大一上高数课件2.9函数单调性与

1、2.9 2.9 函数单调性与凸性的判别方法函数单调性与凸性的判别方法一、填空题一、填空题.;16,24, 3, 1. 7; 9,23. 6);7, 1(),1, 0(), 1(. 5);2, 2(),2,(), 2(. 4;, 0),. 3);,32,(,32. 2);, 1 ,2,(,1, 2. 12 dcbabaennaaaap39电气学院学习部资料库二二3 32 22 22 22 23 32 22 21 11 1. .证证 : : 令令 ( ( ) )t ta an n3 3( ( ) )s se ec c1 1t ta an n0 0( (0 0) )2 2( ( ) ) 在在 0 0

2、, ,) )上上单单增增. .( ( ) )( (0 0) )( (0 0) )2 22 21 1t ta an n( (0 0) )3 32 22 2. .证证 : : 等等价价于于证证明明( (1 1) )lln n( (1 1) )a ar rc ct ta an n令令( ( ) )( (1 1) )lln n( (1 1) )a ar rc ct ta an n1 1( ( ) )lln n( ( 1 1) )1 1lln n( (1 1) )1 11 1f f f f fxxxf xxxxxfxxxx 2 2当当0 0, ,( ( ) )0 0因因此此( ( ) )在在 0 0,

3、,) )上上单单增增. .( ( ) )( (0 0) )0 0( (0 0) )a ar rc ct ta an n即即lln n( (1 1) )( (0 0) )证证毕毕. .1 1 xxfxf xf xfxxxxxp39电气学院学习部资料库)(2)2(2)()(:21)()()1()1(:)1 , 0(,),()(0)()(:. 321212121yxeeeyxfyfxfyxxxxfxfxxfxxxfexfexfyxyxxx 即即有有取取总总有有对对任任一一由由凸凸函函数数的的定定义义知知内内是是凸凸函函数数在在故故令令证证明明 4.证证:.sin,0,sin.),()(,.)(20c

4、os1)(),(sin)(只只存存在在一一个个实实根根所所以以方方程程是是根根又又至至多多一一根根方方程程上上单单调调增增加加在在因因此此时时为为零零仅仅当当有有定定义义在在令令ttttttfzkktttftttf p40且连续且连续.电气学院学习部资料库.034)431,32(),431,32(),1,1(:)1(2662)1(123223222上上在在同同一一直直线线可可得得三三个个拐拐点点 yxxxxxyxxxy5.三、三、解解: : 单调函数的导函数不一定为单调函数单调函数的导函数不一定为单调函数. .10211如如在在连连 续续仅仅 当当处处 为为 零零在在上上 单单 调调 增增 加

5、加但但因因 为为不不 是是 单单 调调 函函 数数所所 以以也也 不不 是是 单单 调调 函函 数数fxxxfxxxkkzfxxxfxxxfx :()sin(,).()cos()().)()sin(,).()coscos,().p40电气学院学习部资料库21:0, 0)1(24,)1(2), 1()1 ,(:43 xyxxxyxxy得得令令驻点驻点定义域定义域四、四、下下凸凸单单减减下下凸凸单单增增极极小小下下凸凸单单减减拐拐点点上上凸凸单单减减曲曲线线)(0)(0)(), 1()1, 0(0)0,21(21)21,(xfyxfxfx .00)1(12limlim;1)1(12limlim1)

6、0(:)98,21(:2211是是水水平平渐渐近近线线是是铅铅直直渐渐近近线线极极小小值值拐拐点点 yxxyxxxyfxxxxp40画图步骤画图步骤 值值电气学院学习部资料库 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间. 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数求出函数的

7、一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 图形描绘的步骤图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步电气学院学习部资料库 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形. 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符号，并的符号，并由此确定函数由此确定函数 第三步第三步第四步第四步第五步第五步电气学院学习部资料库112 xxy有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点. 求证曲线求证曲线 证明：证明： y y222)1(21 xxx3223)1()133(2 xxxx32)1()32)(32)(1(2 xxxxxxx2) 1() 1(222)1( x42)1( x)22(x 22)1( x)21(2xx )1(22 xx2 另例另例电气学院学习部资料库令令