最优化方法测验及答案套

1、最优化方法1一. 填空题：1 最优化问题的数学模型一般为： ,其中 为目标函数， 为约束函数，可行域 D可以表示 为，若，称x*为问题的局部最优解，若 称X*为问题的全局最优解。2 .设f(x)= 2x； +2X1X2 -Xi +5X2 ,则其梯度为,海色矩阵令X =(1,2)T,d =(1,0)T,则f(x)在X处沿方向d的一阶方向导数为几何意义为二阶方向导数为,几何意义为3. 设严格凸二次规划形式为:2 2min f(x) =2xj 2x2 -2為-x2s.t.2x1 x2 -1% _ 0x2 -0则其对偶规划为。4. 求解无约束最优化问题：min f(x),xRn，设xk是不满足最优性条

2、件的第 k步迭代点，则:用最速下降法求解时，搜索方向d k =用Newton法求解时，搜索方向dk =用共轭梯度法求解时，搜索方向 dk =O二. (10分)简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。三. (25分)计算题1. (10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：32min f(x) =2x1 -3x1 6x1x2(x1 x2 -1).2. (15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题:minf (x)二 x1x222s.t.c(x) = Xj x2 -1 = 0的最优解和相应的乘子。四. 证明题(共33分)11. (10分)设f (x)xT

3、Gx rTx亠寂是正定二次函数，证明一维问题min(a)二 f (xkad k)的最优步长为ak =vf(xk)TdkdkTGdk2. ( 10分)证明凸规划min f(x),xD (其中f(x)为严格凸函数，D是凸集)的最优解是唯一的3. (13分)考虑不等式约束问题min f (x)s.t.g(x) _0,i I 二1,2, ,m其中f(x),Ci(x)(k I )具有连续的偏导数，设x是约束问题的可行点，若在x处d满足、f(x)Td : 0, G(x)Td ：0,i I (x)则d是x处的可行下降方向。最优化方法2一、填空题：1. 最优化问题的数学模型一般为： ，其中 为目标函数， 为约

4、束函数，可行域 D可以表示 为，若，称x*为问题的局部最优解，若 称x*为问题的全局最优解。2 .设f(x)= x； +2x2 -10治+5X2，则其梯度为，海色矩阵令x =(1,0)T,d =(1,-1)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为几何意义为二阶 方向导数为，几何意义为3设严格凸二次规划形式为：min f (x) = X： x； -2x x2s.t.x1 x2 乞1X - 0x2 _ 0则其对偶规划为。4.求解无约束最优化问题：min f(x),xRn，设xk是不满足最优性条件的第 k步迭代点，则:用最速下降法求解时，搜索方向d k =用Newton法求解时，搜索方向dk =

5、用共轭梯度法求解时，搜索方向 dk =二. ( 10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。(200字左右)三. (25分)计算题3. (10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：32min f(x) =2x1 -3x； -6乂必2(捲一x2 -1).4. (15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题：nmin f (x) = xipimns.t.c(x)八 Xj _a = 0iT其中p 1, a 0.四. 证明题(共33分)1. (10 分)1设f (x)xTGx rTx，是正定二次函数，证明一维问题min ：(a) = f (xk

6、 ad k)的最优步长为ak、f(xk)TdkdkTGdk2. (23分)考虑如下规划问题min f(x),x Rns.t.ci(x) 0,i =1,2, ,m其中f(x),q(x)(i =1,，n)是凸函数，证明：(1) ( 7分)上述规划为凸规划；(2) ( 8分)上述规划的最优解集R*为凸集；(3) ( 8分)设f(x),q(x)(i =1,2,，n)有连续的一阶偏导数，若x*是KT点，则x*是上述凸规划问题的全局解。最优化方法试题3一、填空题1设f(x)是凸集S Rn上的一阶可微函数，贝S f(x)是S上的凸函数 的一阶充要条件是()，当n=2时，该充要条件的几何意义是()；2设f(x

7、)是凸集Rn上的二阶可微函数，则f(x)是Rn上的严格凸函数()(填当或当且仅当)对任意XRn，习2f(x)是()矩阵；min z =片2 + x： _ 为 x? _2% _ 3x23已知规划问题s.t -沙2一-2，则在点(-,5)t处的6 6一 5屜艺一5为，x2色0可行方向集为()，下降方向集为()。二、选择题/ 2 2min f =(洛 -2) x2I21.给定问题3t -xxf 0，则下列各点属于K-T点的是|为-x2 二 0A) (0,0)TB)(1”(2,2)2下列函数中属于严格凸函数的是(A) f (x) = x； 2x2 -10x( 5x2 f (x) = X -x； (x2

8、 : 0)C) f (x) =2为2 nx2 x： 2xf -6x1x3D)B)D)f (x) =3x1 4x2 -6x3三、求下列问题min f x =1 xj2 1 x； -5捲-10x2 2 2s.t 2捲一3x2 兰 30x1 4x2 込 20x“ x2 _ 0取初始点(0,5 /。四、考虑约束优化问题min f x = xf 4边s.t 3x1 4x2 -13用两种惩罚函数法求解。五. 用牛顿法求解二次函数2 2 2f(x) =(X1 - X2 X3) (-x! X2 X3) (X1 X2 -X3)的极小值。初始点X0六、证明题1. 对无约束凸规划问题min f (x) =1xtQx

9、 + ctx，设从点x Rn出发，沿方向Rn作最优一维搜索，得到步长F和新的点td，试证当dTQd =1 时，严=2f (x) - f(y)。2. 设x* =(x*,x*,x；)T .0是非线性规划问题min f 4X严3x3的最优1 2s.tX2 + X3 = 104*4*4解，试证x也是非线性规划问题minx1 x2 x3*的最优解，其中st x, +2x2 +3x3 = f* * * *f = x-i 2x2 3x3 o最优化方法试题4一、是非题1. 若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合。2. 设函数 f (x) C2，若 f(x* 0二，并且 2 f (x*)

10、半正定，则 x* 是 min f (x) 的局部最优解。3. 设x*是minf(x)的局部最优解，则在x*处的下降方向一定不是可 行方向。4. 设x*是min f (x)的局部最优解，则x*是min f (x)的K-T点。5. 设函数f(x C2,则用最速下降法求解min f (x)时，在迭代点xk处 的搜索方向一定是f(x)在xk处的下降方向。6. 用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。二、在区间-1,1上用黄金分割法求函数f(x)=x2-x2的极小点，求 出初始的两个试点及保留区间三、验证点(U,117)T与(0,-3)T是否是规划问题2 22min f x = x-i x22

11、 2s.t x-i +x2 9片x21 _ 0的K-T点。对K-T点写出相应的Lagrange乘子。四、用外点法求解2 2min f x =(为 一1) x2s.t x2 -1五. 用共轭梯度法求解无约束优化问题2 2min x1 2x2 2x1x -x1 x2取初始点x=(0,0)T，精度为10。六、证明题1. 设集合S只堤凸集,f1(x),|( fk(x)是S上的凸函数，令f (x) =maxt fx),川 fk(x)? x S证明f(x)也是S上的凸函数。、n2. 设 Xl =牧乏 Rn |瓦 a/bi,i =1,lli,m,为 HO, j =1川,n，xl，记l口JnI (x) =(i

12、 e 1川,m|迟 aw =b 卜LJJ(x) *j 白川,n?|Xj =0二证明：p是Xl在x处的可行方向的充要条件是n aj Pj 0, i l(x); Pj 0, j J(x)。j廿最优化方法试题5填空题1.设Q为n阶对称正定矩阵，Amn为行满秩矩阵，则问题1 Tmin f （x） x Qx 鮎（3 2 的K-T点为（）；Qt Ax = b），该平稳点2. min f (x)=(捲 -2)4 (人-2x2)2 的平稳点为(（）（填是或不局部最优解;3.设卞是问题m i n x()b ,其中人=3丁4）丁山=（$甩）丁 ，则dO是?的下降方向的充要条件为（），d式0是?的可行方向的充要条件

13、为( )。:. 运用0.618法求2min f x = x - x 2在区间-1,3上的极小点。要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08 倍。（计算结果精确到0.001 ）三、用最速下降法求解无约束问题 mi nf x = 3 x 2 2 4 x 3 2，取 初始点x1 = 4,3T。四、证明题1.用牛顿法求函数f（x） =1xTAx bTx c （A为对称正定矩阵）的极小值只需一次迭代；2.罚函数内点法定义惩罚函数G(x,r)= f(x)+rB(x),(其中B(x)aO )。设rki rk (k =1,|()产生序列MS，证明:(1) G(x(k %i) gx(k)jk)；(2) B(x(k o)_B(x(k)；(3) f (x(k )乞 f (x(k).min f = x； +x2五、求约束问题4 d2-9=0的Kuhn Tucker点st.刍 + x2 _ 1 = 0设f :Rn R连续可微，考虑约束问题P : mjn f (x)x匕DD = x| Ax ,b x0。设 x D , y 是问题 P: mip f (x)T(y - x)的最优解。1) 什么条件下x是问题R的K-T点；2) 什么条件下d-x为x处的可行下降方向.七、某银行有投资资金xo，投资于A,B两个项目，计划5年为一个周 期。A,B两个项目