高等数学大学课件104

1、第十章第十章 微分方程微分方程 第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(xqyxpdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xq当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xq当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,ln)(lncdxxpy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶

2、线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xqyxpdxdy 讨论讨论,)()(dxxpyxqydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq为为设设 ,)()(ln dxxpxvy.)()( dxxpxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuc 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .作变换作变换 dxxpexuy)()(,)()()()()(dxxpdxxpe

3、xpxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),()()(xqexudxxp ,)()()( dxxpexqxu即即,)()()(cdxexqxudxxp 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxpdxxpecdxexqy)()()(dxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解)()(xqyxpdxdy 形如形如一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xq当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xq当当齐次方程的通解为齐

4、次方程的通解为.)( dxxpcey（使用分离变量法）（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxpdxxpecdxexqy)()()(（常数变易法）（常数变易法）.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxp ,sin)(xxxq cdxexxeydxxdxx11sin cdxexxexxlnlnsin cxdxxsin1 .cos1cxx 解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段pq之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy

5、 )0(3 xxy)(xf xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxpq3xy )(xfy dxexceydxdx23, 6632 xxcex, 0|0 xy由由, 6 c得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 伯努利伯努利(bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxqyxpdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换

6、化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xqyxpdxdyynn ),()1()()1(xqnzxpndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,2)2(2)2(2)2( cxxdxexcezdxxdxx解得解得.224 cxxy即即解解，得得两两端端除除以以y例例 3例例4 4 解下列微分方程解下列微分方程: :.2222xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222cxeyx 三、小结1.线性非齐次方程线性非齐次方程2.伯努利方程伯努利方程; )()()( dxexqceydxxpdxxp;1zyn 令令思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yy