建筑力学第2章

1、第第2章章 平面汇交力系平面汇交力系内容提要本章主要介绍了用解析法推出的平面汇交力系平衡条件，以及平衡条件的应用。2.1 平面汇交力系的概念和实例平面汇交力系的概念和实例2.1.1 概念概念实际工程中，作用在构件或结构上的力系是多种多样的。但是，按照力作用线的分布情况，主要分为两类力系：凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系平面力系；凡各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系空间力系。在平面力系中， 各力作用线交于一点的力系，称为平面汇交力系平面汇交力系；各力作用线互相平行的力系，称为平面平行力系平面平行力系；各力作用线任意分布的力系，称为平面一般力系平面一般力系。 tatbt、

2、t2.1.2 实际工程中的平面汇交力系问题实际工程中的平面汇交力系问题平面汇交力系是力系中最简单的一种，在工程中有很多实例。例如，起重机起吊重物时(图2-1a)，作用于吊钩c的三根绳索的拉力都在同一平面内，且汇交于点，就组成了平面汇交力系(图2-1b)。又如三角支架当不计杆的自重时(图2-2a)，作用于铰b上的三个力fn1、fn2、 也组成平面汇交力系(图2-2b)。 图2-1 图2-2又如图2-3所示的屋架，它通常被看作为由一些在其两端用光滑圆柱铰互相连接的直杆组成，而且由于各杆的自重比屋架所承受的各个荷载小很多而可忽略不计，因此每根直杆都在作用于其两端的两个力的作用下处于平衡。 图2-3当

3、以各个铰结点(或称节点)为研究对象时，与结点相连接的各杆作用于该节点上的力也组成一个平面汇交力系。例如，图2-3b)就是结点c的受力图，它构成了一个平面汇交力系。 图2-3研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另一方面也为研究更复杂的力系打下基础。2.2 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成问题可以采用几何法和解析法进行研究。其中，平面汇交力系的几何法具行直观、简捷的优点，但其精确度较差，在力学中用得较多的还是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影的计算为基础。or2.2.1用解析法求平面汇交力系的合力用解析法求平面汇交力系的合力我们在第一章已讨论了力在坐标

4、轴上的投影规则和方法。现在 我们来讨论汇交力系各力投影与汇交力系合力投影之间的关系。设有一平面汇交力系f1、f2、f3作用在物体的 点，如图。根据平行四边形法则可求得该力系的合力 。123ir f fff321xxxxfffr12xxxxnxirffff因此可得 这一关系可推广到任意汇交力的情形，即由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。（2-2）123yyyyrfff12yyyynyirffff2222()()tanxyxiyiyyxxrrrfffrrf从图2-5中的几何关系可知，合力r的大小

5、和方向可由下式确定： （2-3） 图2-5 式中 为合力r与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由 和 的正负号来确定。xfyf0xxrf1230cos25cosfffa3224020 40 0.90634f370.3fkn图2-7 解得 即解： 取直角坐标系如图所示。因已知合力r沿y轴向下，故rx=0，ry= -r。由式(2-2)知，得例2-1 如图2-7所示，已知f1=20kn，f2=40kn，如果三个力f1、f2、f3的合力r沿铅垂向下，试求力f3和r的大小。23220sin25sin340 0.42370.33459.1yyrfffkn 图2-7 又由 2259.1xyrrrkn【例】【例】

6、固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力 ，各力的方向如图所示，各力的大小分别为 ， ， 。试求螺钉作用在墙上的力。解：要求螺钉作用在墙上的力可先求作用在螺钉上所有力的合力。12ff、 、3f13fkn24fkn35fkn123045cos308.33xxixxxrffffkn根据力的平衡可知，墙给螺钉的作用力应与 大小相等方向相反。再根据牛顿第三定律可知，螺钉作用在墙上的力 ，方向与 相同。123305sin300.5yyiyyyrffffkn 22228.33( 0.5)8.345xyrrrkn 8.33cos0.9988.345xrr3.6r8.345rrkn r0)()(22yxffr2)

7、(xf2)(yf00yxff2.3 平面汇交力系平衡条件平面汇交力系平衡条件从上面章节可知，平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然物体在平面汇交力系的作用下保持平衡，则该力系的合力应等于零；反之，如果该力系的合力等于零，则物体在该力系的作用下，必然处于平衡。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是平面汇交力系的合力等平面汇交力系平衡的必要和充分条件是平面汇交力系的合力等于零于零。而根据式（2-3)的第一式可知上式与恒为正数，要使r=0，必须且只须所以平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数

8、和都等于零在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。式(2-4)称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。 （2-4）2.4 平面汇交力系平衡方程的应用平面汇交力系平衡方程的应用例例2-2 平面刚架在c点受水平力p作用，如图2-8a)图所示。已知p=30kn，刚架自重不计，求支座a、b的反力。图2-8解 取刚架为研究对象，它受到力p、 ra和rb的作用。这三力平衡其作用线必汇交于一点，故可画出刚架的受力图如图2-10b)所示，图中ra 、rb的指向是假设的。设直角坐标系如图，列平衡方程 0xf0cosarp530cos233.5()aprakn 0yf0sin

9、abrr15 5arkn 1sin15 5155barrakn 解得 得负号表示ra的实际方向与假设的方向相反。再由 由于列得的数值连同负号一起代入，即将代入，于是得得正号表示rb假设的方向正确。为了形象地表示支座反力的方向，可在反力答数后面加一括号标出反力的实际方向。 时，ra仍按原假设的方向求其投影，故应将上面求 0yf例例2-3 一结构受水平p作用如图2-11a)所示。不计各杆自重，求三根杆ab、bc、ca所受的力。 解 杆ab、bc、ca两端铰接，中间不受力，故三根杆都是二力杆。先取铰链c为研究对象，假定杆ca、bc都受拉，画出铰c的受力图如图 2-11b)所示。设直角坐标系如图，列平

10、衡方程 0xf045cos0cbnfp 0yf045sin0ncbncaffpfncb2pfnca2 (a) 由式(a)、(b)解得fncb的结果为负值，表示其指向与假设的相反，杆bc应是受压；fnca得正号，表示杆ca受拉。再取铰链b为研究对象，假定杆bc、ab受拉，画出铰b的受力图如图2-11c)所示。杆bc是二力杆，故它对两端铰链的作用力，应当是大小相等，方向相反，用fnbc表示，fnbc =fncb。 (b) 0xf045cos0nbcnbaff2,nbcfp ppffnbcnba22)2(45cos0设直角坐标系如图，列平衡方程 原假设杆bc受拉，得正号表示杆ab受拉。通过以上各例的

11、分析，可知用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤一般如下:1选取研究对象。2画受力图 约束反力指向未定者应先假设。3选坐标轴 最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。4列平衡方程求解未知量 列方程时注意各力的投影的正负号。当求出的未知力为负数时，就表示该力的实际指向与假设的指向相反。 (c)将其代入式(c)，于是得解：选球为研究对象。画出受力图。 为 主动力， 为约束力。三力汇交于 点。以球心 为坐标原点，建立图示坐标系。根据平衡条件建立平衡方程。 【例】重 的球放在与水平成 的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳 系住。试求绳 受到的拉力及球对斜面的压力。1gkn30ababgtn、oo0

12、 xfcos30cos600tn根据作用与反作用定律，绳子所受拉力为 ；球对斜面的压力为 ，其方向与图中相反。 也可以沿斜面向上、垂直斜面向上为 轴，则联立解之，得0yfsin30sin600tng0.866nkn0.50tkn0.50kn0.866kn, x y0 xfcos600tg10.502tgkn由此可见，选择恰当的坐标系，可使问题求解变得更简单。 【例】图所示为起重机起吊一无缝钢管而处于平衡时的情况。已知钢管重 ， ，不计吊绳和吊钩的重量。试求铅垂吊索和钢丝绳 、 中的拉力。解：由对称性可知， 0yfsin600ng30.8662ngkn4gkn60abac12tt0yf12cos

13、4ttgkn124ttkn节点：【例】简易绞车如图所示， 处为铰链连接，钢丝绳绕过滑轮 将 的重物缓缓吊起。杆件和滑轮重量以及一切摩擦均不计。滑轮 半径很小，可视为一个点。试求 和 所受的力。解： abc、 、a20qknaabac20tqkn0 xfcos30sin300abacfftsin30cos300acftq0yf以 为坐标原点，建立图示坐标系。【例】平面刚架如图所示， 和 为已知，不考虑自重，求支承 和 处的约束反力。 解：选刚架为研究对象。画出受力图。因 处为活动铰，故 的方向竖直向上。 处为固定铰，其约束反力 方向未知，但因刚架受三力作用平衡，根据三力平衡汇交定理，可知三力必汇

14、交于 点。故 沿 方向，55abfkn75acfknpaadddracaracarctan(2 )26.6aa注意：写平衡方程时，注意：写平衡方程时， 的指向是以图示指向为准，故将的指向是以图示指向为准，故将 代入代入式时仍保留负号。式时仍保留负号。根据平衡条件建立平衡方程。 （负号表示 的方向与图中所设的方向相反）0 xf cos26.60apr1.12arp ar0yf sin26.60darr0.448( 0.448) ( 1.12 )0.502darrpp arar小小 结结平面汇交力系是最简单的力系，也是基本力系之一，它解决问题的方法在其他力系中仍要采用，一定要掌握好。 1平面汇交力

15、系的合成 合成方法有两种，一是几何法，二是解析法。几何法直观、明了，但不太实用。实际工程中多采用解析法，因此应重点掌握。 2合力投影定理 合力在某轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。 3平面汇交力系的平衡条件 (1)平衡的几何条件是力多边形自行封闭。(2)平衡的解析条件是力系中各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零。平衡方程为：0;0 xyff 这两个方程式相互独立，可根据计算需要任意选择。选择依据是一个方程解出一个未知数，尽量避免联立方程求解。 4解题步骤 (1)首先进行受力分析，根据解决问题的需要确定研究对象，画出受力图；(2)画出坐标系，列出平衡方程式，在列平衡方程式时要注意

16、力投影的正负号。思考题思考题1. 分力与投影有什么不同?2. 如果平面汇交力系的各力在任意两个互不平行的坐标轴上投影的代数和等于零，该力系是否平衡?习习 题题2-1 如题2-1图，某桁架接头，由四根角钢焊接在连接扳上而成。已知作用在杆件a和c上的力为fa2kn，fc4kn，并知作用在杆b和d上的fb、fd力作用的方向，该力系汇交于o点。求在平衡状态下力fb、fd的值。(答：fb2.83kn,fd3.46kn)。 题2-1图 题2-2图2-2 如题2-2图所示，一个固定在墙壁上的圆环受三条绳的拉力作用。f1沿水平方向，f2与水平线成400角，f3沿铅垂方向。三力大小分别为：f1200kn，f22

17、50kn，f3150kn。求这三力的合力。(答：f500kn，(f，f1)38027，(f，f3)51033)题2-4图题图2-3 2-3 如题2-3图，一均质球重w100kn，放在两个相交的光滑面之间。斜面ab的倾角为450，斜面bc的倾角为2-4 如题2-4图，用两根绳子ac和bc悬挂一个重w1kn的物体。绳ac长0.8m，绳bc长1.6m，a、b两点在同一水平线上，相距2m。求这两根绳子所受的拉力。(答：fa0.974kn，fb0.684kn)2-5 梁ab的支座如题2-5图所示。在梁的中点作用一力f2kn，力和梁的轴线成450角。若梁的重量略去不计，试分别求a)和b)两种情形下的支座反力。(答：a)fa1.58 kn，fb0.71kn b) fa2.16kn，fb0.82kn)题2-5图-600，求两斜面的反力fd和fe的大小。2-6 如题2-6图，压路机滚子重w20kn，半径r40cm，今用水平力f拉滚子而欲越过高h8cm的石坎，问f力应至少多大?又若此拉力可取任意方向，问要使拉力为最小时，它与水平线的夹角应为多大?并求此拉力的最小值。(答：f15kn，arctan ，fmin12k