2015全国卷1文数精校完整解析版

1、集合1A1 2015 全国卷A B 中元素的个数为(2015 全国卷 (文科数学 )已知集合A x|x 3n 2，n N ，B 6 ，8， 10，12，14 ，则)A 5B 4C3 D21 D解析 集合 A 2 ， 5，8， 11， 14，17， ，所以 AB 8 ， 14 ，所以 A B中有 2 个元素2 F1、F2 2015 全国卷 已知点 A(0，1)， B(3， 2)，向量 AC ( 4， 3) ，则向量 BC ()A (7， 4)B (7， 4)C ( 1， 4) D (1，4)2 A 解析 AB (3， 1)， BC AC AB ( 4， 3) (3， 1) ( 7， 4)3 L4

2、 2015 全国卷 已知复数 z 满足 (z1)i 1 i，则 z ()A 2 i B 2 iC 2i D 2i3C 解析 设复数 za bi( a，b R)，代入 (z 1)i 1 i 得 (a 1bi)i 1 i，即 b (a 1)i 1 i.根据复数相等可得 b 1，得 a 2， b 1，所以复数 z 2 i.a 1 1，4 K2 2015 全国卷 如果 3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1， 2， 3， 4， 5 中任取 3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为 ()31A. 10B. 511C.10D.204 C解析 从 1， 2， 3

3、， 4，5 中任取 3 个不同的数有(1， 2，3)，(1， 2， 4)， (1， 2，5)， (1， 3， 4)， (1，3， 5)，(1，4， 5)，(2， 3， 4)，(2， 3，5)， (2， 4，5)， (3， 4， 5)，共 10种取法，其中只有(3， 4， 5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为110.5 H5 、 H7 2015 全国卷 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为1， E 的右焦点与2抛物线 C： y2 8x 的焦点重合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB| ()A 3 B6C9 D12抛物线 C：y2 8x 的焦点坐标为 (2， 0)，准

4、线方程为5B 解析 x 2，即椭圆的半c 212x2y2焦距 c2.又离心率e a a2，所以 a4，于是 b 12，则椭圆的方程为1612 1.A， B是 C 的准线 x 2 与 E 的两个交点，把x 2 代入椭圆方程得 y3，所以 |AB| 6.6 G12 2015 国卷全 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 1-1，米堆为一个圆锥的四分之一高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知率约为 3，估算出堆放的米约有()，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的1 斛米的体积约为

5、1.62 立方尺， 圆周图 1-1A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛6B解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为 r ，则1 2 r416112320320 8，得 r ，所以米堆的体积为34 r5 9 (立方尺 )， 9 1.6222(斛)7 D22015 全国卷 已知 an 是公差为1 的等差数列， Sn 为 an 的前 n 项和若 S84S4，则 a10 ()17 19 A.2 B.2C 10 D127 B解析 由 S8 4S4，得 8a1 8 7 1 44a14 3 1，解得 a1 1，所以 a102221 (101) 1 1922 .8 C42015 全国卷

6、函数 f(x)cos(x )的部分图像如图1-2 所示，则 f(x)的单调递减区间为 ()图 1-21 3A. k 4， k 4 ， k ZB. 2k 1， 2k 3 ， k Z44C. k1，k 3，k Z44D. 2k1， 2k3 ， k Z448 D解析 T 511，所以 T 2，即 2 2，所以 .由图知2 44|1因为函数 f(x)的图像过点4， 0，所以当 时， 2k ， k Z ，42解得 2k ， k Z ；4当 时， 4 2 2k ， k Z ，解得 2k， k Z .4所以 f( x) cos x13， k Z，故选4，由 2k x 2k 解得 2k x0.01，循环7 次

7、后 S 的值变为 27 1281， a) ()7 5 A4 B431C 4D4x1恒成立， 所以可知 a1，于是由 f(a) log 2(a 1)10A 解析 因为 2 221173 得 a 7，所以 f(6 a) f( 1) 22 .411G22015 全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1-4 所示若该几何体的表面积为16 20 ，则 r ()图 1-4A 1B2C4 D811 B解析 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为 2r 的半圆柱 (水平放置 )，后半部分是一个半径为r 的半球，其中半圆柱的一

8、个底面与半球的半个圆1212222面重合，所以此几何体的表面积为2r 2r 2 r 2 r r 2r 2 r 4r5 r 1620 ，解得 r 2.12 B6、 B72015 全国卷 设函数 y f(x)的图像与 y 2xa 的图像关于直线y x 对称，且 f( 2) f( 4) 1，则 a ()A1B 1C2 D412 C解析 在函数 yf(x)的图像上任设一点P(x， y)，其关于直线y x 的对称点y y 1，x y，为 P(x， y)，则有x x解得由于点 P(x， y)在函数 y 2x a 的图x x y yy x.0，2 2 像上，于是有 x y a2，得 ya log2(x)，即

9、 y f(x)a log 2(x)，所以 f( 2) f(4) a log22 a log 24 2a 31，所以 a 2.13 2015 国卷全 在数列 an 中， a1 2， an1 2an， Sn 为 an 的前 n 项和若 Sn126，则 n _13 D36 解析 由 a1 2， an 1 2an 可知数列 an 为等比数列，公比为2，所以 Sn2（ 12n） 126，得 n 6.1 214B122015 全国卷 已知函数 f(x) ax3 x 1的图像在点 (1，f(1) 处的切线过点 (2，7)，则 a _14 1解析 因为 f(x) 3ax2 1，所以函数在点 (1， f(1)

10、，即点 (1， 2 a)处的切线的斜率 k f (1) 3a 1.又切线过点 (2，7)，则经过点 (1，2 a)，(2，7)的直线的斜率k2 a 7，1 2所以 3a 1 2 a 7，解得 a 1.1 2x y2 0，15 E52015 全国卷 若 x， y 满足约束条件x 2y10，则 z 3x y 的最大值为2x y20，_15 4 解析 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点 A(1， 1)时，目标函数 z 取得最大值，故 zmax 31 1 4.216H6 2015 全国卷 已知 F 是双曲线 C：x2 y 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，8A

11、(0， 6 6)，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为_16126解析 由已知得 a 1，c 3，则 F(3，0)，|AF| 15.设 F1 是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有 |PF| |PF1| 2，所以 |PA| |PF| |PA| |PF1| 2 |AF 1| 2 17，即点 P是线段 AF1 与双曲线的交点时， |PA|PF | |PA| |PF1 | 2 最小，即 APF 周长最小，此时，1223，即有 sin PAF 462 |PA|2sin OAF ，cosPAF 1 2sin OAF 2525.由余弦定理得 |PF|5 |AF|2 2|PA|AF|cos PAF，即 (

12、17 |PA|)2 |PA|2 152 2|PA| 15 23，解得 |PA| 10，于是 S 25APF1|PA| |AF| sin PAF1 10 154 612 6.222517 C5、 C8 2015全国卷 已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边， sin2B 2sin Asin C.(1) 若 ab，求 cos B;(2) 若 B 90，且 a 2， 求 ABC 的面积17 解： (1)由题设及正弦定理可得b2 2ac.又 a b，所以可得 b 2c， a 2c.由余弦定理可得cos Ba2 c2 b21 .2ac4(2) 由 (1)知 b2 2ac.因为

13、 B90，所以由勾股定理得a2c2 b2 .故 a2 c2 2ac，得 c a 2，所以 ABC 的面积为 1.18 G52015 国卷全 如图 1-5，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD .(1) 证明：平面AEC平面 BED ；6(2) 若 ABC 120， AE EC, 三棱锥 E - ACD 的体积为3 ，求该三棱锥的侧面积图 1-518 解： (1)证明：因为四边形因为 BE平面 ABCD ，所以又 AC? 平面 AEC，所以平面ABCD 为菱形，所以AC BE，故 AC 平面AEC平面 BED .AC BD.BED.3x(2) 设 AB

14、 x，在菱形ABCD 中，由 ABC 120，可得AGGC 2 x， GB GD 2.因为 AE EC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG 32 x.2由 BE平面 ABCD ，知 EBG 为直角三角形，可得 BE 2 x.由已知得，三棱锥 E - ACD 的体积11AC GD BE 636，VE - ACD 24x332故 x 2.从而可得 AE EC ED 6，所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E - ACD 的侧面积为 3 25.19I4 2015 全国卷 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元 )对年销售

15、量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元 )的影响对近8 年的年宣传费 xi和年销售量yi(i 1， 2， ， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值图 1-6xyw错误 ! (w iw ) (yi y )46.65636.8289.81.61469108.8其中 wixi ， w 1 8 wi .8i 1(1)根据散点图判断， y a bx 与 y c dx哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费 x的回归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由)(2)根据 (1) 的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程(3) 已知这种产品的年利润 z 与 x， y 的关系为

16、z 0.2y x.根据 (2)的结果回答下列问题：( i)年宣传费x 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？( ii) 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 (u1， v1)， (u2， v2)， ， (un， vn)，其回归直线 v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 错误 ! ，错误 ! v 错误 ! u.19 解： (1)由散点图可以判断， y c d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(2) 令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程由于d 错误 ! 错误 ! 68，c y dw 563 68 6.8 100.6，所以 y 关于 w

17、 的线性回归方程为，因此 y 关于 x 的回归方程为y 100.6 68wy 100.6 68 x.(3)( i) 由(2) 知，当 x 49 时，年销售量y 的预报值y 100.66849 576.6，年利润 z 的预报值z 576.6 0.249 66.32.( ii) 根据 (2) 的结果知，年利润z 的预报值z 0.2(100.6 68x) x x 13.6x20.12，所以当 x13.6 6.8，即 x 46.24 时， z取得最大值2故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大20 H1 、H3 、 H4 2015 国卷全 已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆

18、 C： (x 2)2 (y 3)2 1 交于 M， N 两点(1) 求 k 的取值范围； (2) OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|.20 解： (1)由题设，可知直线l 的方程为 y kx 1.因为 l 与 C 交于两点，所以|2k3 1|1 k21，解得 47k0 时， f( x) 2a alna.2xa21 解： (1)f(x)的定义域为 (0 ， )， f(x) 2e x(x0) 当 a 0 时， f(x)0 ， f(x)没有零点当 a0 时，因为 e2x 单调递增， a单调递增， 所以 f(x)在 (0， )上单调递增 又 f (a)0， x当 b 满足 0ba4且

19、 b14时， f (b)0 时， f (x)存在唯一零点(2) 证明：由 (1)可设 f(x)在 (0， )上的唯一零点为 x0.当 x(0，x0 )时，f(x)0.故 f(x)在 (0，x0)上单调递减，在 (x0， )上单调递增，所以当x x0 时， f(x) 取得最小值，最小值为 f( x0)由于 2e2x0a 0，所以 f(x0 )a22x02x0 2ax0aln 2a aln .aa2故当 a0 时， f(x) 2aalna.22 N12015 国卷全 选修 4-1：几何证明选讲如图 1-7， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的切线， BC 交 O 于点 E.(1) 若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 O 的切线；(2) 若 OA 3CE，求 ACB 的大小图 1-722 解： (1)证明：连接AE，由已知得， AE BC ，AC AB.在 Rt AEC 中，由已知得， DE DC ，故 DEC DCE.连接 OE，则 OBE OEB .又 ACB ABC 90，所以 DEC OEB 90，故 OED 90， 即 DE 是 O 的切线(2) 设 CE1， AE x，由已知得AB 23， BE12 x2.由射影定理可得， AE2 CEBE，所以 x2 12 x2，即 x4 x212 0，可得 x 3，所以 ACB 60 .23 N32015