第五章相对量

1、复习复习 什么是差异量数？什么是差异量数？ 什么是标准差？写出其定义式和计算式。什么是标准差？写出其定义式和计算式。什么是离差？写出离什么是离差？写出离差平方和的定义式和差平方和的定义式和计算式。计算式。什么是百分位数？写什么是百分位数？写出其公式。出其公式。 李芳数学成绩班上排名李芳数学成绩班上排名15，你能对此成绩，你能对此成绩 进行评价吗？为什么？进行评价吗？为什么？ 某班学生平均身高某班学生平均身高160公分，标准差公分，标准差8.2， 平均体重平均体重60公斤公斤, 标准差标准差3.5。某生身高。某生身高170 公分，体重公分，体重65公斤，试问其身高与体重哪公斤，试问其身高与体重哪

2、 方面在班上较突出？方面在班上较突出？ 两小学生语数两科总分均为两小学生语数两科总分均为 184，能否说明两人的学习，能否说明两人的学习 水平完全一样？为什么？水平完全一样？为什么？问题问题概述概述相对地位量相对地位量相对差异量相对差异量概述概述 绝对数：总体规模（或水平）增减变化绝对数：总体规模（或水平）增减变化 的统计指标。的统计指标。相对相对量数量数相对地位量相对地位量相对差异量相对差异量百分等级百分等级标准分数标准分数一、绝对数与相对数一、绝对数与相对数相对数：从数量上反映两个相互联系现相对数：从数量上反映两个相互联系现象对比关系的统计指标。象对比关系的统计指标。二、原始分数的缺陷二、

3、原始分数的缺陷 意义不明确意义不明确 单位不等值单位不等值 不具可比性不具可比性 不具可加性不具可加性第一节第一节 相对地位量数相对地位量数 百分等级百分等级 标准分数标准分数一、百分等级一、百分等级1、定义、定义2、符号：、符号： 团体分数高低排序，计算在某一分数团体分数高低排序，计算在某一分数下占多少百分比的量数。下占多少百分比的量数。pr（percent rank）（一）意义（一）意义（二）分析方法（二）分析方法 原量数法原量数法 次数分布法次数分布法例例5-1： 某团体共某团体共100人，试人，试问第问第15名的百分等级名的百分等级是多少？是多少？ 若团体人数分别为若团体人数分别为50

4、人，人，40人，人，20人时，人时，其百分等级是多少？其百分等级是多少？ 若团体人数为若团体人数为200，500，1000呢？呢？1、原量数法、原量数法nrpr50100100n100r 1 2 3 4 520例例5-2：直观分析：直观分析 假设某团体假设某团体5人，求每人的百分等级是多少？人，求每人的百分等级是多少？205100201=20202=40203=60204=80205=1004060 80 50/5=1030r510020110=1020210=3020310=5010010=9010030=70100-90=101000550公式推导公式推导每一个体的每一个体的pr为：为：n

5、100 第第r名名prpr是数轴的一个点，是数轴的一个点，rn100nr 50100 r 1 2 3 4 5100/n50/n100/n100/n 100/n100/nnrn50100rpnr50100100所以所以 调头：调头：某团体共某团体共100人，试问第人，试问第15名的百分等名的百分等级是多少？级是多少？若若n为为50，40，20呢？呢？若若n为为200，500，1000呢？呢？5 .85rp55.98, 1 .97,75.92rrrppp5 .27,75.63,71rrrppp例例5-3 48名学生的物名学生的物理成绩整理成理成绩整理成次数分布表。次数分布表。试问得分为试问得分为9

6、2和和47的人，在的人，在团体中的位置团体中的位置如何？如何？ 分组分组 f 90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-54 3 45-49 3 40-44 1 48 f4846444238271711 7 4 1 2、次数分布法、次数分布法1）单一分数的）单一分数的prilxffnpbxbr100 f4846444238271711 7 4 1 分组分组 f 90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-5

7、4 3 45-49 3 40-44 1 48 55 .798024248100rp例：求例：求80分的分的pr。8892.87 f4846444238271711 7 4 1 分组分组 f 90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-54 3 45-49 3 40-44 1 48 55 .645 .64101748100rp试求试求64.5分的分的pr3541.35公式推导公式推导bbmfmnfilp100xprbrbfnpiflx100bbrfiflxnp100iflxfnpxbbr100 百分等级

8、与百分位数的关系如何？百分等级与百分位数的关系如何？ 百分位数：已知百分位数：已知_，求，求_。 百分等级：已知百分等级：已知_，求，求_。 求各组的百分求各组的百分等级。等级。 分组分组 f 90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-54 3 45-49 3 40-44 1 48 f4846444238271711 7 4 1 2）每一组的）每一组的pr 求出每组精确上限的百分等级（求出每组精确上限的百分等级（pru） 每组上限的每组上限的pr即为前组下限的即为前组下限的pr； 求中点值：求中点值

9、：nfpru1002rlrurppp 上限上限pr； 分组分组 f 90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-54 3 45-49 3 40-44 1 48 f4846444238271711 7 4 1 pru10095.8391.6787.5079.1756.2535.4222.9214.58 8.33 2.08 - prl95.8391.6787.5079.1756.2535.4222.9214.58 8.33 2.08 0.00 pr97.9293.7589.5883.3467.7145.8

10、429.1718.7511.465.201.04 下限下限pr；平均；平均；（三）评价（三）评价 优点优点 意义简明；意义简明； 容易理解；容易理解； 计算简便；计算简便；局限：单位不等距局限：单位不等距（四）应用（四）应用 建立常模；建立常模； 衡量优劣；衡量优劣； 比较群体成绩；比较群体成绩；1、建立常模、建立常模pr iq99 13398 12997 12896 12795 12593 12390 12085 11780 11475 112pr iq70 10965 10760 10555 10350 10045 9940 9735 9530 9225 91pr iq20 8815 84

11、10 80 5 73 4 72 3 71 2 68 1 64wais城市常模城市常模2、衡量优劣、衡量优劣 高中升学考试中，某生的语文的百分等高中升学考试中，某生的语文的百分等级为级为90.3，数学的百分等级为，数学的百分等级为94.6。此结。此结果说明什么问题？果说明什么问题？一是说明：成绩优良一是说明：成绩优良二是说明：其数学成二是说明：其数学成绩比语文更好绩比语文更好3、比较群体成绩、比较群体成绩 某省高考录取线为某省高考录取线为480分，根据甲乙两地分，根据甲乙两地区考生的成绩（总分）的次数分布求得：区考生的成绩（总分）的次数分布求得：甲地区：甲地区：乙地区：乙地区：4 .72480p

12、3 .84480p试问：那个地区的高考成绩好一些？试问：那个地区的高考成绩好一些？27.6%15.7%第二节第二节 标准分数标准分数 意义意义 应用应用一、意义一、意义 定义定义 公式公式 实质实质 性质性质（一）定义与公式（一）定义与公式 以以标准差标准差（s）为单位所表示的）为单位所表示的“原始分原始分”（x）与）与平均数平均数（m）的）的偏差偏差。 公式：公式：sxx z（二）实质（二）实质 把单位不等距和缺乏明确参照点的分数把单位不等距和缺乏明确参照点的分数转换成以转换成以标准差为单位标准差为单位，以，以均数为参照均数为参照点点的量表分数。的量表分数。-5 -4 -3 -2 -1 0

13、1 2 3 4 5 99.73%（三）性质（三）性质 0z 1z二、应用二、应用 比较测量单位不比较测量单位不同变量的位置；同变量的位置； 学绩比较；学绩比较； 异常值的取舍；异常值的取舍； 例例5-4：某班学生身高平均：某班学生身高平均160公分，标公分，标准差准差8.2；体重平均；体重平均60公斤，标准差公斤，标准差3.5。某生身高某生身高170公分，体重公分，体重62公斤，试问该公斤，试问该生身高和体重在班上的位置如何？生身高和体重在班上的位置如何？例例5-5：小学生：小学生a和和b在毕业考试中，语文在毕业考试中，语文和数学两科的总分均为和数学两科的总分均为184。能否以此说。能否以此说

14、明两人的学习水平相同？为什么？明两人的学习水平相同？为什么？ 例例5-4：（一）比较单位不同变量的位置（一）比较单位不同变量的位置22. 12 . 8160170身高z57. 05 . 36062体重z例例5-5：已知该班的成绩情况如下表。：已知该班的成绩情况如下表。（二）学绩比较（二）学绩比较科目科目 m s 甲生甲生 乙生乙生语文语文 80 14 98 86数学数学 89 14.5 86 98 184 184 z甲甲 z乙乙 1.29 0.43 -0.21 0.62 1.08 1.05例例5-6：某高考中两生各科成绩如下表。：某高考中两生各科成绩如下表。科目科目 语文语文政治政治英语英语数

15、学数学理化理化 全体考生全体考生 原始分数原始分数 m s 甲生甲生 乙生乙生 70 10 85 89 65 5 70 62 69 8 68 72 50 6 53 40 75 8 72 87 348 350 z 分分 数数甲生甲生 乙生乙生 1.50 1.90 1.00 -0.60-0.12 0.38 0.50 -1.67-0.38 1.50 2.50 1.51例例5-7：某班平时测验：某班平时测验30分钟，分钟，m=84，s=7；期中测验期中测验45分钟，分钟，m=80，s=10；期未测；期未测验时间验时间90分钟，分钟，m=76，s=12。某生三次。某生三次测验得分分别为：测验得分分别为：

16、90，89，85，试问他，试问他的学期的学期z分数分数 是多少？是多少？分析结果分析结果 m s 某生某生平时测验平时测验 84 7 90期中测验期中测验 80 10 89期末测验期末测验 76 12 85 求各次测验的求各次测验的z分数分数z分数分数 0.86 0.90 0.75 求加权求加权z分数分数ffzz90453075.9090.4586.30z81. 0（三）异常值的取舍（三）异常值的取舍 x确系总体的一个体，只是离差很大；确系总体的一个体，只是离差很大； 混入另一总体的某一分数；混入另一总体的某一分数； 实验或调查的失误实验或调查的失误1、原因、原因 例例5-8：有一样本：有一样

17、本n=35，原始分数，原始分数x为为98。z分数为分数为2.86。 试问：试问： 该分数是否是该样本中的一个异常值？该分数是否是该样本中的一个异常值？ 怎样将其舍去？怎样将其舍去？2、方法、方法 原则原则 z 在在1.96 或或2.58 之外（之外（3 ）理论：正态分布理论：正态分布 方法与步骤方法与步骤1）正态法）正态法 将怀疑为异常的数值转换为将怀疑为异常的数值转换为z分数分数例例5-9：假设正常人的平均心率为：假设正常人的平均心率为72次次/分分标准差为标准差为10次次/分，某人的心率为分，某人的心率为140次次/分，分，则有则有8 . 61072140z2.58 2）查表法）查表法 根

18、据根据n查拉格布斯查拉格布斯“舍弃异常值临界值表舍弃异常值临界值表” 例例5-8：有一样本：有一样本n=35，原始分数，原始分数x为为98，z分数为分数为2.86。试问：。试问： 该分数是否是该样本中的一个异常值？该分数是否是该样本中的一个异常值？ 怎样将其舍去？怎样将其舍去？ 当当n=35时，查表时，查表z0.05=2.82 z= 2.86z0.05=2.82，舍去。，舍去。3）小样本多个异常值的舍弃）小样本多个异常值的舍弃 舍弃第舍弃第1个最大或最小的异常值；个最大或最小的异常值； 计算剩下全部数据的均数与标准差，以此计算剩下全部数据的均数与标准差，以此舍弃第舍弃第2个异常值；个异常值；

19、以此类推。以此类推。三、三、z 分数的不足分数的不足 原理复杂；原理复杂；比较时，分布形态比较时，分布形态 须相同；须相同；使用不便；使用不便；四、其它导出分数四、其它导出分数bazz 对对z分数进行的线性转换。分数进行的线性转换。既保持既保持z分数原有的优点，又克服其表现分数原有的优点，又克服其表现形式的缺陷。形式的缺陷。应用应用（一）（一）z分数分数 韦氏智商分：韦氏智商分： 学科测验：学科测验： 选拔性测验：选拔性测验： 10015ziq5010zz500100zgre应用应用（二）正态化的标准分数（二）正态化的标准分数 由由z分数转化而来的一种正态化的标准分数。分数转化而来的一种正态化

20、的标准分数。bazt正态化过程：正态化过程： tzpxr（三）常用导出分数概要表（三）常用导出分数概要表 m s xmaxxmin 备备 注注 pr100 0mdn为参照点为参照点标标准准分分数数 z 0 1 +3 -3m为参照点为参照点 z线线性性转转换换 50100100100500 10 20 16 15100 80160148145800 20 40 52 55200多种测验多种测验美陆军分类测验美陆军分类测验s-b量表量表iq韦氏量表韦氏量表iqgre第二节第二节 相对差异量相对差异量 意义意义 标准差系数标准差系数一、意义一、意义1、定义：差异量与集中量的百分比。、定义：差异量与集

21、中量的百分比。3、类型：、类型： 标准差系数（差异系数）；标准差系数（差异系数）； 平均差系数平均差系数2、符号：、符号：cv（coefficient of variation）%100集中量差异量cv问题问题 例例5-10：某幼儿园：某幼儿园大班儿童体重平均大班儿童体重平均25公斤，标准差公斤，标准差3.7；身高；身高110厘米，厘米，标准差标准差6.2厘米。厘米。试问该班幼儿身高试问该班幼儿身高和体重那方面的差和体重那方面的差异程度大一些？异程度大一些？ 例例5-11：初三甲乙：初三甲乙两班的数学平均成两班的数学平均成绩分别为绩分别为92和和71，标准差分别为标准差分别为8.95和和7.40。试问两