2006年1月线性代数与几何试题

1、2006年 1月线性代数与几何试题(2,t, 1)T , 3 (0,0,1)T线性相关 ,则常数 t=填空题(每小题 3分,共 12分)(1). 若向量组 1 ( 2,3,1) , 2(2). 若矩阵 A 的伴随矩阵 A* 3 1 0 0 ,则 det( A)45100068112(3).已知 (a1T ,a2,a3 )为 3 维向量 ,T 112,则 T =.224(4).已知1 ,2 是 齐次线性方程组Ax0的基础 解 系 , 则 向 量 组1 1 t12 ,2 2 t21 也可作为 Ax 0的基础解系的充要条件是常数t1,t2满足条件 .单项选择题 (每小题 3 分 ,共 12 分 )1

2、 2 2(1). 设矩阵 A 2 1 2 ,则2 2 111(A) A 为正交矩阵(B)A 为正交矩阵 .(C)A 为正交矩阵 . (D) A-1 AT . 【33(2). 已知矩阵 Aa 相似于对角矩阵6,则 a等于2(A) 0.(B) 2. b(C) - 2.(D) 6.(3). 设矩阵 A的伴随矩阵 A*的秩为 1,则(A) a b 0. (B)22(4). R2 2 的子空间ab 且 aab2b 0. (C)a 2b 0.(D) ab且 a 2b 0.a,b的维数是(A) 1. (B) 2. 三、 (12分) 设 3 阶方阵(C) 3. A、 B 满足 A(D) 4.AB ,2(1)

3、证明矩阵 A I 可逆 ;(2) 当 B时 ,求 A .四、 (13分) a 、 b取何值时 ,线性方程组x3五、 (12分) 求两相交直线 L1 :1 y 2六、 (12 分 ) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为00,52七、 (13 分) 设矩阵 B 20(1) 写出二次型 f (x1,x2,x3 )zx与 L2 :xy2z1,2, 3,求方阵 Bx (x1,x2,x3)T,xTBx 的矩阵 A ;3z6A*7所确定的平面的一般式方程2A 3I 的特征值及 det(B ) .1321x100132x2114a1x311710 a 6x4b有唯一解、无解、有无穷多解 ?并在有无穷多解时,求出方

4、程组的结构式通解(2) 求一个正交矩阵 P ,使 P 1AP 成对角矩阵 ;(3) 写出在正交变换 x Py 下 f 化成的标准形 .八、 (8分) (注意:学习过第 8章“线性变换”者做第 (2)题,其余同学做第 (1)题)(1) 设 R4 的 子 空 间 V 由 向 量 组 1 (1,1,1,3)T , 2 ( 1, 3,5,1)T ,3 (3,2, 1,4) T ,4 ( 2, 6,10,2)T 生成,求V 的基与维数 .(2) 设 1 ,2 , 3 为3 维线性空间V的基, V 上的线性算子T在该基下的矩阵为113A 1 2 2 ,求T的值域 R(T)的基与维数、 T的核 ker(T

5、)的基. 235九、 (6 分) 设 A 、B 均为 n 阶正定矩阵 .证明 : 关于的方程 det( A B) 0的根全大于零线性代数与解析几何 (A 卷 )参考答案与评分标准(2006.1.8)(1) -3 ; (2) 32 ; (3) 6; (4) 1 t1t2 0.(1)(2)(3)(4)BADB(1) I I AB AB (A I)(B I),故 A I 可逆. (4分)(2) 解法 1: 由(1)有 AI(B I)111 , A I (B I)1 (7分)520420而 (B I) 1 310(11分), 得 A 3 0 013000022解法 2: A(B I)B,AB(B1I)

6、 1 . (7 分 ), 以下同解法 11321001321四. A (A,6)(4 分 )00a100000a1b4(1)当 a 1 时 , r(A) r(A) 4 有 唯 一 解 ;(6 分 )(2) 当a 1 且 b 4时,r(A)r(A)无解; (8 分)(3) 当 a 1且 b 4时, r(A) r(A) 2 4有无穷多解 ,此时,由101173311701321132A,得所求通解 xc1c2.(13 分 )00000012000000001五.L1的方向向量为a1 (1,0,1) , L1上有点 p1(3, 2, 0)(2 分 ) L2的方向向量为 a2(2,1,1) ,L2 上

7、 有 点 p2 (6, 1,0) (5 分 ) 由 a1 a2 p1p2 0 ,知L1 与L2 共 面(8 分 )a2 a1 (1, 3,1)(10 分 )所求平面方程为x33( y 2)z 0,或 x 3yz 3 0.(12 分 )六.| A| 6, B 1(612 3) 15 1, (3 分)B2(614 3) 24 2 ,6B 3 ( 63 63) 311 3,得 B 的特征值为-5,-4,11, 对应特征向量分别为 c11,c2 2,c33 (ci0) (8 分 )由特征值的性质知 B 111的特征值为 1, 1,1 ，对应特征向量分别为 k1 1,k22,k3 3 (ki0)(11

8、分 )5411(1 1 151) ( 14) (111)1220(12 分 )1det(B 1)2301T(3分)七. (1) A (B BT ) 3 2 02005(2)A的特征值为1 2 5, 31,(6 分 )对应于1 2 5, 的标准正交特征向量可取为1T e1(1, 1, 0)T ,e2(0,0,1)T(9 分 )对应于 31的单位特征向量可取为e312(1,1,0)T ,令 p e1 e2 e3 ,则51p 为正交矩阵 ,使 pA 1 p5 . (12 分 )八.(3)(1)2 2 35y1 5y2 y3. (3 分) 知道 V 的基与维数分别等于向量组1234 的极大无关组与秩

9、. (3 分 )由A02 3 4行0,知 V 基可取(4 分) dim(V ) 3 (6分)因 r(A) 3,知 Ax0基础解系含1 个向量 ,再由2 2知 Ax 0的基础解系可取(0, 2, 0, 1)T(8 分 ).(2) 知道 R(T)与 A的列空间同构 ,(2分)31 知 R(T) 的基可取为01 2 2 3 , 1 2 2 3 3知道 ker(T ) 与 Ax 0 的解空间同构dim( R(T )1A行 0,由2.九.( 4, 1, 1)T , ker(T ) 的基可取为因 A正定,有可逆矩阵 P,使 A PTP, (1 分)| A B| | PTP PT(P 1)TBP 1P|T 1 T 1(8分)(6 分 )知 Ax 0 的基础解系为|PT ( I |PTP| I (P 1)