河海大学理学院高等数学89a补充空间解析几何

1、 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院上册附录上册附录向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 高等数学（下）高等数学（下）补充：空间解析几何补充：空间解析几何(部分部分)第七节第七节 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线1 1 点法式方程点法式方程2 2 一般方程一般方程0 dczbyax1 czbyax3 3 截距式方程截距式方程0)()()(000 zzcyybxxa1、空间平面方程、空间平面方程 高等数学（下）高等数学（下）2、空间直线方程、空间直线方程1 1 一般方程一般方程 00:22221111dzcybxadzcybxal

2、pzznyymxx000 2 2 对称式方程对称式方程 高等数学（下）高等数学（下）3 3 直线的参数方程直线的参数方程 ptzzntyymtxx000t4 4 直线的两点式方程直线的两点式方程121121121zzzzyyyyxxxx 高等数学（下）高等数学（下）一、解析几何的基本问题:1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程. 利用代数的优点：精准，易推导。2.已知代数方程,想象出它的几何图形. 利用几何的优点：直观。 高等数学（下）高等数学（下）设设),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化简得所

3、求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解 高等数学（下）高等数学（下）zxyo例例2 2 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c 高等数学（下）高等数学（下）3、空间空间曲面曲面方程方程 1 1 一般形式一般形式 0),( zyxf； 22显函数形式显函

4、数形式 33参数方程形式参数方程形式 ),(yxfz ),(),(),(vuzvuyvux 高等数学（下）高等数学（下）4、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxgzyxf1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 高等数学（下）高等数学（下）二二. . 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程例3 螺旋线vtztaytaxsincos 高等数学（下）高等数学（下） 动点从动点从a点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到m点点 a mm m在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxm tax cos tay

5、sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo 高等数学（下）高等数学（下）螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 高等数学（下）高等数学（下）例4 将下列曲线化为参数式)2(111) 1 (1222222zyxzyxzzzyzzx12212解tztytxsin2121sin2121cos212解解02211:) 1 (1022

6、2:)2() 1 (22222zzxzzxzyzy得上式代入得 高等数学（下）高等数学（下）播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线c c移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .l这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定

7、曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线

8、这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这

9、条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.

10、.cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为

11、柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的

12、曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下）定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl 高等数学（下）高等数学（下） 特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。 设柱面的母线平行于 轴，准线 是 平面上的一曲线 ，求柱面方程。 zxo

13、y00),(:zyxf0),(yxf 高等数学（下）高等数学（下） 只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面； 类似地，只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面； 只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面。yx,zzz0),(yxf00),(:zyxfzy,xx00),(:xzyf0),(zyfzx,yy0),(zxf00),(:yzxf 高等数学（下）高等数学（下） 例5 指出下列柱面的准线及母线平行于什么坐标轴，并作草图及柱面的名称： (1) ； (2) ； (3) 。 xyx222122 zx1)(2222bzaay 高等数学（下）高等数学（下）

14、四四. . 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影曲线0,0,zyxgzyxf 0,: yxhz得得消消去去 00,zyxh同理:面面柱柱轴轴的的平平行行于于经经过过曲曲线线是是z. 2. 1面面上上的的投投影影是是在在 xoy.轴轴的的投投影影柱柱面面是是平平行行于于 z 高等数学（下）高等数学（下）曲线0,0,zyxgzyxf 0,: xziy得得消消去去 面面上上的的投投影影是是在在 zoxyxzi 00, 面面上上的的投投影影是是在在 yozxzyj 00, 0,: zyjx得得消消去去轴轴的的投投影影柱柱面面是是平平行行于于 y轴轴的的投投影影柱柱面面是是平平行行于于 x

15、高等数学（下）高等数学（下）如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 高等数学（下）高等数学（下）例 求球面 与圆柱面 的交线分别在xoy坐标面和zox坐 标面上的投影方程222yxazaxyx22(yoz坐标面呢?) 高等数学（下）高等数学（下）解答：.022面上的投影是在xoyzaxyx.0,0022面上的投影是在zoxzaxyazax?:.0222222面上的投影是什么曲线在问题面上的投影是在yozyozxazaayaza 高等数学（下）高等数学（下）图(a=2)：xyxzyx2, 422222 高等数学（下）高等数学（下）图2：x

16、yxzyx2,422222xyxzyx2, 422222在第一卦限的部分图形如下：在第一卦限的部分图形如下： 高等数学（下）高等数学（下）例 求球面 与旋转抛物面 的交线分别在xoy坐标面和yoz坐标 面上的投影曲线，并说明是什么曲线2222zyx22yxz(zox坐标面呢?) 高等数学（下）高等数学（下）解答：.0122面上的一个圆周是xoyzyx.101面上的一个直线段是zoxxyz.101面上的一个直线段是yozyxz 高等数学（下）高等数学（下）五、旋转曲面五、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲

17、面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放 高等数学（下）高等数学（下）五、旋转曲面五、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴五、旋转曲面五、旋转曲面 高等数学（下）高等数学（

18、下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一

19、条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的

20、轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线

21、绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋

22、转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 高等数学（下）高等数学（下）xozy0),( zyf), 0(111zym m),(zyxm设设1)1(zz （2）点）点m到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面. 高等数学（下）高等数学（下）将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的

23、的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf也就是也就是 不动不动z 高等数学（下）高等数学（下） (1) 曲线 ，绕 轴旋转一周所成的旋转曲面 的方程，只要在方程 中，作如下改动 ，可得旋转曲面 的方程 00),(:xzyfz0),(zyfzzyxy,220),(22zyxf 高等数学（下）高等数学（下） (2) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:xzyfy0),(zyf22,zxzyy0),(22zxyf 高等数学（下）高等数学（下） (3) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中

24、 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:yxzfz0),(xzf22,yxxzz0),(22yxzf 高等数学（下）高等数学（下） (4) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:yxzfx0),(xzf22,zyzxx0),(22xzyf 高等数学（下）高等数学（下） (5) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:zyxfx0),(yxf22,zyyxx0),(22zyxf 高等数学（下）高等数学（下） (6) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋

25、转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程00),(:zyxfy0),(yxf22,zxxyy0),(22yzxf 高等数学（下）高等数学（下）xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圆锥面方程是圆锥面方程是 cot22yxz oxzy cotyz 绕绕 z 轴旋转而成的旋转轴旋转而成的旋转曲面曲面 高等数学（下）高等数学（下）例例8 求顶点在原点，母线和求顶点在原点，母线和 z 轴正向夹角保持轴正向夹角保持6 的锥面方程的锥面方程.yozz6z解解 该锥面可看作在该锥面可看作在 平面上过原点且与平面上过原点且

26、与 轴正向夹角轴正向夹角为为 的直线绕的直线绕 轴旋转一周所得的旋转曲面轴旋转一周所得的旋转曲面. 该直线方该直线方程为程为 故得故得3)62tan(, 0, kxkyz 03xyz此直线绕此直线绕 轴旋转而成的锥面方程为轴旋转而成的锥面方程为两边平方得两边平方得 即为所求。即为所求。223yxz 22231zyxz 高等数学（下）高等数学（下） 例9 下列方程所对应的曲面是如何形成的，名称是什么，作出草图：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) .044222zyx2044222zyx1454222zyx13322zyx)( 2) 1(222zyx12434222

27、zyx 高等数学（下）高等数学（下）曲线曲面的4重点： 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第八节第八节 常用二次曲面图形常用二次曲面图形 高等数学（下）高等数学（下）二次曲面的定义定义: 形为的曲面称为二次曲面二次曲面.022222244342414231312233222211azayaxayzaxzaxyazayaxa 高等数学（下）高等数学（下）二次曲面的分类大致说来：4从xy=1是双曲线谈起，正交变换消去所有混合项；4配方法(或称平移)消去一次项；4再除去那些4剩下将要学的6种经典的二次曲面： 01222 zyx无无意意义义的的022 yx直直线线0222 zy

28、x点点0 xy两两平平面面 高等数学（下）高等数学（下）二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容第八节第八节 二次曲面二次曲面 高等数学（下）高等数学（下）ozyx（一）椭

29、球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax 高等数学（下）高等数学（下）椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1 高等数学（下）高等数学（下）椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋

30、转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz 高等数学（下）高等数学（下）,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为 高等数学（下）高等数学（下）. 3233 13299 932 222222的椭球面的椭球面它是半轴分别为它是半轴分别为方程变形为方程变形为解解表示什么曲面？表示什么曲面？方程方

31、程例例 , c, ba, zyx zyx 高等数学（下）高等数学（下）（二）双曲面（二）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(o 012222zbyax 高等数学（下）高等数学（下）与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 01

32、2222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz 高等数学（下）高等数学（下） 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b 高等数学（下）高等数学（下）,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点

33、截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线. 高等数学（下）高等数学（下）单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 高等数学（下）高等数学（下）双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo 高等数学（下）高等数学（下）xozyoxzy锥面锥面0222222 czbyax锥面可看成由单锥面可看成由单叶双曲面瘦身到叶双曲面瘦身到双叶双曲面的过双叶双曲面的过渡状态。渡状态。 高等数学（下）高等数

34、学（下）（三）抛物面（三）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(o设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点. 高等数学（下）高等数学（下）与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相

35、截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线 高等数学（下）高等数学（下）与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qp 高等数学（下）高等数学（下）zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp 高等数学（下）高等数学（下）特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx

36、2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 高等数学（下）高等数学（下）zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo 高等数学（下）高等数学（下）目录41、椭球面42、双曲面43、抛物面44、圆锥面45、常见柱面 高等数学（下）高等数学（下）

37、1、椭球面方程1222222czbyax方程：其中为正常数。cba, 高等数学（下）高等数学（下）椭球面的图形 高等数学（下）高等数学（下）2、单叶双曲面方程1222222czbyax方程：其中：cba,为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）单叶双曲面图形 高等数学（下）高等数学（下）3、双叶双曲面方程方程：1222222czbyax其中：cba ,为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）双叶双曲面的图形 高等数学（下）高等数学（下）4、椭圆抛物面方程方程：zqypx222其中：为正常数。qp, 高等数学（下）高等数学（下）椭圆抛物面的图形 高等数学（下）高等数学（下）5、双曲抛物面(马鞍面)方程方程：zqypx222其中：为正常数。qp, 高等数学（下）高等数学（下）双曲抛物面（马鞍面）图形 高等数学（下）高等数学（下）6、圆锥面方程方程：a22