《连续体力学》习题及解答9

1、9 塑性物质（一） 概念、理论和公式提要 9-1 经典塑性理论 本章只介绍经典塑性理论和粘塑性本构方程，且都限于小变形情况。塑性变形是不可逆变形，塑性本构方程是非线性的，属于物理非线性。经典塑性理论虽有其广泛的应用领域，但在一些情况下，它就显得不足。例如，对于岩土类物质、粒状物质及高强度钢等力学性能的深入研究，经典塑性理论中的正交法则和塑性体积应变为零等经典假设就不适用；而要研究变形局部化问题，需要从大变形本构模型入手，在大变形条件下，往往伴随材料的损伤，因此在研究从变形到破坏的全过程中，必然要考虑大变形塑性-损伤本构方程等。 经典塑性理论有两个基本假设或基本前提：在应力(或应变)空间内，存在

2、屈服曲面。在小变形条件下，屈服曲面可表示为(内变量)的函数，即表示成的函数，即。在屈服曲面之内，状态变化，塑性变形不变化；屈服曲面之上，塑性变形处于可变化的状态，称为弹塑性状态。加载过程和卸载过程服从不同的本构关系，加载过程是指塑性变形继续发展的过程，而塑性变形不变化的过程称为卸载过程。这两个基本假设在轴向拉伸试验中是可以观测到的。图9-1示一拉伸曲线，包括从任一点卸载沿直线到达反向(压缩)屈服点处，此后又呈现曲线变化。从试验中可观测到下列结果。图9-1以上关系仅在变形不大时近似成立。在范围内，应力变化与应变化之间遵循分别称点为初始和相继弹性范围的边界，边界点对应于弹塑性状态。当应力从点向内变

3、化时(卸载过程)，有当应力从点时(加载过程)有由及上式，易得 (9-1-1) (9-1-2)一般地它们都不是常数。是强(硬)化物质，为理想塑性物质，称为弱(软)化物质(图9-2)。要求。(a)(b)图9-29-2 初始屈服函数 在一维应力状态下，初始弹性范围的边界可表示成(在应力空间，下同) (9-2-1)此处假定物质的拉、压屈服极限相等。相继弹性范围的边界则不唯一，而与变形历史有关。从图9-3易见，要确定或描述这些边界，例如点或，必须给定拉伸曲线和的函数，即相继弹性范围的边界一般化地应写成 (9-2-2)在上式中是内变量，是反应物质的强化特性的。弹性范围边界的数学表达式称为屈服函数。式(9-

4、2-1)和(9-2-2)分别是初始屈服函数和相继屈服函数；初始屈服函数常简称为屈服函数。对于理想塑性物质，此时初始和相继弹性范围的边界重合，即屈服函数为式(9-2-1)。 推广到一般应力状态，初始屈服函数可写作 (9-2-3)一般情况下，为物质的特性常数。相继屈服函数则一般地写成 (9-2-4)通常将温度作为影响物质特性常数的参变量，即。其中是表征塑性变形积累的标量，反映物质的各向同性强化，是二阶张量，反映物质的各向异性强化。 对于金属，一般可假定：是初始各向同性和指向同性的，后者指拉、压力学性质相同，塑性或屈服与平均应力无关；因此初始屈服函数只与应力偏张量的不变量相关，且是应力分量的偶函数，

5、即 (9-2-5)或 (9-2-6)分别是应力偏张量及其分量。注意，此处及以下。 常用的(初始)屈服条件(函数)有 Mises屈服条件，其函数形式为 (9-2-7)式中() (9-2-8) Tresca屈服条件，其数学表述为 (9-2-9)或 (9-2-10)式中9-3 应力空间 屈服曲面 应力空间内任一点的坐标等于应力分量，它描述或代表一个应力状态，称为应力点；应力点的位矢称为应力状态矢。同一单元体的应力状态变化，其应力点将在应力空间内移动，移动的轨迹称为应力路径。对于各向同性物质，屈服与主应力方向无关 ，只与主应力的值相关，因此可以采用主应力空间。在主应力空间内，应力状态矢为= (9-3-

6、1)为主应力空间的基(图9-4)。图9-4 图9-5过原点其法线与三个坐标轴等倾的平面称为平面，在平面上的应力点满足 (9-3-2)而过原点且与平面正交的线(ON)可表示为 (9-3-3)式(9-3-2)和(9-3-3)分别表示应力偏量和应力球量，后者相当于静水应力，所以ON称为静水应力线。任一应力状态矢可分解为应力偏量矢和应力球量矢，即有 (9-3-4)相互正交(图9-4)。 将三根应力轴投影到平面上，记为(图9-5，a)，对应于。显然，不能构成基，即不是线性独立的。 从图(9-4)可见，单位矢位在同一个正交于平面的平面上，其相互位置见图9-5(b)；其中 (9-3-5) (9-3-6)式中

7、，将这些值及式(9-3-5)代入式(9-3-6)，可以得到 (9-3-7)式中顺循环取值，即 (9-3-8)以及主应力 (9-3-9) 由于初始屈曲面只是应力偏量的函数，所以它是平面上的一条封闭曲线，称为屈服迹线。根据物质的初始各向同性和指向同性，可以推知屈服迹线必对称于应力轴在平面的投影及它们的垂直线，这6根线十等分平面(图9-5，a)。由于屈服与静水应力无关，所以在应力空间内屈服曲面是正交于平面的柱面，其与平面的截线就是屈服迹线。 Mises屈服条件实际上是 (9-3-10)它是平面上以坐标原点为中心，以为半径的圆；在应力空间内，这是一个以静水应力线为中心轴、半径为的圆柱面。相应地，Tre

8、sca屈服曲面是以静水应力线为中心轴正交于平面的正六边棱柱面。如果都用简单拉伸测，则Tresca六边形内接于Mises圆。9-4 相继屈服函数 相继屈服函数一般称为加载函数，是物质强化规律的数学表述。相继屈服函数的具体形式是(经典)塑性力学至今仍有待深入研究的问题之一。其一般形式可表示为 (9-4-1)此处表示内变量，对于塑性物质，内变量可包括；此处未考虑温度的影响，或者温度作为一个参变量只影响物质的特性常数。强化参数可采用如下的正值函数： 塑性功 (9-4-2)为单位体积的塑性功率，即塑性耗散功率，它是塑性物质的耗散函数。 (9-4-3)在空间内，式(9-4-1)表示一个固定的曲面。应力状态

9、使时，物质处于相继弹性状态，过程是弹性的，即 (9-4-4)是四阶张量，且有 (9-4-5)是四阶弹性张量。应力状态使得时，物质处于弹塑性状态。是不可能的。 相继屈服曲面也可看作应力空间内以为参变量的曲面族，记作 (9-4-6)不变，曲面不变。当应力点位在此曲面之内时，状态变化，不变，从而，物质呈现相继弹性。当应力点位在此曲面之上，且状态变化应力点不脱离此曲面时，不变，从而，称为中性变载；当应力点从此曲面向内移动时，称为卸载；当应力点从此曲面向外移动时，这表示应力点从曲面移到另一曲面，称为加载。加载、中性变载和卸载过程如图9-6所示，或用式子表示如下 (9-4-7) 当时，物质是初始弹性的，相

10、继屈服函数退化为初始屈服函数。 (9-4-8)图9-6因此，随着塑性变形的发展，初始屈服曲面在应力空间内如何变化是建立相继屈服函数的关键。 当前广为应用的相继屈服函数或强化理论有： 等向强化理论 加载函数中不包含，初始屈服曲面随增长而比例扩大，且只胀不缩，即 (9-4-9)的单调增函数。 随动强化理论 加载函数中不包含，在塑性变形发展过程中，初始屈服曲面的大小和形状不变，只在应力空间平移，即 (9-4-10)式中是初始屈服曲面的中心在应力空间的位移量。设 (9-4-11)就得到线性随动强化模型。 混合强化理论 认为随着塑性变形的发展，初始屈服曲面在应力空间内既按比例扩大，又发生平移，相继屈服函

11、数为 (9-4-12)9-5 塑性公设 塑性本构关系 (1) 物质的稳定性假设 在单轴拉伸情况下，如果曲线满足下列不等式 (9-5-1)则称物质是稳定的。推广到一般应力状态，稳定物质应满足的条件为 (9-5-2) (9-5-3)第一式要在应力(或应变)空间内应力(或应变)路径是直线段。 (2) Drucker公设 在应力空间内的任何应力循环中，物质单元的余功不为正 (9-5-4)则称物质满足Drucker公设。应力循环是指在应力空间内应力路径是闭曲线，但应变路径则不必是封闭的。与式(9-5-4)等价的不等式为 (9-5-5)即在应力循环中，如果物质单元的净功不为负，则物质满足Drucker公设

12、 (3) Ilusion公式 在应变空间内的任何应变循环中，物质单元的功不为负 (9-5-6)则称物质满足Ilusion公设。与上式等价的不等式为 (9-5-7) (4) 屈服曲面的外凸性 正交流动法则 由式(9-5-5)可以导出 (9-5-8) (9-5-9)由后一式又可导出 (9-5-10) 式(9-5-10)与稳定性的式(9-5-3)一致，而Durcker公设原来正是作为稳定非弹性物质的定义而提出来的。 在一维应力状态下，Drucker公设等价于 (9-5-11) 所有以上不等式都可将增量改为“率”，因为塑性物质的行为与时间无关，即有 (9-5-12) (9-5-13) 由式(9-5-1

13、2)可以推出两个重要的结论：屈服曲面处处外凸；设屈服曲面在某点处是光滑的，则对应于该应力点的塑性应变率与屈服曲面在该点处正交，且指向屈服曲面之外。于是可以写成 (9-5-14)上式称为塑性本构关系的正交流动法则，简称正交法则。由于屈服函数具有势函性质，所以式(9-5-14)又称为与屈服条件相关连的塑性位势理论。 记相继屈服函数为，一致性方程为 (9-5-15)式中。将式(9-5-14)代入上式，可以解出 (9-5-16)如果取，则 (9-5-17) 对于理想塑性物质，则有 (9-5-18)的值为 (9-5-19)或 (9-5-20)此处次齐次函数，。 从Ilusion公设出发，且设 (9-5-

14、21)分别是弹性和塑性应力率(参见9-7节)。按类似步骤可以导出应变空间内屈服函数但指向屈服曲面之内，即有 (9-5-22)此处要求屈服曲面的应变点使。9-6 粘塑性物质 物质不仅出现屈服和(塑性)流动，而且呈现粘性效应时，称为粘塑性物质。一般可认为，物质只在塑性变形中呈现粘性，称为弹粘塑性物质。 (1) Bingham体 这是一个比拟模型，如图9-7(a)所示(a) (b)图9-7模型中包含一个塑性元件，其应力应变关系如图9-7(b)，属刚性理想塑性。在此模型中本构方程为 (9-6-1)当，由上式可得 (9-6-2)上式表明 。 当为动态屈服极限；当为静态屈服极限。 称为过应力(overst

15、ress)，在线性场合，过应力正比于应变率。 当，称物质不呈现应变率敏感性；但动态屈服极限，粘性元件变为刚性元件。 上述结果如图9-8所示(a) (b)图9-8 关系式(9-6-1)可视作不可压缩粘性流体的极限情况，并由此可推广到一般应力状态，得到 (9-6-3)上式两侧自乘，可得当称为剪应力强度；所以当 (9-6-4)物质呈现刚性为有限的不定值。时，物质呈现粘性流动，同号。式(9-6-3)表明，当由两部分构成 (9-6-5) (9-6-6)物质的屈服条件为 (9-6-7)式(9-6-3)和(9-6-4)是Hohenemser和Prager建立的。 式(9-6-3)可写作 (9-6-8)我们又

16、回到不可压缩粘性流体的拟线性本构关系(式8-1-28)。 上式表明，同轴。如果用主应力表示，且为小变形情况，则式(9-6-8)的展开式为 (9-6-9)或者写成 (9-6-10)由式(9-6-3)可求出Bingham体的耗散函数 (9-6-11)其中第一项 (9-6-12)是不可压缩Newton流体的耗散函数；第二项 (9-6-13)是Mises屈服条件下理想塑性体的耗散函数。 (2) Perzyna粘塑性本构方程 下面介绍几种反映应变率效应的粘塑性本构方程 Hohenemser和Prager方程 (9-6-14)式中为粘性系数；这里是采用Mises屈服条件。 Freudenthal方程(在上

17、式中加入弹性应变率偏量) (9-6-15)式中分别是剪切弹性模量和体积弹性模量。 Perzyna方程 (9-6-16) (9-6-17)为静力屈服条件。这里是采用Mises屈服条件。时，其值相当于过应力。在对求导后，上式变为 (9-6-18)其中 (9-6-19)式中对应的物质特性常数。 由以上各式可以导出 (9-6-20)上式称为动力屈服条件，的反函数。于是式(9-6-19)可写作 (9-6-21)当，物质没有粘性效应，以上两式分别简化为 (9-6-22) Perzyna方程可推广到 (9-6-23)为常数。此时，有 (9-6-24)上列第二式为动力屈服条件。还可将Perzyna方程推广到强

18、化物质；例如对于各向同性强化，取 (9-6-25)相应的动力屈服条件为 (9-6-26)9-7 弹塑性本构方程的内变量表述 塑性和粘性物质的行为是过程相关的，因此要用基本变量(设为小变形)，和内变量的现时值才能唯一描述其力学状态。对于(热)弹塑性物质的本构方程，有应变空间表述(以为基本状态变量)和应力空间表述(以为基本状态变量)两种，即 (9-7-1) (9-7-2)后一种表述方法有其不方便处，因为在应力空间内，屈服曲面将可能随塑性变形的发展而(局部)扩大(物质处于强化阶段)、(局部)驻定(理想塑性)或(局部)缩小(弱化阶段)。在应变空间内屈服曲面恒随塑性变形发展而扩大，因此在问题的表述上有其

19、优越性。以下用表示内变量作为参变量不引入函数中。于是有 (9-7-3) (9-7-4)当固定时，应力和应变之间存在单值对应关系。现在来求应力率和应变率。 (9-7-5)式中 (9-7-6)分别称为弹性应力率和塑性应力率，及 (9-7-7)分别称为弹性应变率和塑性应变率；的对称性；同时假定具有如下的对称性 (9-7-8)互为逆张量，即有 (9-7-9) 一般地的函数，而且与内变量有关，即弹性和塑性是耦合的。在小变形情况下，可以假定弹性和塑性不耦合，及为常数张量，它们只依赖于物质的弹性性质。于是有下列关系 (9-7-10)其中 (9-7-11)只是内变量的函数；即应力和应变都可分解为弹性和塑性两部

20、分，弹性部分与内变量无关，塑性部分只是内变量的函数。在一维应力状态下，如图9-9所示，由图可见图9-9 (9-7-12) 将式(9-7-5)的第二式代入第一式，以及反过来，将第一式代入第二式，并应用式(9-7-9)，可分别得到 (9-7-13)上式与式(9-7-12)一致。 按内变量表述法(参阅第6章)，在不考虑热传导时，应变空间表述的弹塑性本构方程为 (9-7-14)熵不等式为 (9-7-15)此处已引入塑性变形过程中的内变量为 在式(9-7-14)中，称为外变量，是内变量。在塑性变形过程中，加载过程意味着塑性应变连续发展，。定义一个加载率，它是外变量的线性函数。 (9-7-16) 取演化方

21、程为 (9-7-17) 弹塑性物质的行为是时间无关的，因此在演化方程中，变量的变率应是齐次的。于是可进一步假设 (9-7-18)式中。 应变空间内的相继屈服函数为 (9-7-19)一致性方程为 (9-7-20)上式右侧的前二项是内变量不发生变化时屈服函数的变化，记作 (9-7-21)将上式与式(9-7-16)比较，可取 (9-7-22)将上式及式(9-7-18)代入一致性方程(式9-7-20)，可以求出 (9-7-23)最后得到热弹塑性本构方程的内变量及应变空间表述为 (9-7-24) (9-7-25) (9-7-26)式中 (9-7-27) 要进一步建立具体的本构方程，必需通过理论或实验确实

22、及的表达式。例如，由强化规律来确定：如果如果则。经常取。 在等温过程，可由塑性公设确定。根据Ilusion公设，可取 (9-7-28) 在小变形情况下，有于是可以写出等温过程 、功强化物质应变空间表述的本构方程为 (9-7-29)或者 (9-7-30)由上式可解出 (9-7-31) 如果采用应力空间描述，设屈服函数为 (9-7-32)一致性方程为 (9-7-33)令 (9-7-34)对于强化材料，有 (9-7-35)式(9-7-18)依然有效，将它们及式(97-34)代入(9-3-33)，解出 (9-7-36)式中的函数。最后可得到热弹塑性本构方程的应力空间表述为 (9-7-37) (9-7-

23、38) (9-7-39) 在等温过程，根据Drucker公设，应取 (9-7-40)的表述式与应变空间表述中相同。于是应力空间表述的弹塑性本构方程为(等温过程) (9-7-41)上式只适用于强化材料 可进一步导出 (9-7-42)设，则在一维应力状态下， (9-7-43)由此可见，在应变空间中(加载)，而在应力空间中，则 (9-7-44)(二) 习题和解答 9-1 在一维应力状态下，设有下列关系 (a)试用应变表示，设弹性塑性不耦合。 解 在弹性和塑性不耦合的情况下，弹性模量为常数。以遍乘式(a)的第一式，并注意到，可以得到式中 (b) 9-2 设塑性物质的屈服函数为式中是比塑性功率；证明塑性

24、本构方程为 (a) 解 首先要证明(请读者自行证明) 根据正交流动法则，有 (b)式中 (c)根据一致性方程，得 (d)由于是应力分量的二次齐次函数，故有将上列有关式代入一致性方程(d)，得到的上列表达式及式(c)代入式(b)，即得式(a)。证毕。 9-3 设弹-粘塑性本构方程为保持不变；求。 解 在阶段在期间，积分上式，得或者积分上式或者9-4 设有平面应力状态为常数。求等效塑性应变增量及塑性功增量。 解 题给平面应力状态为纯剪切，此时，Mises条件和Tresca条件一致，即有按正交流动法则，得到于是 9-5 对于各向同性强化材料，相继屈服函数为；如果采用Mises屈服条件，上式变为 (a

25、) 对于弹-粘塑性材料，按照Perzyna理论，动态屈服函数为 (b)试比较屈服函数(a)和(b)力学意义的异同。 解 式(a)和式(b)的相同点是两个屈服曲面都是对应于Mises屈服条件，在应力空间内都是几何相似地(中心不动)变化的；其不同点是：式(a)中的，所以各向同性强化曲面不仅是按比例扩大，而且只胀不缩；式(b)中的的变化而变化的，动屈服曲面可胀可缩，但不能小于初始屈服曲面。 9-6 说明Drucker公设和Ilusion塑性公设对单轴拉伸曲线的限制。 设是应变循环中应力的改变，即从状态，。证明Ilusion公设又可写作 解 (1) 由Drucker积分不等式已经导出；在单轴拉伸时，只

26、，上式简化为 (a)式中是拉伸曲线的切线模量。由上式可得上式表明Drucker公设要求拉伸曲线的切线模量不大于弹性模量，不小于零。 类似地由Ilusion塑性公设的积分不等式，可以导出单轴拉伸时，积分不等式简化为。由此可导出其中，于是上式可写成于是上列不等式又可写成上式要求。 (2) 不等式式中，于是由上式可得式中是应变循环中应力的改变值，即。于是原不等式可写成如果定义，则上式改为而Drucker公设的不等式为。 9-7 非线性随动强化理论可用以研究循环载荷作用下材料的力学性能，其中比较有代表性的是Armstrong-Prederick模型，即在中，。其中求塑性本构方程，假定材料是经受小变形。

27、 解 根据正交流动法则一致性方程为 (b)式中将上列有关系式代入一致性方程，可以求出记则得到， (c)将式(c)代入式(a)，得到塑性本构方程。 (d) 设塑性变形不引起体积变化，则。于是=或者积分上式，且设得到 由于塑性是时间无关的，所以塑性本构方程必须是时间的齐次函数，故而应令即是偏张量。常称为“背应力”。 9-8 在上题中，设，证明这个非线性随动强化模型与双屈服曲面模型一致。 解 由关系式=可得令上式两侧自乘，并注意到，有式中，于是由上式可得 (a) 由任一瞬时的加载函数，可得不等式由一般不等式可得或者 (b)这又可写成 (c) 表示循环加载过程中的一个极限曲面；而任一时刻的加载曲面为 (d)易证极限曲面之内。这表明，在循环加载过程中，应力状态必然位在极限曲面之内的某一屈服曲面之上，这个结论与Dafalias-Popov的双屈服曲面理论一致。 9-9 设屈服函数为是的函数。按正交流动法则，