第3篇第4讲定积分的观点与微积分基本定理.doc

1、第 4 讲定积分的概念与微积分基本定理【2014 年高考会这样考】1考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理2利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.对应学生47考点梳理1 定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数 f(x)在区间 a，b 上连续，用分点 ax0x1 xi 1xi xnb，将区间 a， b 等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi1，xi 上任取一点nnbai(i 1,2， ，n)，作和式 i 1f(i)x i 1 nf(i)，当 n时，上述和式无b限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间 a，b上的定积分，记作a f(x)dx.b在 af

2、(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分区间， f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式(2)定积分的性质bb a kf(x)dx ka f(x)dx(k 为常数 )bbb a f1(x) f2(x)dx af1(x)dxaf2(x)dx.bcb a f(x)dx a f(x)dx c f(x)dx(其中 acb)2 微积分基本定理b如果 f(x)是区间 a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么 a f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼兹公式3 定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积

3、分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S.bS a f(x)dx；bS a f(x)dx；cbS a f(x)dx c f(x)dx；bbbS a f(x)dx a g(x)dx af(x) g(x)dx.(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间 a，b上的定积分，即bs av(t)dt.【助学 微博】一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算两条结论(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正，

4、当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负，当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零(2)当定积分在物理中应用时，要知道加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程三条性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行考点自测1下列积分的值等于 1 的是 ()11 A. 0 xdxB. 0 (x1)dx111C.0 1 dx D. 02dx1解析0l dx xError! 1.答案C12 (2011 福建 )0 (ex 2x)dx 等于 ()A 1Be1CeDe11解析0(ex2x)dxError!10(e1) 1

5、e.答案C3 (2011 湖南 )由直线 x 3， x 3， y0 与曲线 y cosx 所围成的封闭图形的面积为 ()13A.2B1C. 2D. 3 解析S 33cos xdx 2 30cos xdxError! 30 3.答案D4 (人教 A 版教材习题改编 )汽车以 v(3t2)m/s 作变速直线运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是 _23327 13解析s 1(3t2)dtError! 21244(2) 102 2 (m)13答案2 m1 2sin x)dx _.5 (2012 江西 )计算定积分 1(x1x3 cos x解析(3)x2 sin x，122s

6、in x)dxError!1131(x.2答案3对应学生48考向一定积分的计算【例 1】计算以下定积分211(1)1 (2x2 x)dx；(2) 0 x22xdx；121|32x|dx.(3)1(xcos x5sin x2)dx；(4)审题视点 求积分关键是求其原函数，当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得12解 (1)函数 y 2x2 x的一个原函数是 y 3x3 ln x，212所以 1 (2x2 x)dx(3x3 ln x)|2116214 3 ln 23 3 ln 2.(2)y x2 2x 1 x1 2? Error!? Error! ? Error!1由图形可知： 0x22x dx

7、4(3)因为 yxcos x 5sin x 为奇函数，1所以 1(xcos x5sin x2)dx Error! 114.22 32 333(4)2221(32x)dx21|32x|dx 1|32x|dx|3 2x|dx(2x3)dx(3xx2)Error! (x2 3x)Error!12.(1)根据积分的几何意义可利用面积求积分a(2)若 y f(x)为奇函数，则 af(x)dx 0.b(3)被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质a f(x)dxcba f(x)dx c f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可3【

8、训练 1】 计算 0 |x2 4|dx()21222325A. 3B. 3C. 3D. 3323解析0|x24|dx 0 (4 x2224)dx(x11234x x3x34xdx(3)Error! (3)Error! 3 .答案C考向二利用定积分求面积【例 2】 ? 求曲线 yx2，直线 yx，y3x 围成的图形的面积审题视点 画出图形，由图象交点确定积分区间，由图象中曲线间的位置关系确定被积函数，然后用积分求面积解 在同一直角坐标系下作出曲线 y x2，直线 yx， y 3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组 Error! 得交点 (1,1)，1解方程组 Error! 得交点 (

9、3,9)，因此所围图形的面积为：S 0 (3x x)3dx 1 (3xx2)dx13 0 2xdx 1(3xx2)dxx2|01 Error! 13(3 321 33) (3 121 13) 13123233.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分的上、下限； (2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； (3) 写出平面图形面积的定积分的表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积【训练 2】 (2013宁波五校联考 )由曲线 y2x2，直线 y 4x2，直线 x1围成的封闭图形的面积为 _解

10、析联立 Error! 解得直线与抛物线的交点横坐标为x 1，由题意得，由曲线 y2x2，直线 y 4x2，直线 x1 围成的封闭图形的面积为：11(2x24x2)dxError! 112216322322 3 .16答案3考向三定积分的应用1【例3】 ?一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在2s6s 间的运动路程为_审题视点 从题图上可以看出物体在0 t1 时做加速运动，1t3 时做匀速运动， 3t 6 时也做加速运动，但加速度不同，也就是说一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积解析 由题图可知， v(t) Error!0t 6 时， v(t)为1因此该物体在 2s

11、6 s 间运动的路程为：611 1361 t1s 2v(t)dt22tdt 12dt 3(3)dt49 t2Error! 2tError! Error! 36 4 (m) 49答案4 m物体作变速直线运动的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在b时间区间 a，b 上的定积分av(t)dt.另外物体作变速直线运动的速度v，等于加b速度函数 aa(t)在时间区间 a，b上的定积分 a a(t)dt.【训练 3】列车以 72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a 0.4m/s2，则列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解a 0.4 m/s2，v0 72 km/h20

12、m/s.设 t s 后的速度为v，则v200.4t.令 v0，即20 0.4t0，得t50.设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则 s 50vdt 50(200.4t)dt (20t 0.2t2)Error! 2050 0.2 502 500(m)即列车应在进站前50s 和进站前 500m 处制动对应学生50热点突破 8 定积分模型方法示例【命题研究】定积分及其应用是新课标的新增内容，近三年在高考题中经常出现，一般考查定积分的计算及其在几何上的应用，主要以填空题或选择题的形式出现，难度较易一、求分段函数 (带绝对值的函数 )的积分(1)分段函数在区间 a，b上的定积分可分成几段定积分的和的

13、形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细【真题探究 1】 ?(2012上海 )已知函数 yf(x)的图象是折线段 ABC，其中1A(0,0)、B(2，5)、 C(1,0)函数 yxf(x)(0x 1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 _教你审题 求分段函数解析式，根据定积分的几何意义求图形面积解法 先求出 yf(x)，再用定积分求面积y f(x) Error! xf(x) Error!5答案 4反思 被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界函数，当某一边界是不同函数的图象时要分段去求二、求奇偶函数在对称区间上的定积分(1)若 f(

14、x)为偶函数，且在区间 a，a上连续，则【真题探究 2】 ?(2012湖北 )已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ()243A. 5B.3C.2D.2教你审题 根据图形求二次函数f(x)的解析式，根据奇偶函数积分的性质求图形面积解法 根据 f(x)的图象可设 f(x) a(x 1)(x1)(a0)，由 f(0) 0，得 c0.f (x) 2axb，因过点 (1,0)与(0,2)，则有 Error! Error! f(x)x22x，则 f(x)0的图象与 x轴所围成的封闭图形的面积为2Error!02S 2(x2x)dx143(2)3(2)23.答案Ba12x(

15、4若 1(x)dx3ln 2(a1)，则 a 的值是)A 2B3C4D6a2x1解析1(x)dx(x2 ln x)Error! a2 ln a13 ln 2，即 a 2.答案A二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分)t5已知 t0，若 0 (2x1)dx 6，则 t_.t解析0(2x1)dx(x2 x)Error! t2t 6，解得 t3(t 2 舍去 )答案36(2012 山东 )设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a _.a2 34解析S 0xdxError! 0a3a2a2， a9.4答案9三、解答题 (共 25 分)11217f x7(12

16、分)已知 f(x)是一次函数，且0 f(x)dx5， 0 xf(x)dx 6 ，求 1x dx 的值解 f(x)是一次函数，可设 f(x) axb(a0)11 1ax2 bx1 0 f(x)dx 0 (axb)dx(2)Error! 2ab.12a b 5.11又 0xf(x)dx 0 x(axb)dx1111ax3 bx2(32)Error! 3a2b.11173a 2b 6 .解得 a4，b3， f(x) 4x3，222f x4x33 x dx 1x4 1dx 1(x)dx (4x3ln x)Error! 43ln 2.8 (13 分)如图所示，直线ykx 分抛物线 yxx2与 x 轴所围

17、图形为面积相等的两部分，求k 的值解抛物线 y xx2 与 x 轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积11S 0(x x2)dx Error! 016.又抛物线 yxx2 与 ykx 两交点的横坐标为x30，x41k，所以，S2 10k(xx2kx)dxError! 10k16(1k)3.11又知 S 6，所以 (1 k)32，3134于是 k 121 2 .B 级能力突破(时间： 30 分钟满分：45 分)一、选择题(每小题5 分，共10 分)1由曲线yx2 2x 与直线yx 所围成的封闭图形的面积为()1152A. 6B.3C.6D.3解析在直角坐标系内，画

18、出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x22xx，解得两个交点坐标为(1， 1)和 (0,0)，封闭图形的面积为S01111x(x2 2x)dxError! 01 3 2 6.答案A2(2013 郑州质检 )如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 yx2和曲线 y x围成一个叶形图 (阴影部分 )，向正方形 AOBC 内随机投一点 (该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在叶形图内部的概率是()1111A. 2B.6C.4D.3解析依题意知，题中的正方形区域的面积为121，阴影区域的面积等于1110 ( x x2)dx Error! 013，因此所

19、投的点落在叶形图内部的概率等于3，选 D.答案D二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3 403已知 f(x)Error! 若 k f(x)dx3 (k2)则 k _.323 40解析k f(x)dx k (2x 1)dx 2(1 x2)dx 3 ，所以得到 k2k0，即 k0或 k 1.答案0 或12mx1n12且 1 f(x)dxm，则 (4设 f(x)x ax 的导函数为 f(x)2x 16) 展开式中各项的系数和为 _2解析因为 f(x)xnax 的导函数为 f(x)2x1.故 n2，a1.所以 1 f(x)251mxdx2121(x x)dx Error! 216m 所以 (6) 展开式中各项的系数和为51(66)