1微分的几何量化与代数推导

1、Sec. 3.7 Differentials 微分1：微分 (differential)的幾何量化與代數推導增量(incremen)t ： 函數 y f(x)，當x分量由 x1變動到 x2時， x x2 x1稱為 x的一增量 對應 x的此一增量 x， y 的增量為 y y2 y1 f(x2) f (x1) f(x1x) f (x1)y 的微分 ( differential)為 dy f (x) dx如圖示3例 12： Let y f (x) x . Find x and y ：a) Whenx changes from2 to2.01.b) Whenx changes from2 to1.98

2、 .解：a)x2.01 20.01( 新的減舊的 )yf(x1 x)f (x1) f (2.01)f(2)(2.01)3230.1206.1b)x1.98 20.02(新的減舊的 )yf(x1 x)f (x1) f (1.98)f(2)(1.98)3230.237608定義 ：函數y f (x) ，x 的微分 ( differential)為 dx x(dy 隨 x與 dx變動 )幾何說明 ：現賦予 dy 、 dx幾何上的意義，讓來不尼茲符號ddyx 有兩數相除的意思。如上圖所示 (注意微分與增量的關係 )a) x的增量為 x AB PR， y的增量為 y f (x x) f (x) CD R

3、Qb) 如圖過點 P 的切線斜率 m f (x) dy RS dx PR若令 dx x PR，則 dy 可取為如圖示的線段長 RS；c） f dy 即 RS RQd） 用切線逼近曲線b dy d x2 3x dx dx2x 32 x 2 3xdy2x2 3 dx 2 x 2 3x例(補充 )： Find dy if a yx3 3x 1b yx2 3x解：a dyd x3 3x1 3x2 32dy 3x2 3 dxdxdx例（補充 ）：d x3 3x 1Findd x2 3x解：d x3 3x 13x23 dx3x23d x2 3x2x3 dx2x32、近似 Approximations）：

4、（看圖也有相同結論 ）f (x)f (x limx)f (x)f(xx) f (x)x0xxf(xx) f (x)f (x)x (1)(即 f dy 或 RS RQ)f(xx) f (x)f (x)x (2)(即 BQ BR RS)例題 3：Let y f (x) x3 .a) Find the differential dy of y.b) Use dyto approximate y Whenx changes from2 to 2.01.c) Use dyto approximate y Whenx changes from2 to1.98 .d) Compare the results

5、 of part (b) with those of Exam2pl.e解：a) y f (x) x32dy f (x)dx 3x2 dxb)dx x 2.01 2 0.01 , x 2dy 3(22) (0.01) 0.12c) dx x 1.98 2 0.02 , x 2dy 3(22) ( 0.02)0.240.1206.1兩者很接近d) part b) 近似值 dy 0.12 與例 2 的真正值 y例 4： Use differential to approximate 26.5 .解：取函數 y f (x)x ， f (x)1。2 x 。當 x 分量由 x25 變動到 xx 26.5

6、 時， x 1.5 ；f(x x) f (x) f (x) x26.5 f (25 (1.5) f (25) f (25) (1.5)252 25 1.55 0.15 5.15 例 5： 某一型的卡車行駛 500英哩，若以時速每小時 v 英哩，其營運成本為 C(v) 125 v 4500 元。 v 求時速從每小時 55 英哩增加到每小時 58 英哩時營運成本的近似改變量是多少。解：4500C (v) 1 2 。v 當 v 分量由 v 55變動到 v v 58時， v 3 ；4500C C (v) v C (55) (3) 1 2 3 1.46 元 55200) 。例 6：Cannon 精密儀器

7、公司花費 x 千元的廣告時 ，其銷售量 S(x) 0.002x3 0.6x2 x 500 (0 x以微分估計廣告費從 $100,000 (x 100) 增加到 $105,000 (x 105 )時，銷售量的改變量是多少。以微分 (differential) 估計此環的面積。解：設半徑 x 的圓面積函數 yf (x)x2 ，f (x)2x ， x R r利用 f df環的面積 = ( 外半徑R 的圓面積 ) 減(內半徑r的圓面積 )f (R)f(r) f(rx) f(r)f (r) (R r) 2 r (R r) 例 8：一半徑為 0.5英吋的球形容器 (ball-bearing)，最大測量誤差為0.0002 英吋則半徑的相對誤差 (relative error) 是 dr 0.0002 0.0004r 0.5dr且其百分誤差 ( percentage error )是100% 0.04% 。r隨堂練習 (例 9)： 測量一立方體 (cube)的邊長，最大百分