常微分方程习题及答案

1、第十二章常微分方程(A)、是非题任意微分方程都有通解。（）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。3.函数y 3sinx 4cosx是微分方程y 0的解。（）4.函数y x2 ex是微分方程y 2y0的解。（）5.微分方程xy In x 0的通解是y1一 In x2C （C为任意常数）。（）46. ysin y是一阶线性微分方程。（)7. yx y xy不是一阶线性微分方程。()8. y2y 5y 0的特征方程为r2 2r50。()9.dy1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。（)dx填空题1.在横线上填上方程的名称y3 In xdx xdy 0 是。xv2 xdx y x2y dy 0是

2、。X鱼ylnY是。dxxxyyx2 si nx 是。yy 2y 0 是。2.ysin xy x cosx的通解中应含个独立常数。3.ye 2x的通解是。4.ysin 2x cos x的通解是。5.xy2x2y 2 x3y x41 是阶微分方程。6.微分方程y yy 60是一阶微分方程。oy 1所满足的微分方程是x8.勿的通解为x9.dxdy 0的通解为x10.dydx耳x 12，其对应的齐次方程的通解为11.方程xy 1 x20的通解为12.3阶微分方程x3 *的通解为、选择题1.微分方程xyy0的阶数是（）2 .微分方程x5 6 7 * *1的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个

3、是微分方程dy2xdx0的解（A . y 2x B . y x2 C .2x Dcosx其中C1, C2为任意常数。A.通解B .特解C .是方程所有的解D .上述都不对8 .微分方程yysin x的一个特解具有形式y a cosxA .y a sinxC . yx asin xbcos xy a cosx bsinx9.下列微分方程中,欢迎下载是二阶常系数齐次线性微分方程。A. y 2y 0 B . y xy 3y20C.5y 4x0 D . y2y1010. 微分方程y y 0满足初始条件y0 1的特解为（）。A.exB .ex1 C . ex 1D .2 ex11. 在下列函数中，能够是

4、微分方程 y y 0的解的函数是（）A. y 1 B . y x C . y sin x D . y ex12 .过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y y x应满足的关系是（）A . y 2xb . y2x C . y2x ,y 13Dy 2x,y 1313 .卜列微分方程中，可分离变量的是 （)0a. yeB.鱼k xa b y(k,a,b是常数）dx xdxdyC .siny xD . yxy2xy edx14 .方程y2y 0的通解是（）。A .y sin x B .y 4 e2x C.yC e2x D .yx e15 .微分方程dx dy0满足y |x 34的特解是（)c）y xA.

5、 x2 y225 B.3x 4y CC2 2.x y! CD . x2y2 716 .微分方程dy 1y 0的通解是y ()0dx xA . C B.Cx1C . - CD .x Cxx17 .微分方程y y0的解为（）。A . ex Bx.exxC . e eDx e18 .下列函数中，为微分方程xdxydy0的通解是（)0A . x y iC B.x2 y2 CC .Cx y0D.Cx2y 019 .微分方程2ydy（dx 0的通解为()0A.y2xC B.yx CC.y xCD.y xCA.sin xcosy CB.cos y sin x CC.cosxsin y CDcosx sin

6、y C21.y ex的通解为y()oA.x eB . e yy 4.求微分方程y x的特解。y 1x1 2解：y2 2x2 ln x 2 o5 .求微分方程y y cosx e snx的通解解：y e snx x C6 .求微分方程3 sinx的通解dx x1解：y si nx xcosx CxC.ex C1x C2 D . e x Gx C22.按照微分方程通解定义,ysin x的通解是（）。A.sin x C1x C2B.sin x C1 C2C.sin xC1x C2D.sin x C1 C220.微分方程cosydy sin xdx的通解是（）o四、解答题1. 验证函数y C e3x

7、e2x（C为任意常数）是方程史 e 2x 3y的通解, dx并求出满足初始条件yLo 0的特解。2 22.求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。 y |xo 1解：C , 2x2 y211 x3.求微分方程直tan#的通解dx x x解：sin Cx ox77.求微分方程x1 y2y x 1 20的特解。y lx:0 1解:2 yx31 21x21338.求微分方程y2y x2满足初始条件x 0, y 1 , y 3的特解。x 1解:y x3 3x19 求微分方程y2yy满足初始条件x 0, y 1, y 2的特解。解：arctany x 或 y tan x 4410 .验证

8、二元方程x2 xy y2 C所确定的函数为微分方程x 2y y 2x y 的解。11. 求微分方程ex y ex dx ex y ey dy 0的通解。解：ex 1 ey 1 C12. 求鱼 y tanx secx , y |x 00 的特解。dx解：y cosx13. 验证y1 cos x , y2 sin x都是y 2y 0的解，并写出该方程的通解。14.求微分方程y22y x2x的通解解：y Cx2 x21nx115.求微分方程y 目x0满足初始条件y10的特解。x解：y exx16.求微分方程史dx x 1x 1 3的通解欢迎下载18解：y x 12宁C17.求微分方程dx丄dy 0满

9、足条件y01 y 1 x1的特解。解:18.求微分方程2y 0的通解。解:yC1exC2e 2x19.求微分方程y 2y5y 0的通解。3 y2 x2解:20.求微分方程y 4y 4y 0的通解。解:y C1Czxe 2x21.试求yX的经过点M 0,1且在此点与直线x-1相切的积分曲线。2X “.”一=y e C1 cos2x C2 sin2x解:(B)、是非题1 .可分离变量微分方程不都是全微分方程。（y1 x与y2 x线性无关,2. 若y1 x , y2 x都是y P x y Q x的特解，且则通解可表为y xy1 x C y1 x y2 x 。2y 0的解。（）5 .微分方程ye2x

10、y ,满足初始条件1y 0的特解为ey -e2x 1o3 .函数y e 1x e 2x是微分方程y 12 y 14.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y x2 C（C是任意常数）。（、填空题1. y1 cosx 与y sin x是方程yy 0的两个解，则该方程的通解为_。2 .微分方程y2y 3y 0的通解为3.微分方程2y y 0的通解为4.微分方程e2x的通解是5.微分方程y的通解是6.微分方程dydx2xy的通解是、选择题1.微分方程4y 4y 0的两个线性无关解是（）2xA. e2x 与 2 e2x B . e 2x 与 x e 2x C2x2xe

11、 与x eD . e 2x 与 42x e2.下列方程中，不是全微分方程的为（A . 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dy 0.eydxx ey2ydyC . y x 2y dx x2dy 0x2y dxxdy3.下列函数中，哪个函数是微分方程g的解（）2A . s gt B . s gt C . s24.下列函数中，是微分方程y 7y12y0的解（）x2 C . ye3x2xy e5.方程 1 x2 y xy0的通解是（C.y Tx2ix3 CxCxe 26 .微分方程y In xdxx ln ydy满足y |x1 1的特解是（2A. ln x,2 ln yln2 x2ln y 1

12、C. ln2xln2 y 0Inln2 y 17 .微分方程1 x2 dy1 y2 dx0的通解是（A . arctan x arctan ytan x tan yC . ln x ln y Ccot x cot y8 .微分方程y sin x的通解是（）sin x1.微分方程y1x x21的通解为（A. arctanx C Barctan x Cx.丄arctanxD . arctan xC. ysinxC1xC2D .y sin x C1 x C29.方程xy y3的通解是（)0A. yC 3xB . y3xC C .CcCy3 D . y3xx四、解答题1.求微分方程y 9y24x6 c

13、os3x2sin 3x的通解。A.y sin xBy解：y C1 x cos3x C2 2x2 x sin x3x2. 求微分方程y 7y 6y sinx的通解。1解：y C1e6x C2ex7 cosx 5sin x743. 求微分方程3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0的通解。解：y2 xy x2 Cx（C）、是非题1. 只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。2 .已知二阶线性齐次方程 y P x y Q x y 0的一个非零解y，即可 求出它的通解。（）二、填空题1. 微分方程y 4y 5y 0的通解是。2. 已知y 1 , y x , y x2某二阶非齐次线

14、性微分方程的三个解，则该方程的通解为。3. 微分方程 y 2y 2y ex的通解为三、选择题2 微分方程y y 1的通解是（）A . y C ex B .3.ly03的解是（314.微分方程dy tan 丫的通解为dx x x5.A . sin Cx x已知微分方程B . sinx1Cxx sin yCxx sin y1Cx的一个特解为72，则此微分方程的通解是（）A.-C-x 1211C. C x_2116.微分方程y1的一个特解应具有形式（式中a , b为常数）（）A . aexB . axexb C . aex bx D . axex bx四、解答题1 .设y ex是微分方程xy p x

15、 y x的一个解，求此微分方程满足条件y|x ln2 0的特解。解：代入yex到方程xyP x yx 中,得p xxxex原方程为xyxe x x yxyxe xe 1 C e,yex 1y 1/ x In 2 ,y 0 二 C1e 2 0X彳ey e 1 ex 1202 .已知 y1 xex2xe , y2xexxe ,y3x2xxe ee x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。解：yi y e ，由卫x , y y e2x 2e x均是齐次方程的解且线性无关。Ge x C2 e2x 2e x是齐次方程的通解。当Ci 2，C21时，齐次方程的特解为e2xex、e2x都是齐次方程

16、的解且线性无关。 Cie x C2e2x是齐次方程的通解。由此特征方程之根为-1 , 2,故特征方程r2 r 20。相应的齐次方程为y y 2y 0故所求的二阶非齐方程为y y 2y f x yi是非齐次方程的特解代入上式得xf x 1 2x e所以y y 2y 1 2x ex为所求的微分方程。13.已知f 0，试确定f2求此全微分方程的通解。x，使f x ydx f x dy0为全微分方程，并解：P efxx ef x，即ffxedxxe edxf01f xxC2x eex x C得全微分方程:dy-ydx2解得u X, yx0dx0x丄dy2故此全微分方程的通解为ex x 1 y C2第十

17、二章微分方程(A)、是非题1 .X； 2.X； 3. V; 4.x； 5.V; 6.X； 7.x； 8.V; 9. 、填空题1.在横线上填上方程的名称可分离变量微分方程；可分离变量微分方程；齐次方程;2. 3；3.1 e42xC x C 2 ；4 .14sin 2xcosxCXC25. 3;6. 2；7.y2y0 ； 8.y Cx2 ；9 . x2 2yC ;10. yCx12 ；11 . yx2Cxe2 ；12. y1x6 C1XC2xC30120选择题1. D2 .A；3. E3; 4 . B；5. C; 6.A; 7.B; 8.C; 9. A;10. A; 11.12. C；13.B；1

18、4.C； 15.A 16. B;17. B;18. B；19. A;20.3; 21.一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程。C；C；22. A.四、解答题1. 验证函数y C e3x e2x(C为任意常数)是方程鱼 e 2x 3y的通解,dx并求出满足初始条件y|x。的特解。2 22. 求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。y Ixo 1解：Jy C , 2x2 y2 1。1 x23. 求微分方程史tan的通解 dx x x解：sin Cx ox y4 求微分方程y 了 x的特解。y 2解：y 2x2 ln x 2。5 求微分方程y y cosx e sinx 的通解

19、解：y e sinx x C。6.求微分方程 包 sinx的通解。dx x1解：y sinx x cosxx欢迎下载277 求微分方程xy|72y x 1 20的特解。解: y i 2y y 2x y 的解解：略。8 求微分方程2y xx2 1满足初始条件x 0, y 1 , y 3的特解。解：y x3 3x9 求微分方程y2yy满足初始条件0, y 1, y 2的特解。解: arcta ny xtan x10 .验证二元方程x2xy所确定的函数为微分方程11.求微分方程edxey dy 0的通解。解:ex 1 ey112.解:求 dy y ta n x dxxycosxsecx ,y lx0

20、的特解。13.验证y1 cos x,y sin x都是y 2y 0的解，并写出该方程的通解。解：略14.2求微分方程y 2y x的通解。解:2 2y Cx x In x o15.求微分方程y0满足初始条件y10的特解。解:xeyex ox16.解:17.解:dy2dxx 1x 1212xdx1 y3y22 x求微分方程yC0求微分方程y1y y5 o332 y xy x 1 21 3的通解。0满足条件y o1的特解。18.求微分方程2y 0的通解。解:yC1exC2e 2x。19.求微分方程y 2y5y 0的通解。解:xy e C1 cos2x C2 sin2x。20.求微分方程y 4y 4y

21、 0的通解。解:y C1C2X e 2x o21.试求yx的经过点M0,1且在此点与直线y2 1相切的积分曲线。解:2x 1 o(B)、是非题1.x；2.V; 3.V; 4.X；5.Xo、填空题1. yC1 cosx C2 sin x ;2.yC1e x C2e3x ; 3. y C1 C2x ex;1 2x24. y -e Cx8选择题C2XC3；5. yxGe C2 6. y Cx2e1.C; 2. C;3. C；4. C;5.D; 6. A; 7.A; 8. C; 9解答题1.求微分方程y 9y24 x6cos3x 2 sin3x 的通解。解:y C1 xcos3xC22x2x sin x3x。2.求微分方程y 7y6ysinx的通解。解:y5e6xC2ex7 cosx745sin x 03.求微分方程3x2 22xy ydxx2 2xy dy0的通解。解:2y xy x2 C。xA.四、(C)是非题1.x；2.V;填空题1. ye2x C1 cosxC2sin2.C1 x 12C2 x21三、选择题1. B; 2.C; 3. A; 4. A;5. 1D; 6.D.四、解答题1 .设 yex是微分方程xyP xy x的一个解，求此微分方程满足条件y|xln2 0的特解。解：代