河海大学理学院高等数学113函数项级数

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第三节 幂级数 高等数学（下）高等数学（下）一、函数项级数的概念1.1.定义定义: :,120 xxxnn例如级数例如级数 高等数学（下）高等数学（下）2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, , 高等数学（下）高等数学（下）)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn ( x 在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意 函数项级数在某点函数项级数在某点 x 的收敛问题的收敛问题, ,实质上是数项级数的

2、收敛问题实质上是数项级数的收敛问题. .3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn),(xsn 高等数学（下）高等数学（下）例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛. ., 11 x 1 xi 高等数学（下）高等数学（下）, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散. .,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛; ;,2时时当当 x 11n

3、n级级数数发散发散; ;);,),( 02故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或 ,1 xi又又 ).0 , 1()1, 2 发发散散域域为为 高等数学（下）高等数学（下）二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :,000nnnxax 时时当当2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收敛收敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 1 1,( 发散域发散域 高等数学（下）高等数学（下）定理定理 1 1 (abel 定理定理) ( (1 1) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx

4、处处收收敛敛, ,则则 对对一一切切满满足足不不等等式式0 xx 的的点点 x，该该级级数数绝绝对对收收敛敛; ; ( (2 2) )如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则对对一一切切满满足足不不等等式式0 xx 的的点点 x，该该级级数数都都发发散散. . 证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa 高等数学（下）高等数学（下）), 2 , 1 , 0(0 nmxann使使得得,m nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxm0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxm ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛

5、即即级级数数 nnnxa 高等数学（下）高等数学（下）,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 反反设设有一点有一点1x满足满足01xx 使级数收敛使级数收敛, , 则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.证证毕毕. 由由(1)结论，结论，幂级数收敛域的可能情形：幂级数收敛域的可能情形：显然显然 0nnnxa在在 x 0 处收敛处收敛, ,若找不到其它非若找不到其它非零的收敛点，则此幂级数的收敛域为零的收敛点，则此幂级数的收敛域为0. . 高等数学（下）高等数学（下）1)(nnnx0!nnnx).(0, 01nuuxnn对于1收敛令nnnxaxd 高等数学（下）高等

6、数学（下）xo r rabel几何意义几何意义:绝对收敛区域绝对收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域 高等数学（下）高等数学（下）如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当rxrx 与与时时, ,幂幂级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. .推论推论定义定义: : 正数正数 r 称为幂级数的称为幂级数的

7、收敛半径收敛半径. . 高等数学（下）高等数学（下）收敛半径收敛半径r的特征：的特征： 高等数学（下）高等数学（下）例例 设幂级数设幂级数 当当 时发散时发散, ,当当 时收敛时收敛, ,则该级数的收敛半径是则该级数的收敛半径是_._. nnxxa)(00 xx 03 xx 02 x 高等数学（下）高等数学（下）定义定义: : 正数正数 r 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径. .),(00rxrx 称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间. .幂级数的收敛域有四种可能幂级数的收敛域有四种可能. .规定规定, 0 r, r问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? ? 高等数

8、学（下）高等数学（下）定定理理 2 2 设设幂幂级级数数 0nnnxa, 如果如果 nnnaa1lim (或或 nnnalim) (3) 当当 时时,0 r.(2) 当当0 时时, r;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0 x 高等数学（下）高等数学（下）,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法, ,1|时时当当 x.收收敛敛绝绝对对级级数数 0nnnxa,1|时时当当 x. 0nnnxa发发散散级级数数; 1 r收收敛敛半半径径, 1 x , 1 x 高等数学（

9、下）高等数学（下）, 0)2( 如如果果,0 x),( nxaxannnn1011有有.收收敛敛绝绝对对级级数数 0nnnxa; r收敛半径收敛半径,)3( 如果如果, 0 x. 0 r收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕. .nnnnnxaxa11lim x. 0nnnxa发发散散级级数数 高等数学（下）高等数学（下）.1lim1raannnnnnxn1) 1(2nnnnnunnaa) 1(21) 1(2113lim,31lim122nnnnuu.lim1不存在nnnaa 高等数学（下）高等数学（下）例例1 1 求下列幂级数的收敛区域求下列幂级数的收敛区域: :解解)1(nnnaa1lim 1l

10、im nnn1 1 r;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn ,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为该级数收敛该级数收敛,1时时当当 x,11 nn级级数数为为该级数发该级数发散散 1 r),(00rxrx 高等数学（下）高等数学（下）nnna limnn lim, 级级数数只只在在0 x处处收收敛敛, 0 r;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 11lim nn, 0 , r收收敛敛区区间间),( . 高等数学（下）高等数学（下）nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 r.

11、)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛区域为故收敛区域为 (0,1. 高等数学（下）高等数学（下）解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, , 1212 x当当,2时时即即 x 高等数学（下）高等数学（下）, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散, ,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级

12、数为级数为级数发散级数发散, ,级数发散级数发散, ,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 高等数学（下）高等数学（下） 0nnnxa 112nnnxa112nnnxa112nnnxa 高等数学（下）高等数学（下）三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) (1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minrrr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 高等数学（下）高等数学（下）(2) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (

13、(其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx 高等数学（下）高等数学（下）例例: :求求 的收敛域的收敛域 , ,nnnnx13) 1(23nnnnnnnxx113) 1(233与及和及和s.s.11132333) 1( 23nnnnnnnnxxxxxxx 3233收敛域收敛域(-3,3)(-3,3) 高等数学（下）高等数学（下）2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :(3) (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 n

14、nnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内( (相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多) ) 高等数学（下）高等数学（下） xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)1000010 nnnxxnnnxxnadxxxa)()( 高等数学（下）高等数学（下） 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)因此和函数因此和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(rr 内具有内具有 任意阶导数任意阶导数. . 高等数学（下）高等数学

15、（下）思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？ 高等数学（下）高等数学（下）解解不一定不一定. .例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 思考题思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？的收敛域是否也不变？ 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下）例例 4 4 求求

16、级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)()( 111nnnnxxs设设两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x 高等数学（下）高等数学（下）,1时时又又 x,1) 1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即, 0)0( s显然显然?)1(11的的和和求求 nnn2ln1) 1(, 111nnnx令, 01x令)11( x 高等数学（下）高等数学（下） 121nnxn)(1) 1(nntn1,)1()(1 ttntsnn设设 100)1()(nxnxdttndtts则则xx 122)1(11)(xxs 高等数学（下）高等数学（下）1)1(11)()1(22212 x