求极限的若干方法-论文

1、求极限的若干方法林芳20101101903数学科学学院 数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师 刘官厅摘 要 极限理论是微积分的基础是整个数学分析的有力的工具对数学的发展产生了极大的推动作用因此求极限自然就成了学习数学分析的最根本最重要的问题本文总结了求数列与函数的极限的若干方法并通过例题加以说明关键词 极限数列函数方法极限理论和极限方法在数学分析这门课中占有极其重要的地位因此求数列和函数的极限是数学分析中的基本运算在本文总结了只能用于求数列极限的方法利用数列极限的存在性求极限通过写出数列通项求极限经过变量替换与变形求极限利用公式求极限利用数列与子列的关系求极限利用数列的上下极限求极

2、限利用数列的单调有界准则求极限利用积分的定义求极限利用级数的性质收敛级数通项趋于零收敛级数余项趋于零级数的敛散性幂级数的展开式求极限利用初等变形求极限只用于求函数极限的方法利用函数的连续的性质求极限利用等价无穷小代换求极限利用函数的左右极限求极限利用公式求极限利用中值定理求极限利用微分中值定理求极限利用积分中值定理求极限利用法则求极限数列与函数公用的求极限的方法利用极限的四则运算求极限利用重要极限求极限利用无穷小的性质求极限利用两边法则极其其推广形式求极限利用变量替换法求极限数列与函数之间的联系海涅定理每种方法又附有例题来说明只用于求数列极限的方法利用存在性求极限假若用某种方法证明了递推数列的

3、极限存在则在递推形式里取极限便可得应满足的方程解此方程可求极限值例 设求解设在与之间此式表明与同号又因因此递推知又明显有下界故收敛同理可知明显有上界故也收敛所以收敛在递推里取极限推荐精选得极限负数不符合题意利用写出数列通项求极限对递推数列有时可以通过递推关系写出数列的通项表达式从而可以应用其他方法求极限例 设求解虽然可以证明此数列是收敛的但在递推公式里取极限无法求出极限值所以需要写出数列的通项再求极限反复应用此结果 于是 利用替换与变形求极限对递推形式的数列同样可以进行变量替换与变形使变成已知极限或易于计算的极限例设为数列即记求求解由已知条件知即令此即且这就是例故例 证明数列收敛并求其极限解从

4、数列特征可以看出相邻两项的关系是 因此设收敛则极限满足方程考虑到所以令 推荐精选将代入得 至此我们已将满足的数列的问题化为满足的数列的问题事实上由应用数学归纳法易证故 利用公式求极限公式是指设数列单调递增趋向于可以为无穷则在求解的不定式的极限时经常要用到公式例 设求极限解由公式 利用数列与子列的关系求极限数列与子列有如下的极限关系子列有作为充分条件都可以减弱如例 设是一个无界数列但非无穷大量证明存在两个子列一个是无穷小量另一个是收敛的子列证由无界性进而反复使用无界性如此得 则为无穷大量又因非无穷大量故使得于是对使得对使得如此下去可得一有界子列从而由致密性原理知中存在收敛子列利用数列的上下极限求

5、极限任一数列收敛的充要条件是且此时例 设试证若有限数则证由当时有推荐精选设将各式相乘并开次方得在此式中令取上下极限注意得因的任意性可知故利用单调有界准则求极限这种方法通常首先要证明数列是单调有界的从而确定极限的存在性在讨论过程中有界性的确定往往是个难点可借助单调递增数列的极限是它的上确界单调递减数列的极限是它的下确界的性质确定数列的界最后找出数列与的递推公式设数列的极限是在与的递推公式两边取极限得到关于的方程从而求出例 求数列重根式的极限解显然故数列单调增加显然假设则故有界从而极限存在设由易得两边求得极限得解得或舍去故利用定积分定义求极限根据变量的特征借助定积分的几何意义获得简捷的解题方法设函

6、数在上连续把区间分为等分作和式取则由定积分定义有若上述积分值容易算出便可用作求和式的极限例 求 解例 求极限 解推荐精选 利用级数求解极限利用收敛级数通项趋于零例 求极限其中解因为 故正项级数收敛从而通项利用收敛级数余项趋于零例 求解因级数收敛因此其余项故原极限为零利用级数的敛散性因为若收敛则也收敛因此极限存在例 设证明数列收敛证对利用中值公式其中因此有而收敛故从而也收敛利用幂级数的展开式求极限推荐精选常用的幂级数展开式如下例 求 解已知所以利用初等变形求极限用初等数学的方法将变形然后求极限例 求解用乘以得 只用于求函数的极限的方法利用函数的连续的性质求极限函数在点处连续的定义是所以当在点处连

7、续时求就等于求函数值常用的有下列几种形式设在处连续若则设在处连续且有则设则例 求极限推荐精选 解由于属于函数的定义域故由函数连续的定义有例 求解 由于初等函数在有定义的地方皆连续 原极限利用等价无穷小代换求极限掌握一些常见的等价无穷小利用等价无穷小代换可以对函数进行化简作无穷小代换时只能对无穷小是因式积的形式代换无穷小是代数和的形式则不能轻易作打代换必须化为因式积的形式一些常见的等价无穷小如下当时例 求解 例 求解例 求解时但不是无穷小因此与不是等价无穷小与也不是等价无穷小令则时故推荐精选故 利用函数的左右极限求极限对于求分段函数在分段点处的极限时通常要分别讨论它的左右极限当左右极限存在且相等

8、时函数的极限等于这个值当左右极限不等或至少有一个不存在时原极限不存在例 求函数在分段点处的极限解 因为故不存在利用公式求极限如果函数在含的某个开区间内具有直到阶导数即那么对于有这就是公式利用公式求型极限是一种重要而有效的方法因为有些此类不定式运用法则需要连续几次应用但用此法较为方便常用的展开式如下例 求推荐精选解 例 求解 利用中值定理求极限利用中值定理求极限对于型或可化为型的极限可利用中值定理求极限这里必须注意两点在极限变化过程中中值点应趋于固定值含例 求极限解设由中值定理存在介于与之间的使得且当时因此利用微分中值定理求极限若连续那么于是其中例 求极限解设则 所以利用积分中值定理求极限推荐精

9、选设在上连续则使得积分中值定理的推广形式是设在上连续在上不变号则使得例 求极限解 利用法则求极限法则是用来求不定式型和型的极限但在运用法则时必须注意以下几点使用法则前必须检验是否属于型和型不定式如果不是则不能使用法则例如如果不经检验盲目的继续使用法则必将出现错误的结果法则使用的条件是充分条件而非必要条件若不存在时则不能断定不存在如果法则在使用的条件满足却无法求出极限不能说原函数的极限不存在此时需要使用其他的方法例如则右边的极限不存在但此时不能下结论说原函数的极限不存在而应用其他的方法解决此题法则不是万能的例如利用法则则出现了循环情形此时应用别的方法解决如果数列极限也属于不定式的极限问题需先将起

10、转化为函数极限然后使用法则从而求出数列极限例如利用法则求极限要注意与极限运算法则、等价无穷小、重要极限公式等知识综合使用推荐精选对于非标准的不定式通常需要如下变形或例 求解例 求解原式例 求解例 求解设两边取对数原式例 求解函数与数列共用的求极限的方法利用极限的四则运算求极限推荐精选利用该法求极限方法简单也易于掌握但多数情况下是不能直接用法则的还应掌握一些变形的技巧例 求极限 解原式 例 求极限 解利用重要极限求极限 重要极限为 此法主要利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限的其结构特为在每一个极限中处变量形式是一致的例 求极限解例 求极限 解例 若数列收敛且则 解 利用无穷小的性质

11、求极限无穷小量的性质是有界量与无穷小的积仍为无穷小利用这一性质时关键是合理选择谁是无穷小量谁是有界变量并掌握一定量的缩放方法和技巧例 求 解其中推荐精选是有界量而由于所以故例 求 解显然是一个有界变量并且即为无穷小量所以利用高阶无穷小求极限若则称关于是高阶无穷小量同样设时为无穷大量若用表示无穷大量的阶高于的阶即通常例 求 解因为是的高阶无穷小所以例 求解因为是的高阶无穷小所以利用两边夹法则及其其推广形式求极限利用两边夹法则求极限定理若而则当极限不易直接求出时可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小使放大和缩小所得的新变量易于求极限且二者的极限值相同则原极限存在且等于此公共值例 求极限 解因为而推

12、荐精选所以由两边夹法则得例 求 解 当时 当时 故 利用两边夹法则的推广形式求极限当使用两边夹法则时若放大与缩小所得到的量的极限值不相等但二者只相差一个任意小量则两边夹法则仍然有效例 设在区间上连续试证 证记则 剩下的问题是将缩小使缩小所得到的量以为极限或者虽然不等于但跟只相差一个任意小量因连续据闭区间连续函数的性质使得于是当时有当充分大时有即分点的间距使得故 总结有左端极限为右端极限为由的任意性知利用变量替换法求极限为了将未知的极限化简或转化为已知的极限可根据极限式的特点适当引进新变量以替换原有的变量使原来的极限过程转化为新的极限过程例 求极限推荐精选解令则有例 若试证解令则时于是 当时第二三项趋于零事实上因故有界即使得故从而式以为极限数列与函数之间的联系数列与函数之间是靠海涅定理联系起来的海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁根据海涅定理求函数极限则可化为求数列极限同样求数列极限也可转化为求函数极限海涅定理如下则例 设函数在点的邻域点可能例外内有定义试证如果对于任意的点列这里都有那么证若即虽然但如此若令则若令令如此无