概率论与数理统计柴中林第8讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第八讲第八讲主讲教师：柴中林副教主讲教师：柴中林副教授授中国计量学院理学院中国计量学院理学院 第三章第三章 随机向量随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。不够的，需要用几个随机变量来同时描述。3. 导弹在空中位置导弹在空中位置坐标坐标 (x, y, z)。1. 某人体检数据某人体检数据血压血压x和心律和心律y；例如：例如：2. 钢的基本指标钢的基本指标含碳量含碳量 x，含硫量，含硫量 y和和 硬度硬度 z ； 一般地一般地, 将随机试验涉及到的将随机试验涉及到的 n 个随机个随机

2、量量 x1, x2 , , xn 放在一起，放在一起，记成记成 (x1, x2 , , xn )，称，称 n 维随机向量维随机向量 (或变量或变量)。 由于从二维随机向量推广到多维随机向由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。维随机向量。3.1 3.1 二维随机向量及其分布函数二维随机向量及其分布函数 设试验设试验e的样本空间为的样本空间为，x=x( )与与y= y( )是是定义在定义在上的两个随机变量上的两个随机变量, 由它们构由它们构成的向量成的向量 (x, y) 称为称为二维随机向量。二维随机向量。 二维随

3、机向量二维随机向量(x, y)的性质不仅与的性质不仅与x 和和y 的性质有关，而且还依赖于的性质有关，而且还依赖于x和和y之间的相互之间的相互关系。因此，必须把关系。因此，必须把(x, y)作为一个整体来看作为一个整体来看待，加以研究。待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量为此，首先引入二维随机向量(x, y)的分的分布函数的概念。布函数的概念。定义二维随机向量定义二维随机向量(x, y) 的联合分布函数为的联合分布函数为.,), ,() ,(yxyyxxpyxf取定取定x0 0, ,y0 0 r =(-=(-, ,), , f( (x0 0, ,y0 0) )就是点就是点( (x,y)

4、)落在平面上，以落在平面上，以( (x0 0, ,y0 0) )为顶点，且位于该点为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。左下方无限矩形区域上的概率。 如果将如果将 (x, y) 看成平面上随机点的坐标。看成平面上随机点的坐标。 由上面的几何解释，由上面的几何解释，易见易见: : 随机点随机点( (x, y) )落在矩落在矩形区域形区域: : x1 1 xx2 2, , y1 1 yy2 2内的概率为内的概率为 px1xx2 , y1yy2=f(x2, y2)- -f(x2, y1)- - f(x1, y2)+f(x1, y1).说明说明(x2,y2)(x1,y1)二维分布函数二维分布函

5、数 f(x, y)的三条基本性质的三条基本性质(1).(1).f(x, y)是变量是变量 x, ,y 的非减函数；的非减函数； 即即 y r 给定，当给定，当 x1 1i, 有有p(y=j/x=i)=0, 否则否则p(y=j/x=i)=1/i.于是于是(x, y)的概率分布为的概率分布为x y 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 01/8 1/8 0 01/12 1/12 1/12 01/16 1/16 1/16 1/163.3.1 3.3.1 概率密度概率密度 设二维随机向量设二维随机向量( (x, y) )的联合分布函数为的联合分布函数为f(x, y) )，如果存在一个非负函数，如果存

6、在一个非负函数f( (x, ,y),),使得使得对任意实数对任意实数 x, ,y, , 有有则称则称( (x, ,y) )为连续型随机向量为连续型随机向量, ,f( (x, ,y) )为为(x,y)的的概率密度函数概率密度函数, , 简称概率密度。简称概率密度。. ., ),(),(yxdudvvufyxf3.3 二维连续型随机向量二维连续型随机向量yxdudvvufyxf),(),(连续型随机变量连续型随机变量 x 的概率密度的概率密度: badxxfbxap,)( . 1)(, 0)(dxxfxf连续型随机向量连续型随机向量 (x, ,y) 的联合概的联合概率密度率密度: .),(),(

7、dxdyyxfayxpa . 1),(, 0),(dxdyyxfyxf 对连续型随机向量对连续型随机向量 (x, ,y)，联合概率密度，联合概率密度与分布函数关系如下：与分布函数关系如下：,),(),(2yxyxfyxf在在 f (x, y)的连续点；的连续点；. ),(),( xydudvvufyxf解解: (1). (1). 由由例例 1：设设(x,y)(x,y)的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中a是常数。是常数。(1).(1).求常数求常数a；(2).(2).求求( (x, ,y) )的分布函数；的分布函数；(3).(3).计算计算 pp0x4, 0y5 。,)25)(16(),(

8、222ryxyxayxf, 1)25)(16(222 dxdyyxa, 1)25(1)16(1222dyydxxa即 ,154,5251,4161222adyydxx；得 20 a； 21512141255124412025116120)25)(16(202222222 yarctgxarctgyarctgxarctgdvvduududvvuyxyx),( ).2(yxf(3). p0(3). p0 x x 4, 04, 0 y y 55.161414105551044412025116120)25)(16(20250240225040222 arctgarctgdyydxxdxdyyx3.3

9、.2 3.3.2 均匀均匀分布分布 定义定义: 设设d d是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,其面积为其面积为d, ,若二维随机向量若二维随机向量( (x, y) )的联合概率密度为的联合概率密度为: :则称则称( (x, ,y) )为服从为服从 d上的均匀分布。上的均匀分布。 .),( ,0 ,),( ,/1),(dyxdyxdyxf ( (x, ,y) )落落在在 d中某一区域中某一区域a内内的概率的概率 p(p(x, ,y) ) a,与与 a 的面积成正比，而与的面积成正比，而与a的位置和形状无关。的位置和形状无关。p(p(x, y) ) a=a的面积的面积/ /d. .解解: 例

10、例2：设设( (x, y) )服从圆域服从圆域 x2 2+ +y2 244上的均匀分布，上的均匀分布，计算计算p(p(x, ,y) ) a ，这里，这里a是中阴影部分的区域。是中阴影部分的区域。 圆域圆域 x2 2+ +y2 244面积面积 d=4=4 ；区域区域a是是x=0, =0, y=0 =0 和和 x+ +y=1 =1 三条直线三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域所围成的三角区域，并且包含在圆域x2 2+ +y2 24 4 之内，面积之内，面积=0.5=0.5。故，故， p(p(x, ,y) ) a=0.5/4=0.5/4 =1/8=1/8 。 若二维随机向量若二维随机向量(x,y)有联合概率密度有联合概率密度, 2 )1 ( 21exp121),(22222112112221 yyxxyxf3.3.3 3.3.3 二维二维正态分布正态分布, 0 , 0 , 212121且为常数，其中 , ),( 2121的正态分布，服从参数为则称yx。记成),n( ),( 2121 yx正态分布正态分布( (x, ,y) )的概率密度函数的概率密度函数 f(x, ,y) )满足满足: :，1),( dxdyyxf.21)( ,),()( 21212)(111xexfdyyxfxf则令(1).(2).小结小结 本讲介绍了二维随机向