到求函数导数的基本步骤：(i) 求函数增量：；(ii) 求两增量比值：；(iii)求极限；例2 求函数(为常数)的导数.解：因为，所以极限结论：常数函数的导数为0；例3 求函数(为自然数)的导数.解：所以极限结论：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；例4 求函数的导数.解：结论： (1) ；(2) ；例5 求函数(且)的导数.解： 结论： (1) ；(2) ；例6 求函数(且)的导数.解： 结论： (1) ；(2) ；二、导数的几何意义由前面的讨论和导数的定义知道：1、几何意义：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率， 即。由直线的点斜式方

8、程, 得到切线方程：2、曲线在点处的切线方程为 .显然，若函数在一点处可导，则曲线在点处的切线是存在的，反之成立吗？不成立。例如：对于曲线，在原点处有切线，如图所示， 但是函数在处不可导，因为，此时，为了方便，常把函数在此处的极限说为无穷大；3、把过点且垂直于切线的直线称为曲线在点处的法线。4、法线方程： (1) 若，由于相互垂直的直线斜率互为负倒数，故法线斜率为：，所以法线方程为： (2) 当时,法线方程为，切线为；(3) 当时,法线方程为，切线为；5、导数与切线倾角的关系若表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角，则有，其中为切线上任意两点，于是有如下结论：(i) 若为锐角，则(ii) 若为钝角

9、，则(iii) 若或，则例1求曲线在点和处的切线方程和法线方程.析：解 (1) 曲线在点的切线斜率为所以曲线在点的切线方程为( 或 .法线方程为( 或.(2) 由于.即在处的导数为无穷大, 所以函数在点处有垂直于轴的切线, 其方程为:; 对应的法线方程为:.例2 已知曲线，(1)求过点的切线方程；(2)求过点的切线方程；(3)求过点的切线方程；三、函数的可导性与连续性 定理 如果函数在点处可导, 则函数在点处连续. 析 若函数在点可导, 则,利用函数极限与无穷小的关系，的，其中是当时的无穷小量, 所以 取时的极限有 即： 所以函数在点处连续. 注意：这个定理的逆命题不成立, 即函数在某一点连续

10、, 不一定能推出在该点可导. 例如:函数|在点处连续,但是它在处不可导.结论：连续与可导的关系图可导 连续例1 设函数满足且，则 .例2 设函数(1) 若函数在处连续，则 ， .(2) 若函数在处可导，则 ， .例3 设函数存在，则(1) ;(2) ;例4 设函数在处连续，且，则 .习 题3-11.已知某物体作直线运动的运动规律为,分别取求从到这一段时间内运动的平均速度, 再求在时的瞬时速度, 并比较其平均速度与瞬时速度的接近程度.2一根非均匀细杆,为杆上任意的一点, 已知段的质量(单位为克)与从点到点的距离平方成正比(比例系数设为). 如图3-3所示, 试求(1) 整根杆的平均密度,(2)

11、一段的平均密度,(3) 在处点的密度.3用导数定义求下列函数在指定点处的导数.(1), 图3-3(2), (3).4求下列函数在指定点处的左右导数,并指出在该点处的可导性.(1) 点, (2) 点,(3) 点.5求曲线在点和处的切线方程和法线方程.6在抛物线上取横坐标为及的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上那一点的切线平行于这条割线?7设函数 在点处可导, 求常数和的值.8讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性.(1) 点, (2) 点,(3),点.9设存在,按导数的定义指出各表示什么？(1), (2),(3), (4)(其中,且存在).第二节 函数的求导法则求导运算是高等数学的基本运算

12、之一，要求读者迅速，准确地求出函数的导数，若按导数的定义求导数，计算量太大，费时费力，为此将求导运算公式化是必要的，首先，我们学习求导的四则运算法则：一、导数的四则运算： 1、定理：若函数在点处可导，则他们的和差积商(分母不为零) 在点处可导，且有如下结论：(1) ;(2) ；(3) ()；分析：设，利用导数的定义：2、推论：若函数在点处可导，则他们的和差积商(分母不为零) 在点处可导，且有如下结论：(1) ;(2) ；(3) ;(4) ；例1 求函数的导数.解 . 例2 求函数的导数, 并求. 解 . .例3 求函数的导数.解 .例4 求函数的导数.解 .例5 求函数的导数.解 结论： ，

13、.例6 求函数的导数.解 结论：， .例7 求函数的导数.析：函数与函数互为反函数，它们之间有什么关系呢三反函数的导数研究互为反函数的两个函数的图像关系，不难得到互为反函数的两个函数的导数关系。设是函数的反函数，图像如图所示，蓝色线为函数在坐标系的图像，紫色线为过点的切线，利用导数的几何意义，有：(1) 曲线在点处的切线的斜率为：,其中为切线与轴的夹角； 该图像也可以看为函数的图像，把坐标系理解为坐标系， 则紫色线为曲线过点的切线，于是我们有 (2) 曲线在点处的切线的斜率为：其中为切线与轴的夹角；把(1)和(2)放在一起，即(1) 曲线在点处的切线的斜率为：,其中为切线与轴的夹角；(2) 曲

14、线在点处的切线的斜率为：其中为切线与轴的夹角；又因为，所以，所以故得到原函数与反函数的导数关系。1、定理 若函数在某区间内单调可导且，则它的反函数在对应的区间内也可导，且.即：反函数的导数等于直接函数的导数的倒数. 证 因为单调可导，所以其反函数在相应的区间内单调且连续.设在点处有增量，则由的单调性可知, 所以 .由于连续,所以当时 ，故 . 例7 求函数的导数.解 函数是函数的反函数，由于函数在()内单调可导，所以在对应区间内可导且 .结论： 例8 求函数的导数.解 函数是函数的反函数. 由于函数在()内单调可导且.所以在对应区间内可导且.结论： .当时 .例9 求函数的导数.析：，解 函数

15、是函数的反函数, 由于函数在区间()内单调可导，所以在对应的区间()内可导，且.结论：， .基本函数求导公式表：1 基本函数的求导公式(1)，(为常数) (2)，(3)， (4)，(5)， (6)，(7)， (8)，(9)， (10)，(11)， (12)，(13)， (14)，(15)， (16)，四复合函数的导数法则链式法则 例 求函数的导数。析：因为，所以对于函数可以视为有函数复合而成的函数，变量为中间变量，于有：故这就是复合函数的求导法则链式法则：1、定理 如果函数在点处可导, 而函数在对应的点处可导, 则复合函数在点处可导, 且其导数为.简记为 或 .即：外函数求导乘以内函数求导。证

16、 设有改变量，则有相应的改变量，有相应的改变量.函数在对应的点处可导，则函数在对应的点处可导，则利用无穷小与极限的关系，得，所以2、推广：设，则复合函数例10 求下列函数的导数.(1) (2) (3) (4) (5) 例11 求下列函数的导数(1) (2) 且 注意：(1) 对数函数的性质：(2) 指数-对数求导法，利用对数函数的性质，两边取对数，得，在利用指数函数的性质，两边取指数函数，得到，在利用复合函数求导即可得到。这种对幂指函数求导的方法,称为指数-对数求导法.例11 设求的导数.析：分段点处的导数要用左右导数求之例12 (1) 设可导，求的导数；(2) 设可导，求的导数.析：习题3-

17、21求下列函数的导数(其中是常数)(1), (2), (3), (4), (5), (6),(7), (8), (9),(10), (11), (12),(13), (14), (15),(16).2推导双曲正切函数的导数公式: .3求下列函数在指定点处的导数(1)求和, (2),求,(3),求和.4求下列函数的导数(1), (2),(3), (4),(5), (6),(7), (8),(9), (10),(11), (12),(13), (14),(15), (16),(17), (18),(19), (20),(21), (22),(23), (24),(25), (26),(27), (

18、28) (是非零常数),(29), (30),(31), (32).5设函数可导,求下列函数的导数(1), (2),(3), (4).6设可导,求下列函数的导数(1), (2).7求下列函数的导数 (1) (2)8以初速12m/s上抛的物体, 其上升高度与时间的关系是,求(1) 该物体的速度，(2) 该物体达到最高点的时刻.9求曲线上过原点的切线方程.10确定的值使为曲线的切线.第三节 高阶导数一、高阶导数例 求函数的导数。解 还是的函数，显然是可导的，且，这样得到的函数称为函数的二阶导数；一般地，函数的导数仍然是的函数,因此如果在点处仍然可导, 则在点处的导数称为函数在点处的二阶导数,记作，

19、或, 即 ， 或 .相应地, 称为函数的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数称为函数的三阶导数, 记为，或，三阶导数的导数称为四阶导数, 记为，或，等等.一般地, 阶导数的导数称作函数的阶导数, 记作，或.即 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 注意：一般地， 四阶及其以上的导数均使用记号（以为例）， 或,而一阶、二阶、三阶导数则分别使用记号，和.特别地，我们规定，函数的零阶导数即为本身，即.二、高阶导数的计算方法 1、直接法：利用高阶导数的定义逐步求高阶导数例1 求函数的阶导数.解 例2 求函数的阶导数.解 , .例3 求函数的阶导数.解 , , 例4 求函数的阶导数.解 ,.即 .类似

20、可得 .例5 求函数的阶导数.解,.三、高阶导数的运算法则设函数在点处具有阶导数，则(1) ;(2) ；(3) ；(4) ，此公式称为莱布尼兹求导公式；注意：公式的系数和二项式展开式的系数相同：把次幂换为阶导数即为莱布尼兹求导公式；2、间接法：利用已知高阶导数公式，通过导数的四则运算，变量代换等方法，间接求出所求函数的高阶导数例6 求函数的阶导数.解例6 求函数的阶导数.解 , ,.例8 求函数的8阶导数.解 设, ,则 ， ，代入莱布尼兹公式得 .例9 已知函数任意阶可导，且，则当时， .析：习 题3-31 求下列函数的二阶导数：(1), (2),(3), (4),(5), (6),(7)

21、(8).2设, 求和.3若存在,求下列函数的二阶导数(1), (2).4验证,是常数)满足5求下列函数的阶导数：(1), (2), (3).6求下列函数指定阶的导数：(1) 求 (2),求第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一隐函数的导数什么是隐函数？两个变量与之间的对应关系可以用不同的方式表达.如等, 这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号, 而右边是关于有自变量的式子. 用这种方式表达的函数叫做显函数. 然而又的表达式却不是这样的，如方程 .他们通过一个方程来确定与的函数关系，这样表示的函数称为隐函数；1、定义： 若与的依赖关系由含有与的方程给出，则称方程确定了一个隐函数

22、或； 如：方程就确定了一个隐函数；2、把由表示的函数称为显函数；如：对于方程所确定了的隐函数，实际上式可以求出来的，即，这种：3、把隐函数化为显函数的过程=称为隐函数的显化，即一般情况下，不易显化隐函数，如何求隐函数的导数呢？考虑方程求所确定的隐函数的导数。解 法一：显化求解显化方程得到，所以法二：由于方程确定了函数，即方程中隐含了是的函数，于是我们方程两边同时对求导，但是要注意是的函数，涉及的导数，要用复合函数求导，即：这就是隐函数的求导法则：用复合函数的求导法则对方程两边同时求导例1 求由方程 确定的隐函数的导数.解 方程两边分别对求导数. 注意到是的函数, 而又是的函数. 因此视为中间变

23、量，由复合函数的求导法则得:解出, 得， .例2求由方程所确定的隐函数在处的导数.解 方程两边分别对求导, 得又因为，所以时，所以所以.例3 求椭圆上点处的切线方程.解 根据导数的几何意义知道,椭圆上点处的切线斜率为就是由椭圆方程所确定的隐函数对的导数在点处的值,即.椭圆方程等式两边对求导, 得于是 所以 故切线方程为 即 .由于点满足椭圆方程, 因此有所以切线方程为 例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.解 方程两边分别对求导, 得所以 . 上式两边再对求导,得例5 求下列函数的导数.(1) (2) 分析：，利用对数函数的性质，两边取对数，得，在利用指数函数的性质，两边取指数函数，得到，在

24、利用复合函数求导即可得到。这种对幂指函数求导的方法,称为指数-对数求导法.解： (1) 因为 所以 (2) 因为所以二由参数方程所确定的函数的导数 对于参数方程，同学们并不陌生，如圆的参数方程为 一般地， 如果变量与之间的函数关系由参数方程 (1)所确定，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(1)所确定的函数.那如何求参数方程的导数呢？ 分析：(1) 若均可导，且，则有，于是有(2) 若均二阶可导，且，求。分析：例7 求由参数方程所确定的函数的导数.例8 已知曲线的参数方程为 ,求曲线在处对应点的切线方程和法线方程.例9 已知曲线的参数方程为 ,求二阶导数.例10 已知参数方程为 ,求导数.

25、习 题3-41求下列方程所确定的隐函数的导数(1), (2), (3),(4), (5), (6).2求下列方程所确定的隐函数的二阶导数(1), (2), (3),(4), (5).3求由下列方程所确定的隐函数在指定点处的一阶或二阶导数(1)求， (2),求，(3),求， (4),求.4求下列函数的导数(1), (2), (3),(4), (5).5求由下列参数方程所确定的函数的导数(1) (2) (3) (4)6求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数：(1) (2) (3)7已知 求和.8证明:圆的渐近线的法线是该圆的切线.9*有一长度为的梯子, 紧靠在垂直的墙上 ,当梯子的下端以/min的

26、速度离开墙根滑动, 问当梯的下端距墙根时, 墙的上端下滑的速度是多少？10*在中午十二点正甲船以/的速率向东行驶, 乙船在甲船之北, 以/的速率向南行驶, 问下午一点正两船相离的速率为多少？第五节 函数的微分在理论研究和实际问题应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量发生微小变化时函数，求函数的值发生的变化？即：假设自变量发生微小变化变为，求函数值的改变量？析：，从上式一看，这不很简单吗，两个函数值之差，表面上看，若简单，上式的确很简单，要是很复杂，又怎么算呢？我们先看一个简单的例子：引例：设有边长为的正方形金属薄片, 由于受温度的影响(热胀冷缩), 边长改变了, 问此薄片的面积改变了多少？(如

27、图所示).解：加热前：面积为；加热后：面积为；所以面积的增量为，即：上式分为两个部分：第一部分：是关于的线性函数；第二部分：是关于的二次函数，当很小很小时，更小；这个与我们求函数值的改变量有什么关系呢？前面我们学习了导数，利用导数来研究上式，即上式两边同时除以，求时的极限，即：上面正好是函数在处的导数，因为，即的高阶无穷小，所以可以记为，所以上式可以重写为：故，当很小很小时，更小，可以忽略不计，则有这就可以近似的算出函数的改变量，即：函数的改变量近似的等于函数在点处的导数乘以自变量的改变量。前面的部分正好是导数，这是偶然吗？不是。在看下面的例题：例 2 设函数在点处的改变量为，求函数的改变量。

28、解： ， 上式分为两个部分：第一部分：是关于的线性函数；第二部分：是关于的三次函数，当很小很小时，也很小；同样的利用导数来研究式子，即上式两边同时除以，求时的极限，即：上面正好是函数在处的导数，因为，即是的高阶无穷小，所以可以记为，所以上式可以重写为：故，当很小很小时，更小，可以忽略不计，则有。这就是微分的定义：一微分的概念1、定义 设函数在点的某邻域内有定义, 在该邻域内, 如果函数的增量可表示为的线性函数与的一个高阶无穷小量的和，即，(为两点与的距离)则称函数在点处可微,称为函数在点处相应于自变量的增量的微分, 记作, 即，其中是不依赖于的常数，称为函数增量的线性主要部分(简称线性主部)。

29、注意：(1) 是自变量的改变量的线性函数；(2) 是比高阶的无穷小量，即这是证明函数可微的充要条件。 (3)当时，与是等价无穷小，即(4)当很小很小时， (近似计算)；二、可微与可导的关系 设函数在点处可微，则有，上式两边同时除以，求时的极限，即：所以，即函数在点处可微一定有函数在点处可导；反之，也有函数在点处可导一定有函数在点处可微，因为：若函数在点处可导，则有，利用无穷小与教学的关系，得到，其中，所以，由于，故，所以所以函数在点处可微。这就是我们下面的定理：2、定理 函数在点处可微的充要条件是函数在点处可导，且. 注意：(1) 函数在点处可微与可导等价； (2) 由得到，函数在点处可微可以

30、记为，且当时，与是等价无穷小，即(4)当很小很小时， (近似计算)，另外，由得到，得 这就是后面学习的泰勒展开式。2、定义 设函数在区间内每一点都可微,称函数是区间上的可微函数,且函数在任意点处微分可记作, 即： 特别地，若取则有，即自变量的微分等于自变量的改变量，所以结论：函数在任意点处微分为：注意：对于函数的微分，将除到左边得到：即函数的导数，由此可见：函数的微分与自变量的微分的商就等于该函数的导数，所以，导数也称为“微商”。 例1 求函数当由变到微分.解 而，所以所求的微分为.从例1可以看出, 当很小时, 与相差极小.例2 求函数在处的微分.三、微分的几何意义设函数在点处可导，图形如图所

31、示,利用导数的几何意义，曲线上点处的切线的斜率为设曲线过点的切线与轴的夹角为,则有 。设分别为和的增量，对应点为，结合图形得到：，即为函数纵坐标的增量；，即为横坐标的增量；利用微分的定义有：.则就是曲线在点处的切线的纵坐标的增量. 总结上面的分析，我们得到：函数在点处的微分就是对应曲线在点处的切线的纵坐标的增量；所以：当很小时, 就可以用切线段上的增量近似代替曲线段上的增量，即：，同样地，也可以用切线段近似代替曲线弧段，若记曲线弧段的长度为，则当很小时，可以用线段近似代替，即：此公式就是下学期学习法曲线积分的弧微分公式，记为：.二基本初等函数的微分公式与微分运算法则函数的微分表达式所以要求,

32、只需求出, 再乘以自变量的微分即可, 因此由导数公式与求导运算法则, 可得如下的微分公式和微分运算法则.1、基本初等函数的微分公式(1) (为常数)， (2)， (3)，(4)， (5), (6)，(7)，(8)， (9)(10)，(11)， (12)， (13)， (14).2、 函数的四则运算的微分法则设函数可微, 则(1)， (2)，(3)， (为常数) (4) ()例3 求函数的微分例4 求函数的微分3、复合函数的微分法则设, 均可微, 则复合函数的微分为.由于, 所以由此可见, 无论是以表示自变量还是表示中间变量的可微函数, 微分形式都保持不变，即：(1) 若，作为自变量，则有 (2

33、) 若，作为中间变量，则有，这一性质称为一阶微分形式不变性.例2 求函数的微分.解 例3 求函数的微分. 解 例4 求函数的微分. 解 例4 求由方程所确定的隐函数的微分. 解 法一：析：，关键求： 隐函数求导：所以 法二：对方程两边求微分, 得即 , .所以 三微分在近似计算中的运用 前面讲过, 如果函数在点处可微, 则当很小时, 近似等于, 即，上式又可以写为 ， (1)或 . (2)式(2)中, 令, 则有表达函数值的近似公式 . (3)用式(2)或式(3), 可求得函数在点附近的值. 特别当时,如果很小, 则有 . (4)运用式(4)可以推得如下几个常用的近似公式(假定很小)： (1), (2), (3), (4), (5).其中(4)(5)中的用弧度作单位. 例5 计算的近似值. 解 ,这里, 其值较小, 利用近似公式(),得 .所以 . 例6利用微分计算下列各式的近似值 (1) , (2), (3). 解 (1) 是函数在时的值. 而是易于计算的. 因此令弧度, 于是由式