数学物理方法傅里叶变换课件

1、数学物理方法傅里叶变换数学物理方法傅里叶变换 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的积分变换的这一特性，使得它在微分方

2、程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一求解中成为重要的方法之一 积分变换积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用 数学物理方法傅里叶变换( )f t所谓所谓积分变换积分变换，就是把某函数类，就是把某函数类A中的任意一个函数中的任意一个函数，经过某种，经过某种可逆的积分方法可逆的积分方法（即为通过含参变量（即为通过含参变量的积分）的积分）( )( )( , )dbaFf t K tt变为另一函数类变为另一函数类 B中的函数中的函数 ( ),F这里这里 ( , )K t是一

3、个确是一个确定的二元函数，通常称为定的二元函数，通常称为该积分变换的核该积分变换的核 ( )F称为称为 ( )f t的的像函数或简称为像像函数或简称为像， ( )f t称为称为 ( )F的的原函数原函数 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程常微分方程A中所求的解，而且是显式解中所求的解，而且是显式解像函数类像函数类B中找到解的像

4、；再经过逆变换，便可以得到原来要在中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在数学物理方法傅里叶变换 另外需要说明的是，当选取不同的另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数积分区域和核函数时，时，就得到不同名称的就得到不同名称的积分变换积分变换: : （1 1）特别当核函数）特别当核函数 i t( ,)K te（注意已将积分参（注意已将积分参变变,ab 量量改写为变量改写为变量），当），当，则，则i( )( )dtFf t et称函数称函数 ( )F为函数为函数 ( )f t的的傅里叶（傅里叶（FourierFourier）变换）变换，( )F( )f t简称简称为函数为函数的的傅氏变

5、换傅氏变换同时我们称同时我们称 ( )f t为为( )F的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换数学物理方法傅里叶变换（2 2）特别当核函数）特别当核函数 ( , )ptK t pep0,ab （注意已将积分参变量（注意已将积分参变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则0d( )( )pttF pf t e称函数称函数 ( )F p为函数为函数 ( )f t的的拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace)(Laplace)变换变换，简称，简称 ( )F p为函数为函数 ( )f t的的拉氏变换拉氏变换同时我们称同时我们称 ( )f t为为 ( )F p的的拉氏逆变换拉氏逆变换 数学物理方法傅里叶变换 1807

6、1807年年1212月月2121日，日，FourierFourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献: “”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点数学物理方法傅里叶变换 1.1.傅里叶级数的引进傅里叶级数的引进 在物理学中在物理学中, ,我们已经知道最简单的波是谐波我们已经知道最简单的波

7、是谐波( (正弦正弦波波),),它是形如它是形如 的波的波, ,其中其中 是振幅是振幅, , 是角频是角频率率, , 是初相位是初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,锯形波等往往都可锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来以用一系列谐波的叠加表示出来. .tAsinA（一）（一） 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 数学物理方法傅里叶变换tusin4 )3sin31(si

8、n4ttu 数学物理方法傅里叶变换)5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu 数学物理方法傅里叶变换)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加作是许多不同频率的简谐函数的叠加数学物理方法傅里叶变换2 2 三角级数三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角级数三角级数引例中的简谐振动函数引例中的简

9、谐振动函数（1 1） 10)sin()(kkktkAAtf 10)sincoscossin(kkkkktkAtkAA,200Aa 记记,tx,sinkkkAa ,coskkkAb 数学物理方法傅里叶变换即即: :由三角函数组成的函项级数成为三角级数由三角函数组成的函项级数成为三角级数 则则(1)(1)式右端的级数可改写为式右端的级数可改写为(2)(2)得到行如得到行如(2)(2)式的级数称为三角级数式的级数称为三角级数 10)sincos(2kkkkxbkxaa 三角函数系的正交性三角函数系的正交性(1)(1)三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1kxk

10、xxxxx即即 i)i), 0cos kxdx, 0sin kxdx.,:)2(上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交 数学物理方法傅里叶变换ii)ii)iii)iii). 0cossin nxdxkx), 2 , 1,( nk其中其中, 0sinsin nknknxdxkx, 0coscos nknknxdxkx), 2 , 1,( nk其中其中数学物理方法傅里叶变换3 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数问题问题 1.1.若能展开若能展开, , 是什么是什么? ?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos

11、(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 .)1(0a求求数学物理方法傅里叶变换,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 可得可得.)2(ka求求 kxdxakxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 kxdxnxbkxdxnxaknn数学物理方法傅里叶变换可得可得可得可得 kxdxak2cos, ka kxdxxfakcos)(1), 3 , 2 , 1( k.)3(kb求求 kxdxakxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 kxdxnxbkxdx

12、nxannn, kb kxdxxfbksin)(1), 3 , 2 , 1( k数学物理方法傅里叶变换从而得到傅里叶系数从而得到傅里叶系数 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk或或数学物理方法傅里叶变换把以上得到的系数代入三角级数把以上得到的系数代入三角级数问题问题: :该级数称为该级数称为傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2kkkkxbkxaa 10)sincos(2?)(kkkkxbkxaaxf

13、条件条件数学物理方法傅里叶变换 三角级数的收敛性定理三角级数的收敛性定理: :0kkk=1a+( a + b )2若级数若级数 收敛收敛, ,则级数则级数cossin0kkk=1a+(akx+bkx)2在整个数轴上绝对收敛且一致收敛在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. .由由M判别法即得定理结论判别法即得定理结论.证证,sincos,kkkkbakxbkxaRx 由于由于数学物理方法傅里叶变换定理定理( (收敛定理收敛定理, ,狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件) )设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数. .如如果果它它满满足足: :

14、( (1 1) )在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点, , ( (2 2) )在在一一个个周周期期内内至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点, , 则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛, ,并并且且 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时, ,级级数数收收敛敛于于)(xf; ; 当当x是是)(xf的的间间断断点点时时, , 级级数数收收敛敛于于2)0()0( xfxf; ; 数学物理方法傅里叶变换注注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多. .解解例例 1 以以 2为为周周

15、期期的的矩矩形形脉脉冲冲的的波波形形 tEtEtumm,0,)(将将其其展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数.otumEmE 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .2)(mmEE , 0 .), 2, 1, 0(处不连续处不连续在点在点 nnx2mmEE 收敛于收敛于数学物理方法傅里叶变换和函数图象为和函数图象为otumEmE ).(,xfnx收敛于收敛于时时当当 ktdttuakcos)(1 00cos1cos)(1ktdtEktdtEmm), 2 , 1 , 0(0 k ktdttubksin)(1 00sin1sin)(1ktdtEktdtEmm数学物理方法傅里叶变换

16、),2, 0;( tt所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为)cos1(2 kkEm)1(12kmkE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4nnknnknEm 1)12sin()12(4)(kmtkkEtu数学物理方法傅里叶变换注注( (一一) )对于非周期函数对于非周期函数, ,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄立克并且满足狄立克雷充分条件雷充分条件, ,也可展开成傅立叶级数也可展开成傅立叶级数.)(xf, 作法作法: :),()()()2( xxfxFT作作周周期期延延拓拓)0()0(21 ff端点处收敛于端点处收敛于数学物理方法傅

17、里叶变换4 4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 一般说来一般说来, ,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项, ,又含有余弦项又含有余弦项. .但是但是, ,也有一些函数的傅里也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. .1.定理定理 设设 是周期为是周期为 的函数的函数, ,且可积且可积, ,则则)(xf 2(1)(1) 当当)(xf为为奇函数奇函数时，它的傅里叶系数为时，它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 kkxdxxfbkakk 数学物理方法傅里叶变换

18、证明证明0 (2)(2)当当)(xf为为偶函数偶函数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 kbkkxdxxfakk kxdxxfakcos)(1), 3 , 2 , 1 , 0( k,)()1(是奇函数是奇函数设设xf数学物理方法傅里叶变换同理可证同理可证(2)(2)2.2.定义定义定理证毕定理证毕. . kxdxxfbksin)(1 0sin)(2kxdxxf), 3 , 2 , 1( k (1)(1)如果如果)(xf为奇函数为奇函数 , ,其傅立叶级数其傅立叶级数kxbkksin1 称为正弦级数称为正弦级数 (2)(2)

19、如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 其傅立叶级数其傅立叶级数kxaakkcos210 称为余弦级数称为余弦级数. . 数学物理方法傅里叶变换例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在), 上上的的表表达达式式为为xxf )(,将将)(xf展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数. 解解 2 2 3 3xy0和函数图象和函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 kak数学物理方法傅里叶变换)3sin312sin21(sin2)( xxxxf),3,;( xx 0sin)(2kxdxxfbk 0sin2kxdxx 02sincos2kkxkkxx kkcos2,)1(

20、21 kk), 2 , 1( k.sin)1(211 kkkxk数学物理方法傅里叶变换例例 2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)( 展展开开成成傅傅氏氏级级数数, ,其其中中E是是正正常常数数. .解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, , 在整个在整个数轴上连续数轴上连续. .,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E ), 2 , 1( n数学物理方法傅里叶变换 0cos)(2ktdttuan 0cossin2ktdttE 0)1sin()1sin(dttktkE 01)1cos(1)1c

21、os( ktkktkE)1( k 12, 02,1)2(42nknkkE当当当当), 2 , 1( n数学物理方法傅里叶变换 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu )( x.142cos21212 nnnxE 数学物理方法傅里叶变换非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓注注( (二二

22、) )数学物理方法傅里叶变换1.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅立叶正弦级数的傅立叶正弦级数)(xf)0( x 1sin)(kkkxbxf数学物理方法傅里叶变换2.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅立叶余弦级数的傅立叶余弦级数)(xfxy0 )0( x 10cos2)(kkkxaaxf数学物理方法傅里叶变换例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. .解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. . 0sin)(2kxdxxfbn 0sin)1(2

23、kxdxx)coscos1(2 kkk3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122kkkk当当当当,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf数学物理方法傅里叶变换(2)(2)求余弦级数求余弦级数 00)1(2dxxa, 2 5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x 0cos)1(2kxdxxak)1(cos22 kk , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202kkk当当当当,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf数学物理方法傅里叶变换5 5 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开21,cos,cos,c

24、os,2sin,sin,sin,xxkxlllxxkxlll 2l 周期性周期性(2 )( )f xlf x 若函数若函数f(x)为为周期函数周期函数的光滑或分段的光滑或分段光滑函数，且定义域为光滑函数，且定义域为 则则：, l l作为基本函数族，将作为基本函数族，将 ( )f x展开为展开为傅里叶级数傅里叶级数（即下式右端（即下式右端级数）级数） 01( )cossinkkkk xk xf xaabll ,2lT .2lT 则可取则可取三角函数族：三角函数族：)sincos(210 xkbxkaakkk 数学物理方法傅里叶变换三角函数组三角函数组具有具有正交性正交性1 cos0(0),1 s

25、in0,coscos0(),sinsin0(),cossin0.llllllllllkxdxklkxdxlkxnxdxknllkxnxdxknllkxnxdxll 上式称为周期函数上式称为周期函数 ( )f x的的傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式（简称傅（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏称傅氏系数）系数） 三角函数族是正交的即为：三角函数族是正交的即为：其中任意两个函数的其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，乘积在一个周期上的积分等于零，即即数学物理方法傅里叶变换cossinlk-lklk-l1kxa =f(x)

26、()dx ll1kxb =f(x)()dx ll其中其中 k2 (k = 0) =1 (k0)利用三角函数族的正交性，可以求得展开系数为利用三角函数族的正交性，可以求得展开系数为关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理： 数学物理方法傅里叶变换(1)(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2 2）在每个周期内只有有限个极值点，则）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数傅里叶级数收敛，收敛，且且 在在收敛点收敛点有：有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll在在间断

27、点间断点有：有： 011 (0)(0)(cossin)2kkkk xk xf xf xaabll狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）定理）定理 : 若函数若函数 ( )f x满足条件：满足条件： 数学物理方法傅里叶变换42（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开sink xl 是奇函数是奇函数coskxl 是偶函数是偶函数奇函数奇函数 :f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见则由傅里叶系数的计算公式可见，所有所有a0和和ak均等于零均等于零,则有则有1()sin,kkkxfxbl 1( )sin.lklkbfdll 偶函数偶函数: f(z)则由傅里叶

28、系数的计算公式可见，所有则由傅里叶系数的计算公式可见，所有b0和和bk均等于零均等于零, ,则有则有01()cos,kkkxfxaal 1( )cos.lklkkafdll 例例( )f xx11021(2,(21) )( )1(21) ,2)mmf xmm 周期周期2矩形波矩形波奇函数奇函数数学物理方法傅里叶变换4311( )sinsinkkkkkxf xbbkxl002( )sin22 cos ( 1)102 ,421lkkkbfdllkkkknknk 04()sin(21) .(21)nfxnxn x1102数学物理方法傅里叶变换44（三）（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开有限区间中的

29、函数的傅里叶展开f(x) 定义于定义于 (0, l) 可以认为它是某个周期为可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期在半周期 (0, l) 中中 g(x)=f(x) 这种做法叫这种做法叫延拓延拓。例例( ), ( )f xg xx( ), ( )f xg xx偶延拓偶延拓(),(0,1)fxx 奇延拓奇延拓数学物理方法傅里叶变换45 由高数知识知，一个以由高数知识知，一个以2l为周期的函数为周期的函数f(x)，若在区若在区间间-l,l函数满足狄利克莱条件，则在函数满足狄利克莱条件，则在（-l,l）上

30、上可展开为可展开为傅氏级数。傅氏级数。傅里叶级数的形式为：傅里叶级数的形式为：2xixinnee10)sincos(2)(nnnnnxbxaaxflnnieexixinn21102)(nxinnxinnnececaxfnxinneC数学物理方法傅里叶变换46即：即：nxinneCxf)(lnn其中deflCnilln)(21 nxiillnnedeflxf)(21)(因此因此f(x)也可表示为也可表示为 对于非周期函数对于非周期函数f(x)，若将其周期视为无穷大，同样若将其周期视为无穷大，同样可写出上式，只是此时可写出上式，只是此时0lnnxiilllnnedeflxf)(21lim)(数学物

31、理方法傅里叶变换47nxiilllnnedeflxf)(21lim)(nnxiinnnedefxf)(21lim)(0nl dedefxfxii)(21)(亦即亦即傅立叶积分公式傅立叶积分公式dxexfFxi)()(令令则则deFxfxi)(21)(像函数像函数)(F( )f x原函数原函数数学物理方法傅里叶变换48*1( )F ( )( )2ixFf xf x edx 1( )F ( )( )ixf xFFed （三）（三） 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(1) (1) 导数定理导数定理F( )( )fxi F (2) (2) 积分定理积分定理()1F( )()xf x dxFi

32、数学物理方法傅里叶变换49(3) (3) 相似性定理相似性定理1F()()f axFaa (4) (4) 延迟定理延迟定理00F ()( )ixf xxeF (5) (5) 位移定理位移定理00F( )()ixef xF (6) (6) 卷积定理卷积定理11F( )( )fxF 22F( )( )fxF 若若和和则卷积卷积1212()()( )()fxfxffxd )()(2121FFffF(7) (7) 像函数卷积定理像函数卷积定理)()(212121FFffF数学物理方法傅里叶变换典型例题解解 所给函数是奇函数所给函数是奇函数, ,其其Fourier变换为变换为.|, 0| ,sin2d1

33、sinsin, ,|, 0|,sin)(102 ttttFourierttttf并证明并证明变换变换的的计算函数计算函数例例数学物理方法傅里叶变换 tetftfFtid)()()( F 00dsinsin2dsin)(2tttitttfi.1sin22 i再由再由Fourier积分公式得积分公式得数学物理方法傅里叶变换 d)(21)(tieFtf tdsin)(0 Fi d1sinsin202 t.|, 0| ,sin2d1sinsin02 tttt即即数学物理方法傅里叶变换解解 所给函数是偶函数所给函数是偶函数, ,其其Fourier变换为变换为 tetftfFtid)()()( F tte

34、etitdcos| teeeetiitittd2| .cos2dcos42,cos)(2|042|tetFouriertetftt 并证明并证明变换变换的的计算函数计算函数例例数学物理方法傅里叶变换 0)1(0)1(0)1(0)1(dddd21teteteteiiiiiiii |0)1(0)1(0)1(0)1(111121 iieiieiieiietiitiitiitii数学物理方法傅里叶变换 iiiiii)1(11)1(11111121 .44242 d)(21)(tieFtf 再由再由Fourier积分公式得积分公式得数学物理方法傅里叶变换 tdcos)(10 F.tdcos4421042 .cos2dcos42|022tett 即即数学物理方法傅里叶变换解解 法一法一 ,1)( ietut F F由由利用位移性质利用位移性质,)(21)(21sin)(000tittitt