北京市怀柔区2012届高三4月调研考试理科数学试题

1、2012年怀柔区高三年级调研考试数学（理科）2012.4、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1 已知全集 U= 1, 0, 1 , 2，集合 A= I, 2, B=0, 2，则(Cu A) 一 B 二A.0B. 2C.0, I, 2D.2 .已知i为虚数单位，-=2，则复数iA.1 -iB. 1 iC.2iD. 2i3.“ a=2是直线ax十2y=0与直线x+y=l平行的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 .一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体

2、的体积是A.B. 1C.D. 25 .函数2y = (sin x cosx) -1 是A.最小正周期为B.最小正周期为2二的偶函数C.最小正周期为二的奇函数D .最小正周期为二的偶函数6.过点A4n引圆皿旗的一条切线，则切线长为B. 6 3C. 2 2D.7 .将图中的正方体标上字母，使其成为正方体 ABCD-A1B1C1D1,不B. 48 种D. 144 种同的标字母方式共有A. 24 种C. 72 种& 若函数 y = f (x) (x R )满足 f (x+2)=f (x)且 xe 1-1,1 时，f(x) = 1 x2,1g x (x 0)函数g(x)= i，则函数h(x )= f (

3、x)g (x)在区间1-5,5内的零点的个一一 (xw0)I x数为A. 5B. 7C. 8D. 106小题，每小题5分，满分本大题共30分.二、填空题:x y乞213.已知不等式组1M 有公共点，贝U k的取值范围是 .町214. 手表的表面在一平面上.整点1, 2, , 12这12个数字等间隔地分布在半径为的2圆周上.从整点i到整点(i + 1 )的向量记作讯,则1上2七2上3 上2上3七3上4“21 t我2 =三、解答题：本大题共 6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15. (本小题满分13分)在 ABC中，a、b、c分别为角A、BC的对边，且满足b2 c2 -a2

4、二bc .(I)求角A的值;(n)若a =3，设角B的大小为x , ：ABC的周长为y，求y = f (x)的最大值.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是 正方形，其他四个侧面都是等边三角形， AC与BD 的交点为O, E为侧棱SC上一点.(I)当E为侧棱SC的中点时，求证：SA/平面 BDE ；(n)求证：平面 BDE _平面SAC ;(川)当二面角 E -BD -C的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.17. （本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克）

5、 ，重量的分组区间为 490,495】，495,500】，, 510,515】.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（I）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（n）在上述抽取的 40个产品中任职2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分蛆距布列；（川）从流水线上任取 5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过 505克的概率.UJI70.1)50JI40川30.014艸SOD MS 510 515 西* /克18. (本小题满分13分)In x已知 f(x)=ax-l n x, x (0,e, g(x)，其中 e 是自然常数，a R .x(i)讨论a =1时，f (x)的单调

6、性、极值；1(n)求证：在(i)的条件下，f(x) g(x) 2(川)是否存在实数 a，使f (x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.b)的直线倾斜角为=2DF ,求直线EFPQ为直径的圆过点19. (本小题满分14分)2 2已知：椭圆 笃+存=1 ( a b 0 )，过点A( a, 0), B(0, a b，原点到该直线的距离为3 .6(I)求椭圆的方程；(n)斜率大于零的直线过 D(-1,0)与椭圆交于E , F两点，若ED的方程；(川)是否存在实数 k，直线y二kx 2交椭圆于 P , Q两点，以D(-1, 0) ?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.20. (

7、本小题满分13分)a a定义：对于任意n N*，满足条件n 2 2乞an i且ai M ( M是与n无关的常数) 的无穷数列1an?称为T数列.(I)若a. - -n2 9n ( nN )，证明：数列：a,是T数列；f 3 n(n)设数列 的通项为bn=50n-I，且数列bj是T数列，求常数 M的取值范2)围；(川)设数列1( nW N * , PA1)，问数列cj是否是T数列？请说明理由.n参考答案及评分标准、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分.题号12345678答案ACCACDBC二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，满分30分.9. 1010. i 2011111.-21

8、2. (1,213.410)14. 6. 3 - 9三、解答题：本大题共6小题,满分80分.15.(本小题满分13分)在 ABC中，a、b、c分别为角A、BC的对边，且满足b2bc .(I)求角A的值；ABC的周长为y，求y二f (x)的最大值(n)若a =、3，设角B的大小为x , 解：(I)： b2 c2 - a2 二 be，2 2 2A b+ca 1cos Abc 2又 0 ： A ：二，、3 ?(n)b asin xsin A ,aJ3b =sin xsinx 二 2sinxTtsin323同理c二asin A2兀sin C 二 sin( x) y = 2sin x 2sin(2x)

9、. 3 = 2 . 3sin(x )336 A 肓,.0* 3ymax = 3t3.13分16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形,点为O , E为侧棱SC上一点.(I)当E为侧棱SC的中点时，求证:SA/平面 BDE ；(n)求证：平面 BDE _平面SAC ；(川)当二面角 E -BD -C的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.AC与BD的交(I)证明：连接 OE，由条件可得SA / OE .因为SA?平面BDE , OE i平面BDE ,所以SA /平面BDE .(n)证明：由(I)知 S0_ 面 ABCD

10、, AC _ BD .建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥S - ABCD的底面边长为2,则 0(0, 0, 0) , S(0, 0,、2) , A .2, 0, 0 ,B 0,2, 0 , C -迈 0, 0 ,D 0, - 2, 0 .SCByD .厂i 、IlK OI；A所以 AC 2、2, 0, 0 , BD 0, -2、2, 0 .设CE=a ( 0vac2 ),由已知可求得 NECO =45.所以 E(r2/a, 0, a) , BE = (2 鼻 a, -2, d a).2 2 2 2设平面BDE法向量为n = (x, y, z),则 n BD,n BE = 0y 二0,即(-.

11、2 乎a)x-0 az.令 z =1，得 n 二（旦，0, 1）.2a易知BD二0, -.2, 0是平面SAC的法向量.因为 n BD=(旦，0, 1)-(0, 2 .2, 0)=0,2 -a所以n _ BD，所以平面BDE _平面SAC.（川）解：设 CE=a （ 0va1)，问数列cj是否是T数列？请说明理由.n解：(I)由 an - -n2 9n，得an an 2 -2an 1 二-n2 9n -(n 2)2 9(n 2) 2(n 1)2 18(n 1) = _2 所以数列玄满足色孔乞an1.2f 9 丫 81又an二- n，当n=4或5时，an取得最大值20,即an 0即n兰11时，bn屮bn 0，此时数列bn单调递增当n 一12时，bn 1 -bn ：0，此时数列单调递减；故数列（bn的最大项是b2，所以，M的取值范围是 M _600 I 3一12丿12（川）当 1：p_2 时，当 n=1 时 G = p1,C2=1 - 卫，0=1 - 卫2 -由& c3 2c2 =虫一2岂0得p岂6 ,35即当1 ： p乞6时符合J 5 J Cn 1条件.5-若n _2,则卫1 ,此时cn =1 -卫nn是 Cn cn.22cn1=(1 十)(1 -丄)-2(1-上 2-2pn 1 n(n - 1)(n - 2):06时数列心是T数列;5又对