层合板的刚与强PPT学习教案

1、会计学1层合板的刚与强层合板的刚与强2021-10-122)()()()(zQzQzzijij(3-1)第1页/共73页2021-10-123铺设顺序，而不能相反。第2页/共73页2021-10-124第3页/共73页2021-10-125第4页/共73页2021-10-126第5页/共73页2021-10-1272)层合板为薄板，即板的厚度远远小于长度和宽度；3)层合板各单层粘接牢固，具有相同的变形。层合板厚度方向上坐标为z的任一点的应变都等于中面的应变。000)(,)(,)(xyxyyyxxzzz (3-2)第6页/共73页2021-10-128定义任意一个单层k的应力为此单层的厚度为dz

2、则k单层x方向的面内力为将每一个单层的面内力叠加，得到厚度为h的层合板在x方向的面内力为：),()()()(kxykykxdzNkxkx)()(22)(hhkxxdzN第7页/共73页2021-10-12922)(22)(22)(hhkxyxyhhkyyhhkxxdzNdzNdzN(3-3)将式(2-9)代入式(3-3)，并考虑式(3-2)，可求出面内力和面内应变的关系。第8页/共73页2021-10-1210000666261262221161211xyyxxyyxAAAAAAAAANNN式中)6 , 2 , 1,(22)(jidzQAhhkijij (3-4)Aij称为层合板的面内称为层合

3、板的面内刚度刚度系数系数且有Aij=Aji将式(3-4)作逆变换，得到面内应变与面内力的关系：xyyxxyyxNNNaaaaaaaaa666261262221161211000(3-5)aij称为层合板的面内称为层合板的面内柔度柔度系数系数1666261262221161211666261262221161211AAAAAAAAAaaaaaaaaa式中(3-4a)第9页/共73页2021-10-1211hNNhNNhNNhaahAAxyxyyyxxijijijij (3-6)式(3-4)和(3-5)可分别变形为：000666261262221161211xyyxxyyxAAAAAAAAANNN

4、xyyxxyyxNNNaaaaaaaaa666261262221161211000(3-8)(3-7)第10页/共73页2021-10-1212上一页中：ijA为正则化面内刚度系数ija为正则化面内柔度系数xyyxNNN,为正则化面内力，实质上就是对称层合板的平均应力，简称层合板应力，量纲为应力量纲(Pa或N/m2)。当对称层合板为单向层合板时，正则化面当对称层合板为单向层合板时，正则化面内刚内刚(柔柔)度系数变为单层的模度系数变为单层的模(柔柔)量分量量分量。第11页/共73页2021-10-1213, 0, 0 xyyxNNNxxxyxxyxxxNaNaNa61)(021)(011)(0,

5、 定义：面内拉压弹性模量面内泊松耦合系数面内拉剪耦合系数1161)(0)(00,1121)(0)(0011)(001aaaaaNExxxxyxxyxxxyxxxxx(3-9)第12页/共73页2021-10-1214同理，仅受y方向单向拉伸(压缩)时，面内拉压弹性模量面内泊松耦合系数面内拉剪耦合系数22620,221202201aaaaaEyxyyy, 0, 0 xyxyNNN同理，仅受xy方向剪切应力时，面内剪切弹性模量面内剪拉耦合系数面内剪拉耦合系数66260,66160,6601aaaaaGxyyxyxxy, 0, 0yxxyNNN(3-10)(3-11)第13页/共73页2021-10

6、-1215，02616AA111202221066002200110AAAAAGmAEmAEyxxyyx(3-9a)式中122112120)(1 (AAAm(3-10a)此时(3-11a)第14页/共73页2021-10-1216xyyxxyyyxyxxxyxyxyyyxxxyxyxyyxxyyxNNNGEEGEEGEE000,00,00,00000,000000111(3-12)在已知层合板载荷条件时，由上式求面内应变较为方便。在进行层合板设计时，使用工程弹性常数也较为方便。第15页/共73页2021-10-1217)(3)(243432)(52)(421)(121)(12616661222

7、111202000QQAAAAAQAQAAQAAQUUVVVVVUVUVVUVVUAAAAAA(3-13)式中22)(422)(322)(222)(14sin12sin14cos12cos1hhkAhhkAhhkAhhkAdzhVdzhVdzhVdzhV(3-14)第16页/共73页2021-10-1218式中 为某一定向层的体积含量，ni为某一定向层的层数，l为定向数。21)(421)(321)(221)(14sin22sin24cos22cos2nkkAnkkAnkkAnkkAnVnVnVnV(3-15)式(3-14)和(3-15)是算术平均值的含义，因此还可变形为：liiiAliiiAl

8、iiiAliiiAVVVVVVVV1)(41)(31)(21)(14sin2sin4cos2cos(3-16)nnVii第17页/共73页2021-10-121901432)90()0(1AAAAVVVVVV 按式(3-13)，并利用式(2-17)，得到：0)()(261666661212)90(22112211)90(22)0(22)90(22111122)90(11)0(11AAQAQAVQQQQVQVAVQQQQVQVA(3-17)(3-18)第18页/共73页2021-10-122011A随V(90)的增加从Q11线性减小到Q2222A随V(90)的增加从Q22线性增加到Q11和12A

9、66A不变，分别为单层材料的模量Q12和Q66，02616AA即无拉剪和剪拉耦合效应由正则化面内刚度系数矩阵求逆，可得正则化面内柔度系数矩阵为：*662*12*22*11*112*12*22*11*122*12*22*11*122*12*22*11*226662612622211612111000)()(0)()(AAAAAAAAAAAAAAAAAaaaaaaaaa(3-19)第19页/共73页2021-10-12212) 斜交铺设对称层合板斜交铺设对称层合板凡各个单层只按凡各个单层只按两种两种方向铺设的对称层合方向铺设的对称层合板称为板称为斜交铺设对称层合板。p两种方向的层数相同，则称为两种

10、方向的层数相同，则称为均衡斜交铺设对称层合均衡斜交铺设对称层合板板p两种方向层数不同，则称为两种方向层数不同，则称为非均衡非均衡斜交铺设对称层合板本书研究的是均衡斜交铺设对称层合板。本书研究的是均衡斜交铺设对称层合板。式(3-16)可变为：0 4cos 2cos*4*3*2*1AAAAVVVV(3-20)第20页/共73页2021-10-1222将式将式(3-20)代入式代入式(3-13)，并与式，并与式(2-17)比较，得：比较，得：0*26*16)(66*66)(12*12)(22*22)(11*11AAQAQAQAQA(3-21)式中上标式中上标表示铺层角为表示铺层角为时单层的偏轴模量分

11、量。单层的偏轴模量分量。第21页/共73页2021-10-12233) 准各向同性层合板准各向同性层合板面内各个方向的刚度相同，且无拉剪或剪拉面内各个方向的刚度相同，且无拉剪或剪拉耦合效应的对称层合板称为准各向同性层合板。耦合效应的对称层合板称为准各向同性层合板。这种层合板与各向同性层合板的区别是：1.它可以是由正交各向异性的单层组成的；它可以是由正交各向异性的单层组成的；2.它的厚度方向上的刚度不一定与面内刚度相同；3.它的弯曲刚度性能也不是各向同性的。它的弯曲刚度性能也不是各向同性的。第22页/共73页2021-10-12244) 一般一般/4层合板层合板各个单层均按0 o、90 o 、4

12、5 o和-45 o方向的一种或几种铺设的对称层合板称为一般/4层合板。一般/4层合板是目前工程上主要应用的一类层合板。第23页/共73页2021-10-12250(GPa)7 . 3(GPa)658. 2(GPa)48.67212126166666121222112211AAQAQAQQAA*ijAMPa100*xN第24页/共73页2021-10-12262) 计算计算*ija(GPa)16822658. 27 . 37 . 348.6748.67)(22*12*66*66*22*11*AAAAAA16612*1216611*22116622*11(TPa)5846.016822/7.365

13、8.2(TPa)84.14(TPa)84.14(GPa)01484.016822/7.348.67AAAaAAAaAAAa第25页/共73页2021-10-12270(TPa)3 .27016822)658. 248.67()(*26*161222122211*66aaAAAAa3) 计算面内应变计算面内应变根据式根据式(3-8)得：得：010846. 5100105846. 010484. 11001084.1405621036110 xyxyxxNaNa第26页/共73页2021-10-12284) 计算各层应变计算各层应变 0o层010846. 510484. 1)0()0(125)0(

14、)0(23)0()0(1xyyx 90o层010484. 110846. 5)0()0(123)0()90(25)0()90(1xyxy第27页/共73页2021-10-12295) 计算各层应力计算各层应力 0o层0 (MPa)474. 310846. 5056. 810484. 1658. 2(MPa)2 .18810846. 5658. 210484. 19 .126)90(1253)0(222)0(112)0(253)0(212)0(111)0(1QQQQ 90o层0 (MPa)80.1110846. 5658. 210484. 1056. 8(MPa)474. 310846. 59

15、.12610484. 1658. 2)90(1253)90(222)90(112)90(253)90(212)90(111)90(1QQQQ第28页/共73页2021-10-12306) 各层强度校核各层强度校核查表得：查表得：MPa157MPa35MPa1232MPa1415ctctYYXX许用应力为：许用应力为： MPa5 .782157MPa5 .17235MPa61621232MPa5 .707214152211nYnYnXnXccttcctt因为为 tctt2)90(21)90(12)0(21)0(1所以，层合板所以，层合板06/906s的各层均安全！的各层均安全！第29页/共73页

16、2021-10-1231*2*42*1*31)(32*42*2)(2)(22*32*1)(142)()()()(AAAAAAQAAAQAAAVVtgVVtgUVVRUVVR AAQAAAQAAAQAAAQARUVRUVRUVRUV1)(2)(3*41)(2)(3*21)(1)(2*31)(1)(2*14sin4cos2sin2cos*则有：(3-22)(3-23)第30页/共73页2021-10-12321)()(1)()(2*42*22*32*1AAAAVVVV(3-24)且有：且有：第31页/共73页2021-10-123305 . 0120cos4cos5 . 060cos2cos*4*

17、3*2*1AAAAVVVV又根据式又根据式(3-22)可知可知0402*2*42*1*31AAAAAAVVtgVVtg )( )( 180180,040180,0221取取AA45021AA 第32页/共73页2021-10-1234第33页/共73页2021-10-1235zwzzuxwxzzvywyzw是对应于是对应于z轴方向的位移轴方向的位移u是对应于是对应于x轴方向的位移轴方向的位移v是对应于是对应于y轴方向的位移轴方向的位移根据假设根据假设2，根据以上假设，定义：根据以上假设，定义：0zwz 所以位移所以位移w与坐标与坐标z无关，仅为无关，仅为x和和y的函数，即的函数，即w=w(x,

18、 y) 同样根据假设同样根据假设2，中面法线变形后仍为中面法线，故得，中面法线变形后仍为中面法线，故得 xz=yz=0第34页/共73页2021-10-1236即即xwzuywzv对对z求积分，得求积分，得),(1yxcxwzu),(2yxcywzv依据假设依据假设1，在，在z0处，处，u=v=0,所以所以c1(x,y)=c2(x,y)=0由此，可以用位移由此，可以用位移w来表达其他应变分量。来表达其他应变分量。22xwzxux22ywzxvyyxwzyuxvxy22第35页/共73页2021-10-1237根据微分几何可知：根据微分几何可知：22xw22ywyxw22分别为层合板的曲率和扭率

19、分别为层合板的曲率和扭率Kx、Ky、Kxy。所以上式可写为所以上式可写为x=zKx y=zKy xy=zKxy 为了确定层合板的弯曲刚度，需定义引起弯曲变形的力矩，它为了确定层合板的弯曲刚度，需定义引起弯曲变形的力矩，它们是层合板各铺层应力的合力矩。们是层合板各铺层应力的合力矩。zdzzdzzdzhhkxyxyhhkyyhhkxxMMM2/2/)(2/2/)(2/2/)(第36页/共73页2021-10-1238依据假设依据假设3，将各铺层应力，将各铺层应力应变关系式代入，得应变关系式代入，得zdzhhxykykxkxQQQM2/2/)(66)(12)(11)(即即dzzhhxykykxkxk

20、QkQkQM22/2/)(66)(12)(11)(由于由于kx 、ky 、kxy与坐标与坐标z无关，所以上式可写成下式：无关，所以上式可写成下式：kkkDDDDDDDDDMMMxyyxxyyx666261262221161211式中式中称为称为层合板的弯曲刚度系数层合板的弯曲刚度系数，而且而且Dij=Dji(3-25)就是对称层合板的弯曲力矩就是对称层合板的弯曲力矩曲率关系式。曲率关系式。dzzQDhhkijij22/2/)(3-25)(3-26)第37页/共73页2021-10-1239 为了使同一块层合板的弯曲刚度系数与面内刚度系数易为了使同一块层合板的弯曲刚度系数与面内刚度系数易于比较，

21、以及与单向层合板相关联，因此进行正则化处理，于比较，以及与单向层合板相关联，因此进行正则化处理， M*=6M/h2 K*=Kh/2 Dij*=12Dij/h3 正则化弯曲力矩正则化弯曲力矩M*在数字上相当于假设弯曲变形引起的在数字上相当于假设弯曲变形引起的应力为线性分布时的底面应力。应力为线性分布时的底面应力。 正则化曲率正则化曲率k*是弯曲变形引起的底面应变。是弯曲变形引起的底面应变。 【注意注意】对称层合板的应变是线性分布的，而应力一般不是对称层合板的应变是线性分布的，而应力一般不是线性分布的，所以线性分布的，所以kx*是底面的真实应变，而是底面的真实应变，而Mx*一般不是底一般不是底面的

22、真实应力。面的真实应力。 如果对称层合板为单向层合板，则弯曲时应力沿厚度如果对称层合板为单向层合板，则弯曲时应力沿厚度是线性分布。是线性分布。Mx*、My*、Mxy*也就变成底面的真实应力。也就变成底面的真实应力。第38页/共73页2021-10-1240*66*62*61*26*22*21*16*12*11*xyyxxyyxkkkDDDDDDDDDMMM作逆变换得：作逆变换得：*66*62*61*26*22*21*16*12*11*xyyxxyyxMMMdddddddddkkk(3-27)(3-28)Dij*和和dij*分别称为层合板的正则化弯曲刚度系数和正则分别称为层合板的正则化弯曲刚度系

23、数和正则化弯曲柔度系数。化弯曲柔度系数。第39页/共73页2021-10-12410, 0*xyyxMMM *61*21*11*xxyxyxxMdkMdkMdk 定义x轴向：弯曲弹性模量弯曲泊松耦合系数弯扭耦合系数1161*,1121*11*1ddkkddkkdkMExxyfxxyxyfxxxfx(3-29)第40页/共73页2021-10-1242同理，y方向上有：, 0, 0 xyxyMMM同理，xy方向上有：, 0, 0yxxyMMM弯曲弹性模量弯曲泊松耦合系数弯扭耦合系数2262,2212221dddddEfyxyfyfy(3-30)扭转弹性模量扭弯耦合系数扭弯耦合系数6616,661

24、6,661dddddGfxyyfxyxfxy(3-31)第41页/共73页2021-10-1243，02616DD则(3-27)(3-30)可表示为如下形式：11122221662211DDDDDGmDEmDEfyfxfxyffyffx(3-32)式中12211212)(1 (DDDmf(3-33)此时0,fxyyfxyxfyxyfxxy(3-34)第42页/共73页2021-10-1244)(3)(243432)(52)(421)(121)(12616661222111202000QQDDDDAQAQDDQDDQUUVVVVVUVUVVUVVUDDDDDD(3-35)式中22)(3422)(

25、3322)(3222)(314sin122sin124cos122cos12hhkDhhkDhhkDhhkDdzhVdzhVdzhVdzhV(3-36)第43页/共73页2021-10-12452133)(312133)(312133)(322133)(31) 1(4sin8) 1(2sin8) 1(4cos8) 1(2cos8nkkDnkkDnkkDnkkDkknVkknVkknVkknV(3-37)式式中n是层合板中单层的总数。k是从中面至底面的顺序。第44页/共73页2021-10-1246ijhhijkijhhijQhdzzQdzzQD12322/2/2)(2/2/*3*12ijiji

26、jijijijijaSdAQDhD 如果将参考坐标系置于单向层合板的正轴方向，则由于单层的正轴模量分量02616 QQ0, 026162616*ddDD 第45页/共73页2021-10-1247*66*22*21*12*11*0000 xyyxxyyxkkkDDDDDMMM*66*22*21*12*11*0000 xyyxxyyxMMMdddddkkk(3-38)(3-39)第46页/共73页2021-10-12480123*4*3*2*1DDDDVVVmV 第47页/共73页2021-10-1249)(3)(2)(5)(4)(1)(12616661222111000000101012312

27、3QQQQQQUUUUmUmUDDDDDD(3-40)对于层数比为1:1的正交铺设对称层合板，0*1DVm 时，此时：*ijijAD 第48页/共73页2021-10-12504sin232sin234cos2cos*1*3*2*1mVmVVVDDDD第49页/共73页2021-10-1251)(3)(2)(5)(4)(1)(126166612221114sin232sin4304sin232sin4304cos04cos04cos2cos4cos2cosQQQQQQUUmmmmUUUUDDDDDD(3-41)对于层数比为1:1的正交铺设对称层合板，0*4*3DDVVm 时，此时：*ijijA

28、D 第50页/共73页2021-10-1252mVmVmVmVDDDD88 .1388 .1311*1*32*22*1第51页/共73页2021-10-1253)(3)(22)(52)(422)(122)(1261666122211188 .13168 .13088 .13168 QQQQQUUmmmmmUmUmmUmmUDDDDDD(3-42)第52页/共73页2021-10-1254)(2)(122212)(52)(421)(121)(1261666122211*14sin22sin04sin22sin04cos04cos04cos2cos4cos2cosDDDD

29、DDDQDQDDQDDQRRUUUUDDDDDD1)()(1)()(2*42*22*32*1DDDDVVVV且有：且有：1D与与2D称为正则化弯曲刚度系数转换的相位称为正则化弯曲刚度系数转换的相位角角(3-45)(3-46)第53页/共73页2021-10-1255第54页/共73页2021-10-1256*2*42*1*31)(32*42*2)(2)(22*32*1)(142)()()()(DDDDDDQDDDQDDDVVtgVVtgUVVRUVVR ,(3-43)(3-44)第55页/共73页第56页/共73页2021-10-1258利用前两节中介绍应变关系，可得到一般层合利用前两节中介绍

30、应变关系，可得到一般层合板的应变关系为：板的应变关系为：xyxyxyyyyxxxzkzkzk000(3-47)第57页/共73页2021-10-1259 xyyxxyyxxyYXxyyxkkkDDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAAMMMNNN000666261666261262221262221161211161211666261666261262221262221161211161211将式将式(3-47)代入面内力和弯曲力矩的定义式，得到代入面内力和弯曲力矩的定义式，得到一般一般层合板的内力层合板的内力-应变关系应变关系为：为：(3-48)式中)6 , 2

31、 , 1,(22)(jizdzQBhhkijij 称为层合板的耦合刚度系层合板的耦合刚度系数数(3-49)第58页/共73页2021-10-1260ijijBhB2*2(3-50)则式式(3-48)可变为可变为如下正则化形式：xyyxkkkDDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAAMMMNNNxyyxxyyxxyyx000*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11*333333333(3-51

32、)或简写为：*0*3kDBBAMN(3-52)第59页/共73页2021-10-1261*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11000313131313131313131xyyxxyyxxyyxxyyxMMMNNNkkk(3-53)第60页/共73页2021-10-1262或简写为：*031MNkT(3-54)式中：式中：(3-55)是正则化面内柔度系数是正则化面内柔度系数是正则化耦合柔度系数是正则化弯曲柔度系数则化弯曲

33、柔度系数ijijij12232ijijijijijijhhh(3-56)且有：且有：第61页/共73页2021-10-1263除了除了ij*以外，其它的刚度和柔度系数均具有对称性以外，其它的刚度和柔度系数均具有对称性Aij*=Aji* Bij*=Bji* Dij*=Dji* ij*=ji* ij*=ji*若为对称层合板，由于若为对称层合板，由于B*=0，所以特别注意：特别注意：11*)()(0DdAa (3-58)(3-57)即对称层合板不存在拉弯耦合。对称层合板同时受有对称层合板不存在拉弯耦合。对称层合板同时受有面内力和弯曲力时，只需分别求其应变，然后叠加即面内力和弯曲力时，只需分别求其应变，然后叠加即可。可。第62页/共73页2021-10-1264拉弯耦合系拉弯耦合系数数22220,22210,11120,11110,yyyxxyxx 拉扭耦合系拉扭耦合系数数剪弯耦合系剪弯耦合系数数剪扭耦合系剪扭耦合系数数22260,11160,yxyxxy 66620,66610,xyyxyx 66660,xyxy(3-59)(3-60)(3-61)(3-62)第63页/共73页2021-10-1265弯剪耦合系数弯拉耦合系数2