曲线积分与曲面积分

1、精心整理1对弧长的曲线积分(扩展)对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分3格林公式及其应用4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分X 7 I之前已经学过计算曲线长度的积分(1)对于y=y(x)，有ds= Ji 十 y(x)2dx(2)x(t)对于参数方程y=y(t)有 ds= Jx(t)2 +y(t)2dtx = r (日)cos9(3)对于极坐标方程是r二r()，转成直角坐标y = r(v )sin寸，则xC) = r cos - r sin，y) = r sin 丁 r cos。代入ds = Jx(t)2 + y(t)2 t=Jr()2 + r (，)2 d0上面3个都是求弧长，现在

2、求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么, 如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均 匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数 f(x,y)看成是高度z,那么得 到的就是一个柱面表面积。对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的 结果就是空间的线质量。n定义.J f (x,y)ds= Ijm。瓦fOs-:L* i=1计算步骤1画出图形2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限(下限必须小于上限)3由L类型写出对应ds的表达式4因被积函数f(x,y)的点x，y在L

3、上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。 I5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。如,L的方程y=k,贝则.f (x)ds= . kds= ks (保留。还不太懂)LL参数方程X = x(t)L i设曲线有参数方程Ly(t)，则有：显式方程设曲线为L： y=y(x)，则有：设曲线为L: x=x(y)，则有：极坐标方程设曲线为L : rC1 ),p U ,)则有：注：常用，半径r的圆弧对应ds二日=Rd&空间曲线方程x = x(t)设曲线为空间曲线L: x f -i r |

4、. j 一； L J _、打/八 J/ IT7设在 L 上 f(x,y)v=g(x,y)，则 Lf(x,y)d Lg(x,y)ds，特别的，有(f(x,y)ds rjg(x, y)|ds此性质不能用于第二类曲线积分ry -扩展对弧长曲线积分的应用(其实和二重积分一样，完全可以自己推导)质心坐标:x dsLy dsLdsL 设平面力场的力为F(x,y)= P(x,y)i + Q(x,y)j求该力沿着曲线l从a到b 所做的功。转动惯量：I=mrA2,因此有1 xy2、（x, y）dsb对于直线的路径ab来说功的大小是L f(x)dx (这里有两个特点：1路径是直线 2力的方向和位移的方向相同)6、

5、特别性质_F(x, y)田r = -F(x, y)Dr第二类曲线积分不具有此性质。其证明比 较简单，看课本。2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分，分为对x坐标和y坐标的曲线积分，两者合在一起，为：I I I -I L L J . J 求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？ 作出L的图形，标出L路径的方向X”(t) 写出L的方程y = 一 (t)，并指出起点和终点的参数I, 1注意，I, 1并不分谁大谁小。X 二(t)把y = (t)分别代入被积表达式，a为下限，B为上限注意：仍然有被积函数的(x,y)须满足L方程。空间曲线计算必须化为参数方程来计算同样的，在计算时，算圆能用直角坐标

6、很难，用极坐标就很简单不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数f(x,y)仅是一个数量 值。而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，又有方向 相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分在力场F(x, y)二P(x, y)i Q(x, y)j中，沿路径l从a到b，第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。有：4、第一类和第二类曲线积分的互相转换为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds，我们将x，y改写设为参数方程。X 八(t)设y J叩(t)，则j，则k代表着L上某点的切线方向。而孑72+屮2屮则就是切线方向的单位向量。若从切线方向上考虑，则2 + .cos：I2

7、2 =cos ，因此可以改为若设T -22：二丁伍j，则结果也可以改为jP(x, y)dx + Q(x, y)dy= = “P(吓)9巴屮)ids而这种在转换时更方便常用一些。（见典型例题）格林公式及其应用文中全部的P, Q都代表P（x,y），Q（x,y）一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。设P（x,y）,Q（x,y）都存在一阶连续偏 导数，那么则有：# 格林公式对L所围成的形状没有要求，只要求 L是一条正向的闭曲线。（正向即 走在该路径上，左手边是被积域）注意，被积P，Q不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。那么 怎么办？ 一般使用挖洞法。上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。经

8、过推导还有与第一类曲线积分的关 系:. -, 若令n为下图向量，则有：使用格林公式的情况：格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类） 或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。 注意，曲线积分第一类又可以化 为第二类，如果这样考，可能会综合一些。（当然曲线第一类也有直接跟格林公 式互换的方法（见上）（加边法）求非封闭曲线的第二类曲线积分： 可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=a或y=a等。这样减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：那

9、么挖一个什么形状的洞呢？一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。如i町沖在上用J 4?+/格林公式就做一个分母一样函数的D ox oyD椭圆。做一个4x2 y2 = a21、求闭区域的面积rxl、CCR l令excy=1即可。于是，可选P=-y,Q=x，得ex=2P QPQ显然,.2dxdy=2SL 一yd xdy于是求出面积。注，该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。已知边界曲线参数方程，求面积 用此公式。曲线积分结果与路径无关，是指只与起点终点有关。其物理意义就是变力做功何 时与路径无关？设L1与L2是起点终点相同的两条不同路径，则在平面连通域内与路径无关的充要条件是口一 ,L2_Pdx *

10、 Qdy =0，即绕闭曲线一周，曲线积分结果为 0，则就与路径无关。这个方法对任何连通区域均有效。但是下面的定理仅对单连通域有效：定理：在一个单连通域g内，丄Pdx，Qdy的曲线积分与l路径无关的充要 条件是：因为如果等于0，则闭曲线就等于0。之所以用单连通区域，因为单连通域内一 定存在偏导数。复连通区域内可能含有奇点，无法满足条件。求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？设 P(x, y)dx+Q(x, y)dy =du (x, y)= dx + 竺dy，显然对应相等 P(x, y)二空， exdyexcQx y匸(必要条件须构造u(x，y xo,yoPdx Qdy亦可2cucP

11、 = cuQ(x, y) ，而 .y :y :x：y : x证)，因此，P(x, y)dx+Q(x, y)dy是u(x,y)全微分的充要条件依旧是:当然，前提是一阶连续偏导数存在，因此仍然仅在单连通域内有效。从式中可见，P(x, y)dx Q(x, y)dy存在是u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无 关的充要条件是一样的。因此，u(x, y) = ；oPdx Qdy与积分路径无关。 若存在这个函数，那么如何求得这个函数u(x,y)?厂x,y +根据上例证明时构造的u(x, y) = Jx0,y0Pdx* Qdy，可求因为构造出来的存在，因此满足积分与路径无关，因此，自己可以选择折

12、线进行积分，这样每条横或竖的折线总能有 dx或dy=0,。如果x0，y0可以任意选, 一般选择原点(得到0 , 0处的特解)。如果不选择原点，则结果与选择原点的结果相差一个常数C,有u(x, y)二x,yxyJ Pdx+ Qdy=JP(x.v0) dx+ J此处代入的是x0,y0x0y0此处要注意代入的不是y，而是y0这种上下限是二元的积分，按给定的具体路径积。像我们做的路径无关的，自己 定制了横竖的折线去积的，之所以能导出后面的式子，是因为每条直线分别积， 一个直线消去了 dx=O，个直线消去了 dy=O(注：若要计算x1,y1x1y1u(x, y) = xo yo Pdx Qdy= xo

13、P(x,yO)dx注意是x1,而:此处要注意代入的不是y，而是yO其实只要不跳步的用公式，而是自己画图认真算算，是不会错的，就怕背公式， 还不熟，就错了)设F(x,y) =P(x, y)i Q(x, y)j是连通的开区域D上的有连续偏导数的向量场，则 以下四个条件是等价的：1曲线积分Pdx Qdy与路径无关L2对D内任何封闭的曲线L均有Pdx +Qdy=O积分若是，说明路径无关，故可以自己选一条简单的折线3 Pdx Qdy是某函数u (x，y)的全微分，即Pdx Qd du. 4 FP,Q是势场(梯度场)：即存在 u(x,y)使得 F = grad u(即 P, Q /)ex cyJ / x d5若D是单连通区域，则以上四个条件等价于px |y=0p Qfy =C常数，则可以用格林公式转Q2若与积分路径有关，但比较简单如XP换二重积分计算。(非闭区域可以加边法)3如果12均难以满足，只能转换为定积分慢慢求了遇到求解P(x, y)dx Q(x, y)dy =0这个方程。如果恰有u(x,y)，使得 P(x, y)dx Q(x, y)ddu(x, y)，上面求 u(x,y)已经说过，若存在 u(x,y)， 则通解是u(x,y)=Cx,y因此，通解为 u(x, y)三%y