北师大版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课教案_0

1、第二章 一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系一、学生知识状况分析“一元二次方程根与系数的关系”是一元二次方程中继“一元二次方程 的解法”之后的一个学习内容， 学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根 公式是本节课的基础。 基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、 形象的， 他 们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示 一些学生所熟悉和感兴趣的东西， 结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的 教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。、教学任务分析本节是从相关知识的复习入手， 目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺 垫，再通过计算

2、、 比较、分析、归纳发现根与系数的关系， 发展学生的感性认识， 合作意识， 让学生体会由特殊到一般的认知过程。 根与系数的关系也称为韦达定 理（韦达是法国数学家） ，韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通 过韦达定理的学习， 把一元二次方程的研究推向了高级阶段， 运用韦达定理可以 进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组； 韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。 同时通过韦达定理的教学， 可以 培养学生的创新意识、 探究精神和综合分析数学问题的能力， 也为学生今后学习 方程理论打下基础。教学目标21、理解掌握一元二次方程ax+bx+c=O（a工0）两根x

3、i, X2与系数a、b、c之 间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根， 以及方程中的未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和。4、在推导过程中，培养学生“观察发现猜想证明”的研究问题的思想与方法。学重点和难点：1 教学重点：根与系数的关系及其推导。2教学难点：正确理解根与系数的关系。3教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系三、教学过程分析 本节课分 5 个环节： 第一环节： 候课反思 ：实践探索，直观感知 第二环节： 设疑推探： 探索归纳，交流合作 第三环节： 互动解疑： 推理论证，感悟升华第四环节：技能拓展

4、：应用巩固，深化提高 第五环节：互评交流：评价反思，概括总结 第一环节：候课反思：实践探索，直观感知内容：1、 一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 （a工0）（板书）2、 一元二次方程有实数根的条件是什么？（ =b2- 4ac 0）3、当厶 0,A =0,Av 0根的情况如何？tb J护一4、 一元二次方程的求根公式是什么？-目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的 相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学 习作好铺垫。效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a 0”。后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信

5、心。 第二环节：设疑推探：探索归纳，交流合作内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程 的两根和与两根积？（1） x2+5x+4=0（2） 6x2+x-2=0（3） 2x 2-3x +仁0目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。效果：激发了学生的求知欲和好奇心， 激起了学生探究新知的兴趣。自 然引出本节课要学习的课题第三环节：互动解疑： 推理论证，感悟升华（一）内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果）方程X1X2X1+X2X1X2x2+5x+4=06x2+x-2=02x2-3x+1=0观察上面的表格，你能得到什么结论？1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了

6、吗？2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程 ax2+bx+c=0 （a工0）的根xi，X2 与a、b、c之间的关系：。4你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。 （分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）（二）1、猜想：根与系数关系（1）关于x的方程x2 px q = 0（ p、q为常数，p2 - 4q 一 0）的两根为，x?与 系数p的关系是：捲 X2 = - p，XjX2 = q。（2）形如 ax2 bx c = 0（ a = 0）的方程，如果 b2 -4ac -

7、0，两根为 x1， x2，那 么bX-!x2ab-x1xac%x2acX1X2a（三）对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。._, 2 2X2-b 士 Jb2 -4acx 二 2a-bb24ac,X22ab 一.厂4ac，则2aX1x2 二-bb2-4ac -b-、b2-4ac r =-2 b2a2a2a-b + Vb2 -4acXi X2-b - . b2 - 4ac2 2b - (b - 4ac) 4ac c2a2a4a24a2 apX q数关系（韦达定理 ）= 0（p、q为常数，p2-4q_0）的两根为，）关于 x 的方程x2与系数p的关系是:证明：T ax bx c 0(a = 0)，当 b - 4ac _ 0 时根为:X1X2 二 q(2)形如 ax2 bx c = 0( a = 0)的方程，如果 b2 - 4ac _ 0 ,两根为 Xi , x?，那bXiX2abcX-|X2 =a X1X2 = _cX1X2a尝试题：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为X1, X2、k是常数）2 “(1)22x -3x-1=0X1+X2=X 1X2=(2)23x +5x=0X 1+X2=X 1X2=(3)x2+7x=-6X计 X2=X1X2=(4)25x +kx-6=0X 1+X2=X