曲面与空间曲面的总结

1、面 与 空 间 曲 线 的 总曲面与空间曲线.曲面及其方程:1. 曲面方程的一般概念：定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=O ，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是|AM|=|BM|由距离公式得.(x 2)2(y3)2(z 1)2. (x4)2(y 5)2(z 6)2整理得4x4y10z 63 0此即所求点的规迹方程，为一平面方程。2. 坐标面及与坐标面平行的平面方程： 坐标平面xOy的方程：z=0 过

2、点(a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程:x=0; y=0; x=a; y=b3. 球面方程：球面的标准方程：以 M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0)，半径为2的球。4. 母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将

3、动直线I沿定曲线c平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线I称为柱面的母线，定曲线c称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=O，则该柱面的方程为 F(x,y)=O;同理，G(x,z)=O,H(y,z)=O 别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。在空间中分则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论 z2x取何值，只要满足F(x,y)=02ya2，则总在柱面上。4.旋转曲面:般情况下我们将一平面曲线分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为： 平行于某轴,一平面内的定直线I旋转一周所成的曲面称为

4、旋转曲面。其中c称为母线，I称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论：设yOz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=O，将c绕z 轴旋转一周，所得到的以z轴为轴的放置曲面的方程为：f(y2,z)0同理，曲线C绕y轴旋转所得曲面方程为： 同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0 为母线绕x轴得曲面f (x, A y2z2)0 绕 y 轴 f( )y (GC)z DD2 0其中 为任意常数因为系数 A、B、C与A、R、C2不成比例所以对于任何一个值上述方程的系数不全为零从而它表示一个平面对于不同的 值 所对应的平面也不同而且这些平面都通过直线 L 也就是说这个方程表示通过直线 L的一族平面另一方面 任何通过直线 L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中通过定直线的所有平面的全体称为平面束方程Ai xB yC zD(AxByC2zD2)0就是通过直线L的平面束方程例7求直线x y z 1 0在平面x y z 0上的投影直线的方程x y z 1 0解设过直线xyz 1 0的平面束的方程为xyz 1 0(x y z1)(x y z1) 0即(1)x(1)y ( 1)z(1 ) 0其中为待定的常数这平面与平面xyz0垂直的条件(